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1、.第一章 勾股定理 求真中学 周雪姣1、 本章教材特点勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有悠久的历史，在数学发展史上起着重要的作用，在现实生活中有广泛的应用。勾股定理的发现、证明和应用蕴涵着丰富的数学文化价值。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过它的学习可让学生加深对直角三角形特征的进一步认识与理解。为了使学生更好地理解和认识勾股定理、发展合情的推理能力，教材安排了探索勾股定理、验证勾股定理、探索能判断直角三角形的条件等活动，让学生在充分从事这些活动的过程中，通过观察、实践、推理、交流等获得结论，发展他们的空间观念和推理能力。本章的特点之一：教材通过设计探索勾股定理
2、、验证勾股定理、探索能判断直角三角形的条件等数学活动，引入对本章知识的学习；同时创设丰富的问题情境，体现勾股定理和逆定理的广泛应用。特点之二：充分利用学生已有的知识经验，使学生亲自经历观察、归纳、猜想和验证等数学活动，发展学生的空间观念和思维能力。特点之三：注重渗透数形结合的数学思想方法。在勾股定理的探索和验证过程中，注意让学生体会从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，这有助于学生认识数学的内在联系，加深对数学知识的理解。2、 本章教材设计思路本章首先设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，然后用拼图的方法验证勾股定理的内容，让学生在动手、动脑的过程中，
3、体验代数运算与几何图形的关系，得到直角三角形三边的特殊关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，教材这样安排充分的体现了从直观到抽象的这种设计思路，并且通过反例进一步说明勾股定理的应用范围，消除学生对知识理解的后顾之忧，加深学生对直角三角形中勾股定理的认识。之后，教材通过历史上古埃及人作直角的方法引入“三角形的三边长如果也满足a2+b2=c2，是否能得到一个直角三角形？”的问题提出猜想，让学生通过实际作图，并测量三角形的内角来获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件，从而初步得到判断一个三角形是直角三角形的方法的认可，在此基础上，再得到一般的结论；在学生认识了勾股定理和逆定理之后，为了让学生更好地
4、体会勾股定理及逆定理在实际精品.生活中的应用，教材提供了丰富的历史或现实的例子，让学生体会勾股定理的应用价值。结合教材的内容，同时要渗透对学生的情感教育。3、本章重点、难点和关键 本章的学习重点包括： 1、经历探索勾股定理、判断一个三角形是否直角三角形的条件及利用拼图方法验证勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想；2、掌握勾股定理和判断直角三角形的条件，并能运用这些知识解决实际问题；3、通过丰富实例了解勾股定理的历史和作用，进一步体会勾股定理的文化价值。学好本章的关键是立足于学生的生活经验和已有的数学活动经验，学生通过自己的思考与实践，积极参与小组的合作交流，鼓励学生从多种角度探
5、索尽可能多的事实，获得数学活动的经验，有意识地培养学生的推理能力和语言表达能力，引导学生在活动中自觉地进行思考，自觉地用自己的语言说明操作的过程，并尝试解释其中的理由。在本章的学习中，学生会花费较多的时间经历探索图形性质等活动，发展他们的空间观念，培养学生的基本技能。本章教材处理策略：1.1 探索勾股定理（1）教材评点：本节教材出现在八年级上册第一章勾股定理的第一节。在学生已有的对直角三角形的认识基础上，从边的角度进一步认识直角三角形的特性。本课设计在方格纸上通过不同的图形来计算直角三角形三边所对的正方形的面积的方法，让学生通过观察、计算、对比、归纳出三条边的内在联系，从而探索出勾股定理。并通
6、过对生活中的电视尺寸的讨论来初步体会勾股定理的实际应用。精品.本节教材的处理策略是：计算（方格纸中的面积）观察（面积之间的关系）归纳“勾股定理a2+b2=c2”应用（利用勾股定理解决实际问题）。本节课要解决的主要问题是：1） 经历计算、观察、归纳、交流等活动，探索勾股定理，发展合情推理能力，体会数形结合的思想；2） 掌握勾股定理并能运用勾股定理解决实际问题，培养学生合作学习的能力与语言表达能力。本课重、难点：勾股定理的探索与应用；设计思路：解决问题1）时，教材采用了由“特殊”到“一般”的研究路线，我们在教学时应让学生体会到这一点。教材首先给出了等腰直角三角形三边所对应的面积计算这一特殊情境，学
7、生根据已有的知识比较容易得出结论：两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积。教师应引导学生关注当两直角边任意长时，是否仍有这种关系存在，以考虑更一般的结论。教师可提出：“改变直角三角形的边长是否还会有这种关系？”从而引导学生将研究对象一般化，教学时，可让学生在方格纸上自己画出直角三角形，并计算出各边所对应的正方形的面积，以增加学生的学习兴趣。在“做一做”的活动中，完全可以放手让学生分小组活动，让学生通过操作、观察、思考、合作、讨论、交流，获得数学活动的经验。教师可以提出问题让学生在观察、思考、交流的基础上进行回答，如“你能和大家交流你是如何得出正方形C的面积吗？”（在得出C的面积时，学生的方法
8、可能不唯一，应鼓励学生大胆探索，多角度的求得面积，并相互交流；）“通过上面的计算你有什么发现？” “三个正方形的面积还存在关系吗？”“愿意把你的发现与大家分享吗？”在“议一议”中，教师可提出问题：“你能用直角三角形的边长表示正方形的面积吗？”“你能发现直角三角形三边之间的特殊关系吗？”“请你分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，上述发现的规律仍然成立吗？”“你能用语言描述直角三角形三边的数量关系吗？”通过活动让学生自己探索出勾股定理，并鼓励学生运用自己的语言进行表达和交流。解决问题2）时，教材提供了一个贴近学生生活的、有趣的实例：对于电视机的尺寸的估计。通过一个生活
9、常识，让学生体会电视机的尺寸是指荧光屏对角线的长度，让学生根据长和宽的数据利用勾股定理计算后验证。在实际应用中让学生体会勾股定理的作用。同时，对于P6习题第3题，学生往往审错题意，只利用勾股定理求得旗杆折断了多长，而忽略了求旗杆的原长；应加强学生学习的严谨性；同时可将教科书P17B组第2作为课后思考题，利用直角三角形三边上的半圆的面积关系进一步体会勾股定理，为下节课验证勾股定理奠定基础。精品.1.1 探索勾股定理（2）教材评点：本节探索勾股定理的第二课时。在学生认识了勾股定理内容的基础上利用拼图的方法，验证勾股定理，这是由直观观察到抽象验证的过程。本课设计用四个全等的直角三角形进行拼摆正方形的
10、活动，让学生在拼图的过程中，用不同的方式表示出大正方形的面积，并比较表示面积的两个代数式，从而联系整式运算的有关知识，利用类比的方法自己推导出勾股定理，在此过程中，应关注学生是否理解代数表达式验证的思路、步骤和目的。让学生体会可以将形的问题与数的问题联系起来，初步体会数形结合的思想。并再次应用勾股定理解决实际问题。同时教材设置了议一议，让学生进一步体会只有直角三角形的三边才具这种特殊关系，任意斜三角形不满足这种关系。本节教材的处理策略是：拼图（将四个直角三角形拼成一个正方形）验证（对比正方形面积的不同表示方法之间的关系）推导“勾股定理a2+b2=c2”应用（利用勾股定理解决实际问题）。本节课要
11、解决的主要问题是：1） 用拼图的方法验证勾股定理，发展合情推理能力，体会数形结合的思想；2） 进一步理解勾股定理并能运用勾股定理解决实际问题，提高学生解决问题的能力。本课重、难点：勾股定理的验证；设计思路：解决问题1）时，教材设置了拼图的活动，让学生利用四个全等的直角三角形拼图，要求拼出以斜边为边的正方形，以代数的方法对比大正方形面积的表示来验证勾股定理。教学时，教师可提出：“你能用四个直角三角形拼出以斜边为边的正方形吗？精品.”“你能与同伴交流你的拼图方法吗？”“你能表示出大正方形的面积吗？有几种表示方法？”“对比不同的表示方法你有什么发现？”“你愿意将你的发现与大家分享吗？”教学时，教师要
12、引导学生大胆拼图，及时给予鼓励和肯定，并在此过程中引导学生进行联想，将形的问题与数的问题联系起来，利用大正方形的面积的不同的代数表示，通过整式的运算推导出勾股定理。在教学中要渗透数形结合的重要的数学思想，为学生后续的学习打下基础。解决问题2）时，教材提供了一个实际应用问题：利用勾股定理求得飞机与人之间的距离。教学时，教师应引导学生对问题进行分析，根据题意画出图形，将实际问题转化为已知两边求直角三角形的第三边的问题，学生可依据勾股定理解决。同时，在解决本题中要注意单位的转化，这也是学生容易忽略或出错的地方。教材上还设置了“议一议”，通过对非直角三角形三边的关系的讨论，进一步体会直角三角形三边的特
13、殊关系。教师可提出问题：“1-9图中提供了什么样的三角形？”“你能用数格子的方法判断出它们三边的长是否满足a2+b2=c2吗？”通过这个结论，学生将对直角三角形三边的数量关系有进一步的认识。同时为学习勾股定理的逆定理打下伏笔。1.2 能得到直角三角形吗教材评点：本节教材是在学生已有的直角三角形的认识基础上，思考如何从边的角度来判断一个三角形是否直角三角形的方法。根据教材提供的素材：古代埃及人利用结绳的方法作出直角三角形，并提出问题引起学生思考，这种方法真能得到直角三角形吗？学生通过教科书上提供的数据作出三角形，用测量角的方法判断是否直角三角形，从而得出判断一个三角形是否是直角三角形的方法（即勾
14、股定理的逆定理），通过三条边的特殊关系：a2+b2=c2，可以判断一个三角形是直角三角形，并理解勾股数的意义。本课还设计了测量零件的实际问题，让学生学以致用，同时要注意规范学生的书写步骤。本节教材的处理策略是：情境引入（古埃及人结绳得直角三角形）探索（分组作出三角形并测量角度）归纳“判断直角三角形的条件：a2+b2=c2”应用（利用直角三角形的判别条件解决实际问题）。精品.本节课要解决的主要问题是：1） 经历观察、猜想、计算、测量、归纳、交流等活动，探索直角三角形的判别条件，发展合情推理能力；2） 掌握直角三角形的判别条件并运用它解决实际问题，培养学生灵活应用的能力和合作学习的能力。本课重、难
15、点：直角三角形的判别条件的探索；设计思路：解决问题1）时，教材首先以历史上古埃及人结绳得直角三角形的问题情境引入，让学生思考“三角形的三边长如果满足a2+b2=c2，是否能得到一个直角三角形”的问题，以激发学生解决这个问题的愿望；之后，在“做一做”中，教材提供了三组边长数，通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三个内角的度数，来判断是否是直角三角形。教学时，完全可以放手让学生分小组活动，让学生通过操作、观察、思考、合作、讨论、交流，获得数学活动的经验。教师可以提出问题让学生在观察、思考、交流的基础上进行回答，教师可提出问题：“这三组数据都满足a2+b2=c2的关系吗？”“请你分别以它们为三边作
16、出三角形，能用量角器测量是否直角三角形吗？”“满足什么条件的三角形是直角三角形？”“你有什么发现？”通过分组活动让学生自己探索出勾股定理的逆定理，并鼓励学生运用自己的语言进行表达和交流。解决问题2）时，教材提供了一个测量零件的实例：工人师傅如何得出零件是否符合要求。让学生根据实例中所提供的边长的数据，运用直角三角形的判别条件利用三边来判断直角三角形，让学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系。教学时，可将P12习题的第2题作为课堂练习，让学生加深对勾股数的认识，体会勾股数扩大相同的倍数时仍为勾股数，仍能得到直角三角形。对于有能力的同学，应鼓励学生阅读P11的读一读勾股数组与费马
17、大定理，开阔学生的思路，增长学生的见识。1.3 蚂蚁怎样走最近教材评点：本节教材通过丰富的现实情境，来展示勾股定理与逆定理的应用，体现它们的文化价值。教材首先设置了蚂蚁怎样在圆柱上走距离最近的问题，这个问题不仅体现了勾股定理在生活中的应用，同时也体现了空间与平面相互转化的思想意识，精品.对发展学生的空间观念也有积极的指导意义。进一步让学生体会将立体图形转化成平面图形来研究的数学思想方法，从而转化成平面内直角三角形三边的关系，灵活的应用勾股定理解决问题。同时，教材通过检测雕像底座是否垂直的实际问题，让学生结合问题考虑利用现有的工具：卷尺，如何判断边的垂直关系，从而利用勾股定理来判别。在处理本节教
18、材中，教师要充分发挥学生的主动性，多让学生自己动手操作、给予他们充分的思考时间，通过分组合作，使问题得以解决。本节教材的处理策略是：提出在贴近生活的现实问题激发学生学习、探究新知的欲望小组合作讨论、交流、寻求解决问题的方法体会勾股定理及逆定理的应用：本节课要解决的主要问题是：1） 运用勾股定理及判别直角三角形的条件解决实际问题；2） 培养学生的空间想象力和实践应用能力。本课重、难点：勾股定理及逆定理的应用；设计思路：解决问题1）时，教材首先提出了一个有趣的问题：蚂蚁从圆柱下底面上的一点要爬到相对的上底面上的一点，且要求所走的路线最短。将一个曲面上路线问题转化为圆柱侧面展开图上的路线问题。教学中
19、，教师可以让学生尝试着在自制的圆柱侧面上寻找最短路线，学生可能画法不一，认为自己找到的就是最短的。在分组合作的过程中，让学生相互交流，互相比较找到的路线。在合作中发现将圆柱的侧面展开图中可得到最短线路就是两点之间的线段，从而转化为直角三角形中三边的数量问题。进而让学生从圆柱的已知条件中找出两条直角边的长度并求得斜边长，也就是蚂蚁走的最短路线的长。在这个问题的教学过程中，教师要给予学生充分的观察与思考的时间，让学生将空间想象、动手操作与思考三者结合，培养学生解决问题的能力。教材在“做一做”中提出测量雕像底座上的边是否垂直的问题。在教学中教师可提出问题：“如何判断垂直？你有什么方法？”“只利用卷尺
20、是否可以判断垂直呢？”引起学生思考，在只能测量长度的前提下，可利用勾股定理的逆定理，测量三边的长度来判断直角。教师可进一步再提出问题：“如果只有一个长度为20厘米的刻度尺，还能有办法检验是否垂直吗？”让学生灵活应用所学知识来解决问题，在刻度尺较短的情形下，想出多种方法，或是边长可分段量出；或在边上截取一个较小的三角形，再量边长，以增加学生的学习兴趣。精品.解决问题2）时，本节教材通过实例，丰富学生对两个定理的认识，提高学生的实践应用能力。教学中给学生充分的时间去交流与探索，通过学生主动的学习加深学生对知识的理解。教学中如有时间可将P15上的“试一试”提出，通过九章算术中有趣的问题，进一步加深学
21、生对勾股定理的悠久的历史和广泛应用的认识，了解我国古代人民的聪明才智，增强民族自豪感和自信心。回顾与反思教材评点：本章内容是建立在学生对直角三角形已有的认识基础上，从边的角度进一步研究直角三角形的特殊性。教学中通过丰富实例加深学生对勾股定理和逆定理的认识与理解，并通过大量的学生活动，通过学生的主动探索学习新知识，发展了学生的合情推理能力。因此，在回顾本章知识的教学中教师可以采取灵活的方式，引导学生系统掌握本章的知识点。本节教材的处理策略老师可以适当的设置问题串，引导不同层次的学生进行回答。在这个过程中，关注学生对问题的回答，关注学生在回答问题时运用自己的语言解释答案的过程。然后逐步帮助学生形成
22、本章的系统的知识结构。在此之前，老师可以将本章系统整理的过程放手交给学生，使学生先独立思考，根据自己的思路进行整理。经过与其他同学的交流，认识到自己的不足和优势。初步培养学生的分析和概括能力。本节课要解决的主要问题是：直角三角形是学生在第三学段认识的特殊三角形，通过本章的学习与梳理，应让学生更全面的理解和掌握直角三角形的特殊性，要关注学生在下列几个方面进行归纳和总结：精品.1） 描述对直角三角形的特殊性的认识，即对直角三角形在角、边之间分别存在的特殊数量关系；2） 说出判别三角形是直角三角形的方法？并举例说明；3） 你能举例说明勾股定理在实际生活中的应用吗？4） 判别直角三角形的条件在生活中有
23、哪些应用，请你举例说明；5） 你了解勾股定理的历史吗？与同伴交流。设计思路：解决问题1）和2）时，由于学生在七年级下册对直角三角形的知识已有所了解，因而应让学生从直角三角形的角、边的特殊性的角度全面的进行总结，从而对直角三角形有更深入的认识和理解，能够更系统的掌握直角三角形的有关知识。解决问题3）、4）和5），教师可在课前布置学生作一个长作业，搜集材料，并在课上作全班的交流。在丰富的实例中再次重温勾股定理和逆定理的知识的探索和验证的过程，体会在结论获得和验证的过程中的数形结合的数学思想方法，体会两个定理的广泛应用。对于教材中P16复习题A组3、5题的处理：这两题是勾股定理的实际应用，在应用过程
24、中都用到了方位角，要让学生体会两个垂直的方向可形成直角，从而将实际问题转化为直角三角形的三边的数量关系问题而得以解决，在教学过程中要让学生自己根据题意画出几何图形，并找出已知条件，提高学生分析问题的能力。对于教材中P17复习题B组中第1题是个较复杂图形的问题，在解决时要学生审清题意，并学会识别图形，在复杂图形中找到已知条件，不变的条件，要求的问题，从而准确的解决问题。对于教材中P18复习题C组的第1题，如何求得放入电梯内的竹竿的最大长度，是个空间问题：求得长方体的对角线的长度。应引导学生观察在空间内画出直角三角形，通过两次勾股定理可求得长度，但学生会没有学过平方根因而只能求得近似答案，同时学生
25、会心存疑问，有什么数的平方会等于4精品.5和9.34？为后续引入无理数、学习平方根打下基础。课题学习 拼图与勾股定理教材评点：勾股定理是数学中的一个非常重要的定理。它是联系数学中最基本也是最原始的两个对象数与形的第一个定理；同时，勾股定理导致无理数的发现，也就是所谓的第一次数学危机。勾股定理也是把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。长期以来，人们对它进行了大量的研究，找到了许多不同的验证方法，这些方法不仅验证了勾股定理，而且丰富了研究问题的思想和手段，促进了数学的发展。本课题学习给出了中国历史上利用拼图方法对勾股定理进行验证的几种思路，也介绍了国外的一些验证勾股定理的方法，通过学生自
26、己的操作与思考，感受不同方法验证同一问题，激发学习兴趣。本节教材的处理策略是：拼图（利用直角三角形、五巧板、达芬奇拼板进行拼图）观察（面积之间的关系）验证“勾股定理a2+b2=c2”感受（解决同一问题的不同方法）。本节课要解决的主要问题是：1） 经历综合运用勾股定理、整式运算和面积计算等知识解决问题的过程，加深对这些知识的认识；并体会数形结合的思想及数学知识之间的联系。2） 经历多种拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题的方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值；3） 通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、计算、推理、交流等过程，发展空间观念和有条理地思考与表达的能力，获得一些研究问
27、题与合作交流的方法与经验；4） 通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。设计思路：精品.课题学习中给出的验证方法，都与图形的拼摆、分割有关，但各有特点。教材分了三部分。第一部分的拼图方法与第一章中验证勾股定理的方法类似。教材通过回顾第一章中进行过的验证勾股定理的过程，提出是否还有其他的拼图方法可以验证勾股定理，指明本课学习的目的，激发学生的学习兴趣。教学时应给学生独立思考与讨论的时间，之后自然引入本课的学习。教材中“议一议”中，安排了利用“弦图”方法验证勾股定理。教师可先引导学生分析19页上的图1运用的验证方法，鼓励学生将a2，b2，c2与图形结合起来考虑，充分体会由数到形的过
28、程，然后，鼓励学生思考拼摆成不同的图形，让学生分组充分的实践，之后呈现“弦图”，让学生观察并想法验证勾股定理。第二部分是在教材“做一做”中，介绍了“青朱出入图”，它是我国古代数学家利用拼图来验证勾股定理的一种著名方法。这种方法是利用拼图来说明以勾、股为边长的正方形，经过割补可以拼成以弦为边长的正方形。这部分知识的学习应以学生活动为主。要求学生在课前按照教材中要求制作两副“五巧板”，在教学时要求学生分组活动，尝试拼出不同的图形，在拼图中主要是让学生抓住拼图的要点，即用两副“五巧板”拼成分别a，b，c为边的三个正方形（或是说分别长在直角三角形三边上的三个正方形）。教学中，要给学生充分的时间和空间拼
29、摆图形，让学生在拼图的过程中充分感受与交流。之后，介绍“青朱出入图”，通过此图进一步认识勾股定理。第三部分教材在“想一想”中，介绍了意大利著名画家达芬奇对勾股定理的独特方法。他的方法有一定的操作性，可以开阔学生的视野、丰富学生的想像力。课前应让学生在纸板上按22页上的要求画出多边形ABCDEF，在教学时，让学生分组按要求剪开图形，并尝试进行拼摆和推理，在学生操作过程中，教师可给予一定的引导，给学生充分的合作交流的机会，让学生在操作中进一步体验方法的多样性。教材23页习题中的第1题还给出了一种验证方案，应鼓励学生利用本节课的思路解决，使学生对验证方案的多样性加深体会。而第2题毕达哥拉斯树的制作可以布置为长作业，鼓励学生独立完成，可以把它作为评价学生的一部分。学生可通过对自己画出的图形的欣赏增强对数学知识的兴趣和学好数学的自信心。如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！精品