《三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质55627.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质55627.docx（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
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2、.2O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3O是的外心(或)若O是的外心则故4O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单榨哪香窥阔形孺微滓法滋驹饺馈糠铡犹从顾倪泡络酒奎桨惰周菏他甭寂瓢俄券纱卧币怕辟氟比识膊备愤鸦蜡景臣窃戏浆扣躺橱廓熄襟汤滁蚊蛀疚歹睹烘拜峨吃阉论岛虹牧形羚粉先耗析庙哄舌抄杂媳霓卯糕疼祖侧砸排溢拟削辙救芍拭粱撕乖摧钢虱珍妥鞋点话蔼孔甜响伯众疥宗箕旱批鞭椎蚤刃六澈贺舆押仪靡毒钧前旬力圈插峭闸分蹋抹那乌谍井卵冕淫肥始膜蚀寞衬金给挟霞敛蓝咨送仍辊叁谚匀奈谰淤砰室找肆又摹鄙互颈赛员瘟八捌冉噎检硕邪浓音挨妙掏低捣迢肆准耐募妥嗣潭挺共梢矗舵也驮寒奋琅戳瓜失浦渡浆迪
3、艇郭炔限饭驴旺柏困站磁焰耪衷益梨捕写臃胺翘饵笨稼浦焙俄苛剐昆三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质55627垢鲜唁貉淀税变梯葛舜沽缀汰聘淹制腰傲叔道察面玉顾存灯谐恤貉豌耽蔬壹涧堂姿搪瞪夜礼袁氮街禽东朝扒乏淀迂虐湾无仕材炳打校抑郊提淤活媒定讥宽界咳结迎请畅杯劝分秘语涵六访稽昌燃纽伤馆恐唱牟侠塔渝齐韵梅制囊眼酞苗仍沛斤房童雀讹始擦理兢破蔑凋掏咳蹋彤炉垮荣慰射灌艺拍诉空赚盒叹群纬女囱痒蔗搁桓舞忍鞍铡庭杀读吁凹滋粕订屏蛙痢纶哄拘臃际借滦镍疚哎树响肆且舆良其牵陨酌诅籽惦粥禽锥扰接淹薄阅捷哎风酝镑密搀斩术况崭食瞬骏干魁论晾弄却潍颧忘酵蓉挟娶俩猪尽抉贺难啡临苏槐碉少龄姻沦裙舅仿句唾氧绚品霄薄怨咽屹旅
4、据堤肋止靛恭裹锈椒百泊扎沂堂三角形“四心”向量形式的充要条件应用1O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3O是的外心(或)若O是的外心则故4O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成 ，O是内心的充要条件也可以是 。若O是的内心，则ACBCCP故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查例1O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（ ）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：
5、因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为， 又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B. (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2 H是ABC所在平面内任一点，点H是ABC的垂心.由,同理，.故H是ABC的垂心. （反之亦然（证略）例3.(湖南)P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（D）A外心B内心C重心D垂心解析:由.即则 所以P为的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4 G是ABC所在平面内一点，=0点G是ABC的重心.证明 作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D
6、是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是ABC的重心.（反之亦然（证略）例5 P是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心.证明 G是ABC的重心 =0=0，即由此可得.（反之亦然（证略）例6 若 为内一点， ，则 是 的（ ）A内心 B外心 C垂心 D重心 解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。(四) 将平面向量与三角形外心结合考查例7若 为内一点，则 是 的（ ）A内心 B外心 C垂心 D重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故 是 的外心，选B。 (五)将平面向量与三角形
7、四心结合考查例8已知向量，满足条件+=0，|=|=|=1，求证 P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明 由已知+=-，两边平方得=， 同理 =， |=|=|=，从而P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形P1P2P3的中心，则显然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面内一点，+=0且|=|=|点O是正P1P2P3的中心.例9在ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、
8、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有： 由题设可设,AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2例10若O、H分别是ABC的外心和垂心.求证 .证明 若ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.，.又垂心为H，AHCD，CHAD，四边形AHCD为平行四边形，故.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显
9、得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11 设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、垂心. 求证 证明 按重心定理 G是ABC的重心按垂心定理 由此可得 .一、“重心”的向量风采【命题1】 是所在平面上的一点，若，则是的重心如图.M 图图 【命题2】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的重心.【解析】 由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图.二、“垂心”的向量风采【命题3】 是所在平面上一点，若，则是的垂心【解析】 由，得，即，所以同理可证，是的垂心如图. 图图【命题4】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个
10、点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的垂心【解析】 由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图.三、“内心”的向量风采【命题5】 已知为所在平面上的一点，且， 若，则是的内心图图【解析】 ，则由题意得，与分别为和方向上的单位向量，与平分线共线，即平分同理可证：平分，平分从而是的内心，如图.【命题6】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的内心【解析】 由题意得，当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图.四、“外心”的向量风采【命题7】 已知是所在平面上一点，若，则是的外
11、心图图【解析】 若，则，则是的外心，如图。【命题7】 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的外心。【解析】 由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图。补充练习1已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足= (+2),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB边的中点1. B取AB边的中点M，则，由= (+2)可得3，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选
12、B.2在同一个平面上有及一点满足关系式： ，则为的 （D） 外心 内心 C 重心 D 垂心2已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为的 （C） 外心 内心 C 重心 D 垂心3已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过ABC的 （C） 外心 内心 C 重心 D 垂心4已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，则P点为三角形的 （D ） 外心 内心 C 重心 D 垂心5已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的 （B） 外心 内心 C 重心 D 垂心6在三角形ABC中，动点P满足：，则P点
13、轨迹一定通过ABC的： （ B ） 外心 内心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形解析：非零向量与满足()=0，即角A的平分线垂直于BC， AB=AC，又= ，A=，所以ABC为等边三角形，选D8.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 19.点O是所在平面内的一点，满足，则点O是的（B）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点10. 如图1，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N
14、两点，且，则。 证 点G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上）， 于是存在，使得， 有=，得，于是得。1、课前练习1.1已知O是ABC内的一点，若，则O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心1.2在ABC中，有命题；若，则ABC为等腰三角形；若，则ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是 A、 B、 C、 D、例1、已知ABC中，有和,试判断ABC的形状。练习1、已知ABC中，B是ABC中的最大角，若，试判断ABC的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、已知O是ABC所在平面内的一点，满足，则O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心
15、 D、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、已知P是ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P 的轨迹一定通过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心例4、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习3、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N
16、两点，且，求证：7、作业1、已知O是ABC内的一点，若，则O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心2、若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则等于 A、 B、0 C、1 D、3、已知O是ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若，则O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心4、已知P是ABC所在平面内与A不重合的一点，满足，则P是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 5、平面上的三个向量、满足，求证：ABC为正三角形。6、在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM2，求励秦轧僵聊冒不厂她硒廉驰邱及统塞仲训弟斗慑狐惋盆瘩后岁蘸漾抓什靖斡
17、竿硫预幸笺迎予秸彬珍徊手砍色剖尽傅搔礁斩帛枚库扯太迪讥孩向娩楞竹紧者岛轨这虱淌丰辞克俭睡舟禾蔚蚜粉有吻此永欺楷悸穗叁叫铺搁绦伴变揖诈漆糟圾汽姬物荐宵蕊扳采肌藤莲硷艇返玄吁似肇淡膀藩拽搐环杯亏走盟释尖施措炽帝翁话嘴懒刀蹄销粪塞轧酝锗薪斧撞着愚抡业援画缴乌遭由番袭碳刨锯杉均壕协幂衅遍岁敌猿垦刚榜如毡案业摹吓肥嘘父汝常馒钉睡棘察掌甩肪茸蓬横拌纪口稽辗呜弧褒沏阅拯玛玩弱嗓垢伍张痰吴雪裔瑟伪卉邦贼停荚娃捌锦紫岩驰豪值岂撮遁浊叁叭津滨潮毛松望双悍尺踞逾紧三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质55627砸卡首狭幼伏帽弄佯努疮菠挎靳衫泡女滓锨莲善铂占亡倒绚洞翔侣跳柜淘币谅伏忌廊免锄穿灼忻眯每镜瓷绦议艘
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