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1、.圆的概念和性质例 2已知，如图， CD是直径，EOD 84 ， AE交 O于 B，且 AB=OC，求 A 的度数。EBDOCA例 3O 平面内一点P 和 O 上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_cm 。例 4 在半径为 5cm 的圆中，弦 AB CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则 AB 和 CD 的距离是多少？例 6. 已知： O的半径 0A=1，弦 AB、AC的长分别为2,3 ，求BAC 的度数【考点速练】1. 下列命题中，正确的是（）A三点确定一个圆B任何一个三角形有且仅有一个外接圆C 任何一个四边形都有一个外接圆D 等腰三角形的外心一定在它的外部2如果一个三
2、角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D钝角三角形3圆的内接三角形的个数为（）A 1 个B 2C 3 个 D无数个4三角形的外接圆的个数为（） A 1 个B 2C 3 个 D 无数个5下列说法中，正确的个数为（）任意一点可以确定一个圆；任意两点可以确定一个圆；任意三点可以确定一个圆；经过任一点可以作圆；经过任意两点一定有圆A 1 个B 2 个C3 个D 4 个6. 与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是()A. 圆的外部 ( 包括边界 ) ； B. 圆的内部 ( 不包括边界 ) ； C. 圆； D. 圆的内部 ( 包括边界 )7. 已知O 的半径
3、为 6cm,P 为线段 OA的中点 , 若点 P 在O 上 , 则 OA的长 ( )A.等于 6cmB.等于 12cm；C.小于 6cmD.大于 12cm8. 如图 , O 的直径为 10cm,弦 AB为 8cm,P 是弦 AB上一点 , 若 OP的长为整数 , 则满足条件的点 P 有 () A.2个B.3个C.4个D.5个9. 如图 ,A 是半径为 5 的O 内一点 , 且 OA=3,过点 A 且长小于 8 的弦有 ( )A.0 条B.1条C.2条D.4条AOAPBO;.11. 如图，已知在ABC 中，A 90 ， AB=3cm， AC=4cm，以点 A 为圆心， AC长为半径画弧交 CB的
4、延长线于点 D，求CD的长CABD12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB 16cm，拱高 CD 4cm，那么拱形的半径是m。CA13、 ABC中， AB=AC=10， BC=12，则它的外接圆半径是。D14、如图，点 P 是半径为5 的 O内一点，且 OP 3，在过点 P 的所有的 O的弦中，弦长为整数的弦的条数为。OP1、在半径为2 的圆中，弦长等于23 的弦的弦心距为_2. ABC的三个顶点在O上, 且 AB=AC=2, BAC=120o, 则 O的半径 = _, BC=_.3 P 为 O内一点， OP=3cm， O半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_；?最长弦长为 _4.如图
5、,A,B,C 三点在 O上 , 且 AB是 O的直径 , 半径 OD AC,垂足为 F, 若 A=30o,OF=3,D则 OA=_, AC=_, BC= _.BCAFOB5. 如图 5, 为直径是 52cm圆柱形油槽 , 装入油后 , 油深 CD为 16cm,那么油面宽度 AB= _6. 如图 6, O中弦 AB AC,D,E分别是 AB,AC的中点 .若 AB=AC,则四边形 OEAD是形;若 OD=3, 半径 r5 ,则 AB=_cm,AC= _cm7. 如图 7， O的直径 AB和弦 CD相交于点 E，已知 AE=8cm， EB=4cm， CEA=30，则 CD的长为_COEOABDAD
6、BC(5)(6)(7);.垂经定理及其推论例 1如图 AB、 CD是 O的弦， M、 N 分别是 AB、 CD的中点，且AMNCNM AC求证： AB=CDMNOBD例 2 已知，不过圆心的直线 l 交 O于 C、D 两点， AB是 O的直径， AE l 于 E，BF l 于 F。求证： CE=DFBBOAE CHD F lOAOBElD F lCHF DE CHA问题一图 1问题一图 2问题一图 3例 4如图，在 O 内，弦CD与直径 AB 交成 45 0角，若弦 CD交直径 AB 于点 P，且 O 半径为 1，试问： PC 2PD 2是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.DAP。
7、BOC【考点速练】1. 已知 O的半径为 2cm，弦 AB长 2 3cm ，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（） .A 1cmB.2cmC.2cmD.3cm cm3如图 1，O的半径为6cm，AB、CD为两弦， 且 AB CD，垂足为点E，若 CE=3cm，DE=7cm，则 AB的长为（）A 10cmB.8cmC.4 2cmD.82cm4. 有下列判断： 直径是圆的对称轴； 圆的对称轴是一条直径； 直径平分弦与弦所对的孤；圆的对称轴有无数条. 其中正确的判断有（）A 0 个B.1个C.2个D.3个5如图 2，同心圆中，大圆的弦交AB于 C、 D 若 AB=4， CD=2，圆心 O到 A
8、B的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）;.A 3:2B.5 :2C.5 :2D.5:41.已知 O的直径 AB=10cm，弦 CD AB，垂足为 M。且 OM=3cm，则 CD= .2D是半径为 5cm 的 O内的一点， 且 D0=3cm，则过点 D 的所有弦中， 最小的弦 AB=cm.3.若圆的半径为 2cm，圆中一条弦长为 2 3 cm，则此弦所对应弓形的弓高是.4.已知 O的弦 AB=2cm,圆心到 AB的距离为 n, 则 O的半径 R=， O的周长为.O的面积为.5在 O中，弦 AB=10cm，C为劣孤 AB 的中点，OC交 AB于 D，CD=1cm，则 O的半径是.6 O中，
9、 AB、CD是弦，且 AB CD，且 AB=8cm，CD=6cm， O的半径为5cm，连接 AD、BC，则梯形 ABCD的面积等于.7如图， O的半径为4cm，弦 AB、 CD交于 E 点， AC=BC， OF CD于 F， OF=2cm，则BED=.CABEFOD8已知 O 的半径为10cm，弦 MN EF，且 MN=12cm， EF=16cm，则弦 MN和 EF 之间的距离为 .圆周角与圆心角例 2：如图， A 是 O 的圆周角，且A 35 ,则 OBC=_.BACOOAB例 3：如图，圆心角 AOB=100 ，则 ACB=C例：如图，AB 是 O 的直径，点 C，D， E 都在 O 上，
10、若 CD E ，则 A BoCCABO;.GOEDEFD（图）图.例 5：如图 2， O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G ，EOD40 ，则DCF例 6：已知：如图， AD?是 O?的直径， ABC=?30?，则 CAD=_DCCOOBAA_ . .B例 7：已知 O中，C30 ， AB2cm ，则 O的半径为cm 例 8 已知：如图所示，ABC 是 O的内接三角形， O的直径 BD交 AC于 E，AF BD于 F，延长 AF 交 BC于 G求证： AB 2BG BCA1BFEDOGC考点练习1. 如图，已知ACB 是 O 的圆周角，A100ACB50，则圆心角AOB 是（）40B.50
11、C.80D.ADOPBC2. 已知：如图，四边形 ABCD是 O的内接正方形， 点 P 是劣弧CD上不同于点 C 的任意一点，则 BPC的度数是（）A 45B 60C75D90E3. ABC中， A 30， B 60， AC 6，则 ABC外接圆的半径为（）DCA 2 3B 3 3C 3D 34. 圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（）AOBA 30 B 150 C 30或 150 D 60;.5. 如图右上所示， AB 是 O 的直径， AD DE， AE 与 BD 交于点 C，则图中与 BCE 相等的角有（）A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个6. 下列命题中，正确
12、的是（）顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；90 的圆周角所对的弦是直径；不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同弧所对的圆周角相等ABCDA7. 如图， O 是等边三角形 ABC 的外接圆， O 的半径为 2，则等边三角形ABC 的边长为（）OA 3B5C 23D 25BC8. 如图， ABC内接于 O， BAC=120， AB=AC， BD为O的直径， AD=6，则 BC。65A（第 9 题）9. 如图 9，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65 为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台。10. 如图，量角器外沿上有
13、A、 B 两点，它们的读数分别是70、 40，则 1 的度数为。CxAO PBO11. 如图 , AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上， BAC =30，点 P 在线段 OB 上运动 . 设 ACP=x，则 x 的取值范围是.12. 如图所示，小华从一个圆形场地的 A 点出发，沿着与半径 OA 夹角为 的方向行走，走到场地边缘 B 后，再沿着与半径 OB 夹角为 的方向折向行走。按照这种方式， 小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时 AOE 56，则 的度数是.13. 如图，已知 A、 B、 C、 D 是 O上的四个点， AB BC， BD 交 AC于点 E，连接 CD 、 AD（
14、1）求证： DB平分 ADC；（ 2）若 BE 3， ED 6，求 AB 的长 ;.14. 如图所示，已知AB 为 O 的直径， CD 是弦，且ABCD 于点 E连接 AC、OC、 BC（1）求证：ACO=BCD A（2）若 EB= 8cm ，CD = 24cm ，求 O 的直径OECDB圆心角、弧、弦、弦心距关系定理例 1如图所示，点O 是 EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和 C、 D，求证： AB=CD EBAP1O2CDF例 2、已知：如图， EF为 O的直径，过 EF上一点 P作弦 AB、 CD，且 APF= CPF。求证： PA=PC。例 3如图所
15、示，在ABC 中， A= 72 ， O截ABC 的三条边长所得的三条弦等长，求BOC.A OBC例 4如图， O的弦 CB、 ED的延长线交于点 A，且 BC=DE求证： AC=AECBOA;.DE.例 5如图所示，已知在 O中，弦 AB=CB， ABC=120 ，OD AB于 D， OEBC于 E求证： ODE 是等边三角形OADEC综合练习B一、选择题1 下列说法中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、相等的弧所对的圆心角相等C、相等的弦所对的弦心距相等D、弦心距相等，则弦相等B2 如图，在O中， AB 的度数是5040，那么 OAC等于（CA， OBC=）A、 15、 20、 25
16、、 30OBCD3P 为 O内一点，已知 OP=1cm， O的半径 r=2cm，则过 P 点弦中， 最短的弦长为 （图）A、 1cmB、 3 cmC、 2 3 cmD、 4cm4在 O 中， AB 与 CD为两平行弦，ABCD， AB、 CD所对圆心角分别为120 ,60，若 O的半径为6，则 AB、CD两弦相距（）A、 3B、 6C、 3 1D、 3 3 35. 如图所示，已知 ABC是等边三角形，以 BC为直径的 O分别交 AB、 AC于点 D、 E。（1）试说明 ODE的形状；（ 2）如图 2，若 A=60o， ABAC，则的结论是否仍然成立，说明你的理由。AADEDEBCOBCO6 如
17、图， ABC是等边三角形，O过点 B， C，且与 BA、 CA的延长线分别交于点D、 E. 弦DF AC， EF的延长线交 BC的延长线于点 G.E DA;.FOBCG.（ 1）求证： BEF是等边三角形；（ 2） BA=4， CG=2，求 BF 的长 .7 已知：如图， AOB=90 ， C、D是弧 AB 的三等分点， AB 分别交 OC、OD 于点 E、F。求证： AE=BF=CD 。1. 如图 1，ABC 内接于 O ，C 45 ，AB4 则 O 的半径为（） .A 2 2B 4C 2 3D 52. 如图 2，在 O 中，点 C是 AB 的中点，A 40 ，则BOC 等于（） .A 40
18、B 50C 70D 80如图 1如图 23. 如 图 3 ， A 、 B、 C、 D 是 O 上 四 点 ， 且 D 是 AB 的 中 点 ， CD 交 OB 于 E，AOB100 ,OBC 55 ， OEC =度 .4. 如图4，已知AB 是 O 的直径， C、D 是 O 上的两点，D 130 ，则BAC 的度数是 .5. 如图 5，AB是半圆 O 的直径， E 是 BC的中点， OE交弦 BC于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则 AD的长为cm.如图 3如图 4如图 56如图所示，在 O中， AB是直径， CO AB，D 是 CO的中点， DE AB求证 : EC=2EACED;.AOB.;.