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1、四边形（二）【知识要点】1平行四边形的性质有对边平行，对角相等，对边相等，对角线互相平分，这些性质为线段相等、 线段平行、角相等的证明提供了新的方法例 1如图所示，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于 O，M 是 AO 的中点， N 是 OC 的中点，求证： BM DNDCONMAB类题训练 :已知如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形， MN AC ，分别交 AB 、 BC 于 P、Q，交 DA 、 DC 延长线于 M 、 N 求证： MQ=PNMADPBCQN2矩形：除了具有平行四边形的所有性质外， 还具有四个角都是直角，对角线相等的性质， 利用这些性质可以解决有关角、 线段
2、相等有关的问题，解决与直角有关的问题例 2如图， E、 F 分别为矩形 ABCD 的 BC 边和 CD 边上的点，且S ABE2, S ECF 3, S ADF 4 ，求 S AEF .AyD4xF23BCE第1页共 8页类题训练： 如图所示， E 是矩形 ABCD 的边 AD 上一点， BE=ED，P 是BD 上任一点， PFBE 于 F， PGAD 于 G求证： PF+PG=ABAE GDFPBC3菱形：除了具有平行四边形的性质外，还具有下列性质：（ 1）四条边相等；（2）对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角例 3.已知：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，延长 AB
3、到F，使 BF=AB ，延长 BA 到 E，使 EA=AB ，连结 CE 和 DF，分别交 AD 、 BC 于 G、 H求证： CE DF DCGHEABF类题训练: 如图已知AD是ABC 的角平分线,DEAC交 AB于E,DF AB 交 AC 于 F.求证 : ADEF .AEBFDC第2页共 8页4正方形具有以下性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质（2）正方形的两条对角线互相垂直平分且相等（ 3）正方形的每一条对角线平分一组对角， 且把每个角分成两个 45 的角对于与正方形有关的问题，解题时常化为三角形（直角三角形）问题，利用三角形的性质及有关方法加以解决， 解题时要注意
4、正方形性质的应用例 4如图，在正方形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O，MN 与 AB 平行交 OA、 OB 于 M 、N，求证： BM 垂直于 CNDCOMNPAB类题训练：如图所示，正方形ABCD 的对角线相交于O，Q 是 DC 上的任意一点，过 D 作 DPAQ ，交 AQ 于 H，交 BC 于 P求证：OPQ是等腰直角三角形ADHQOBPC第3页共 8页5梯形等腰梯形的性质(1)等腰梯形的两腰相等 .(2)等腰梯形在同一底上的两底角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.直角梯形的性质（1）有两个直角，另两个角互补（ 2）垂直于底的腰也是梯形的高例 5 （ 2007 年威海）如图，
5、四边形 ABCD 为一梯形纸片， AB CD ，AD BC 翻折纸片 ABCD ，使点 A 与点 C 重合，折痕为 EF 已知 CE AB （1）求证： EF BD ；（2）若 AB7 ， CD3 ，求线段 EF 的长DCFAEB第4页共 8页例 6（2007 年深圳市）如图 3，在梯形 ABCD 中，AD BC ，EA AD ， M 是 AE 上一点， BAE MCE ， MBE 45o （1）求证： BE ME （2）若 AB7 ，求 MC 的长ADMBCE【经典练习】一、填空1如图 1 所示，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB 、DC 上，BFDE，若 AD=12 ， AB
6、=7 ，且 AE:EB=5:2 ，中阴影 EBFD 的面积为cm2 2如图 2 所示，已知矩形 ABCD 中，以 AB 为直径作半圆切 CD 于 E，且 AB=4cm ，则图中阴影部分的面积为cm2DECADFEABB题 1CO题 23如右图所示，是某住宅的平面结构示意图，图中标注了有关尺寸（墙体厚度忽略不计，单位： m）房的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，如果他送用地砖的价格是元（用含 a, x, y 的代数式表示）y2 y卫生间卧室x4x厨房2x客厅a 元 / ，则买砖至少需用APDFEBC4y第5页共 8页4如右图所示，矩形ABCD 中， AB=3 ，AD=4 ，P 是 AD 上的动
7、点，PEAC 于 E， PFBD 于 F，则 PE PF二、选择题1已知一个凸四边形 ABCD 的四条边长顺次是 a,b, c,d ，且 a2abacbc0,b2bc bdcd 0 那么四边形 ABCD 是（）A 、平行四边形B、矩形C、菱形D、梯形2，如下图所示，矩形花园ABCD 中， ABa, AD b ，花园中建有一条矩形道路 LMPQ 及一条平行四边形道路 RSTK若 LM=RS=C ，则花园中可绿化部分的面积为（）AR SDA 、 bcabacb2B、 a 2abbcacLQC、 abbcacc2MPBK TCD、 b2a 2bcab3如图 3 所示四边形ABED 与四边形 AFCD
8、 都是平行四边形， AF和 DE 相交线成直角， AG=3cm，DG=4cm，平行四边形 ABED 的面积是 36 2，则四边形 ABCD 的周长为（）A. 49cmB. 43cmC. 41cmD. 46cm4如图 4 所示， E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE=BC，P 为 CE 上任意一点， PQBC 于点 Q， PRBE 于点 R，则 PQ+PR 的值是（）A 、 2B、 1C、 3D、 22223DADAR EGPBCBEFC题 3Q题 45如图 6 所示，用 8 块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，则每块长方形地砖的长和宽分别是（）A 、48cm、
9、12cmB、48cm、16cmC、45cm、16cmD、45cm、15cm60cm题 6题 7第6页共 8页6如图 7 所示， 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由几个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短直角边为 a ，较长直角边 b ，那么 a b 2 的值为（ ）A 、13B、19C、25D、169三、解答题1已知如图所示，在 Rt ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，AE 平分BAC交 CD 于 F，FGCB 交 AB 于 G求证： EF 与 CG
10、 互相垂直平分CEFAD GB2如图所示，已知四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于 O，四边形 AEFC 是菱形， EH AC ，垂足为 H求证： EH 1 FC 2CFDHOAEB第7页共 8页【作业】日期姓名完成时间成绩1如图所示，已知矩形 ABCD 中，对角 AC 、BD 相交于点 O，AE BD ，垂足为 E， DAE :BAE 3: 1，则 EACADOBEC2用长为 100cm 的铁丝制成一个矩形 ,其面积为 625 2，那么这个矩形的对角线长为cm（结果保留根号）3如图所示， 在矩形 ABCD 中，AC 、BD 交于 O 点，DE 平分 ADC ，交 AC 于 F，交 BC 于 E若 BDE 15 ，求 COE 的度数ADOBEC4如图，在ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O，BD=2AD ，E、F、G 分别是 OC、OD、AB 的中点，求证：（ 1）BEAC ；（2）EG=EFDCFEOAGB第8页共 8页