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1、.华贤书院教学过程补充表知识要点：1. 比例 段的有关概念：在比例式 ac：中， 、 叫外 ， 、叫内 ， 、 叫前 ，bd(a b c d )a db ca cb、 d 叫后 ， d 叫第四比例 ，如果 b=c，那么 b 叫做 a、d 的比例中 。把 段 AB分成两条 段AC和 BC，使2AC=ABBC，叫做把 段 AB黄金分割， C 叫做 段AB的黄金分割点。2. 比例性 ：基本性 ： acad bcbd合比性 ：aca bc dbdbd等比性 ：acm(b d acmabdnn 0)dnbb3. 平行 分 段成比例定理：定理：三条平行 截两条直 ，所得的 段成比例，如 ：l 1l 2 l
2、 3。则 ABDE ， ABDE ， BCEF ，BCEFACDFACDF推 ：平行于三角形一 的直 截其他两 （或两 的延 ） 所得的 段成比例。定理：如果一条直 截三角形的两 （或两 的延 ）所得的 段成比例，那么 条直 平行于三角形的第三 。4. 相似三角形的判定：两角 相等，两个三角形相似两 成比例且 角相等，两三角形相似三 成比例，两三角形相似如果一个直角三角形的斜 和一条直角 与另一个直角三角形的斜 和一条直角 成比例，那么 两个直角形相似平行于三角形一 的直 和其他两 （或两 的延 ）相交，所构成的三角形与原三角形相似直角三角形被斜 上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5.
3、相似三角形的性 相似三角形的 角相等相似三角形的 成比例;.相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例 1.（1）在比例尺是1：8000000 的中国行政区地图上，量得A、B 两城市的距离是7.5 厘米，那么 A、 B 两城市的实际距离是 _千米。（2）小芳的身高是1.6m，在某一时刻，她的影子长2m，此刻测得某建筑物的影长是18米，则此建筑物的高是 _米。例 2. 如图，已知 DEBC， EFAB，则下列比例式错误的是： _A ADAECEEA.ACB.FBABCFC. DEADD. EFCFB
4、CBDABCB例 3.如图，在等边 ABC中， P 为 BC上一点， D为 AC上一点，且 APD=60，CD2 ，求的边长BP 13ABC例 4.如图：四边形 ABEG、GEFH、HFCD都是边长为 a 的正方形，（1）求证： AEF CEA（2）求证： AFB+ ACB=45;.例 5. 已知：如图，梯形 ABCD中， AD BC，AC、BD交于点 O，EF 经过点 O且和两底平行，交 AB于 E，交 CD于 F求证： OE=OF例 6. 已知：如图， ABC中， ADBC于 D，DEAB于 E，DFAC于 F求证： AEACAFAB分析： 观察 AE、AF、 AC、AB 在图中的位置不宜
5、直接通过两个三角形相似加以解决。因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代换，通过 ABD ADE，可得： ABAD ，于是得到AD2，同理ADAEAEAB可得到 AD 2AF AC，故可得： AE AB AFAC，即 AEACAFAB例 7. 如图， D为 ABC中 BC边上的一点， CAD= B，若 AD=6，AB=8， BD=7，求 DC的长。分析：本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角”的基本图形，我们可以由基本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决。;.例 8. 如图，在矩形 ABCD中， E
6、 是 CD的中点， BEAC于 F，过 F 作 FGAB交 AE于 G，2求证： AG=AFFC例 9. 如图，在梯形 ABCD中，AD BC，若 BCD的平分线 CHAB于点 H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为 21，求 HBC的面积。分析：因为问题涉及四边形 AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。巩固练习一、填空题：1. 已知 a2b9 ，则 a：b _2ab52. 若三角形三边之比为 3：5：7，与它相似的三角形的最长边是 21cm，则其余两边之和是_cm3.如图， ABC中， D、E 分别是 AB、 AC的中点， BC=6，则 DE=； AD
7、E与 ABC的面积之比为： _。;.4. 已知线段 a=4cm，b=9cm，则线段 a、 b 的比例中项 c 为_cm。5. 在 ABC中，点 D、E分别在边 AB、AC上，DEBC，如果 AD=8，DB=6，EC=9，那么 AE=_6. 已知三个数 1，2， 3 ，请你添上一个数， 使它能构成一个比例式， 则这个数是 _7. 如图，在梯形 ABCD中，ADBC，EFBC，若 AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则 EF=_8. 如图，在梯形 ABCD中， AD BC， A=90， BD CD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：_二、选择题：1. 如果两个相似三角形对应边的
8、比是 3： 4，那么它们的对应高的比是 _A. 9：16B. 3 ：2C. 3：4D. 3 ：72. 在比例尺为 1： m的某市地图上，规划出长 a 厘米，宽 b 厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是 _米 24422A.10 mB.10 mC.abmD.abmabab10410 43. 已知，如图， DEBC，EF AB，则下列结论： AEBE ADABECFCBFBC EFDE CEEAABBCCFBF其中正确的比例式的个数是 _A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个4. 如图，在 ABC中， AB=24，AC=18，D 是 AC上一点， AD=12，在 AB上取一点 E，使
9、A、D、 E 三点为顶点组成的三角形与 ABC相似，则 AE的长是 _;.A. 16B. 14C. 16 或 14D. 16 或 95. 如图，在 Rt ABC中， BAC=90， D是 BC的中点， AEAD，交 CB的延长线于点 E，则下列结论正确的是 _A.AED ACBB. AEB ACDC.BAE ACED. AEC DAC三、解答题：1. 如图， ADEGBC， AD=6， BC=9，AE：AB=2：3，求 GF的长。2. 如图， ABC中， D是 AB上一点，且 AB=3AD， B=75， CDB=60，求证： ABC CBD。3.如图， BE为 ABC的外接圆 O的直径， CD
10、为 ABC的高，;.求证： AC BC=BECD4. 如图， RtABC中， ACB=90， AD平分 CAB交 BC于点 D，过点 C 作 CE AD于 E，CE的延长线交 AB于点 F，过点 E 作 EGBC交 AB于点 G，AE AD=16，AB4 5 ，（1）求证： CE=EF（2）求 EG的长答案：例一： 这是两道与比例有关的题目，都比较简单。（1）应填 600 （2）应填 14.4 。例二： 由DEBC，EF AB可知， A、B、D都正确。而不能得到 DEAD ，BCBD故应选 C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截线， C中 DE 很显然是两平行
11、线段的比，因此应是利用三角相似后对应边成比BC例这一性质来写结论，即DEADAEBCABAC例三： ABC是等边三角形 C=B=60又 PDC=1+ APD= 1+60APB=1+C= 1+60 PDC= APB;. PDC APB设 PC=x，则 AB=BC=1+x2x3 ， x2，1 x1AB=1+x=3。 ABC的边长为 3。例四： 因为 AEF、 CEA有公共角 AEF故要证明 AEF CEA只需证明两个三角形中，夹AEF、 CEA的两边对应成比例即可。证明：（1）四边形 ABEG、GEFH、HFCD是正方形AB=BE=EF=FC=a， ABE=90 AE2a，EC2a AE2a2，
12、EC2a2EFaAE2a AEECEFAE又 CEA=AEF CEA AEF（2） AEF CEA AFE= EAC四边形 ABEG是正方形ADBC， AG=GE，AGGE ACB= CAD， EAG=45 AFB+ ACB= EAC+ CAD= EAG AFB+ ACB=45例五： ADEFBC OEAE ， OEEBBCABADAB OEOEAEEBAB1BCADABABAB 111BCADOE同理： 111BCADOF 11OEOFOE=OF从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论： AD EF BC111ADBCOE AD EF BC OEOF1 EF2 AD EF BC111
13、ADBCOE;.121OFEF2即 112ADBCEFAD、 BC、EF 中，已知任何两条线段的长度，都可这是梯形中的一个性质，由此可知，在以求出第三条线段的长度。例六： 在 ABD和 ADE中， ADB= AED=90BAD=DAE ABD ADEABADADAE2AD=AEAB同理： ACD ADF2可得： AD=AFACAEAB=AF AC例七：在 ADC和 BAC中 CAD= B， C= C ADC BAC AD DC ACABACBC又 AD=6， AD=8， BD=7DCAC3AC7DC4DC3即 AC 4AC37DC4解得： DC=9例八：在矩形 ABCD中，AD=BC，ADC=
14、BCE=90又 E 是 CD的中点， DE=CE Rt ADERt BCEAE=BEFGABAEAGBEBFAG=BF在 RtABC中， BFAC于 F Rt BFCRt AFBBF2=AFFC2AG=AFFC例九： 延长 BA、CD交于点 P;.CHAB， CD平分 BCDCB=CP，且 BH=PHBH=3AHPA：AB=1：2PA：PB=1：3ADBC PAD PBCSPAD：9S PBC 1 SPCH1 SPBC2 SPADS四边形 AHCD2： 7 S四边形 AHCD21 SPAD6 SPBC 54 SHBC1 S PBC272巩固练习参考答案一、填空题：1.19 ：132. 243.
15、 3 ；1：44.65. 126.只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如：2 2、2 等。27.14.48.166二、选择题：1.C2. D3. B4. D5. C三、解答题：1. 解： ADEGBC在 ABC中，有 EGAEBCAB在 ABD中，有 EFBEADABAE：AB=2：3BE：AB=1：3 EG2 BC，EF1 AD33BC=9，AD=6EG=6，EF=2GF=EGEF=42. 解：过点 B 作 BE CD于点 E， CDB=60， CBD=75 DBE=30，CBE=CBD DBE=75 30=45 CBE是等腰直角三角形。;.AB=3AD，设 AD=k，则 A
16、B=3k， BD=2kDE=k，BE3k BC6k BD2k2 ，BC6k3BC6k2AB3k3 BD BCBCAB ABC CBD3. 连结 EC， BC BC E=A又 BE是 O的直径 BCE=90又 CDAB ADC=90 ADC ECB AC CDEBBC即 ACBC=BECD4. （1） AD平分 CAB CAE= FAE又 AECF CEA= FEA=90又 AE=AE ACE AFE（ ASA）CE=EF（2） ACB=90， CEAD， CAE=DAC CAE DAC AC AE AD AC AC 2 AE AD 16在 RtACB中BC 2AB 2AC 2(4 5) 21664 BC 8又 CE=EF，EGBCFG=GBEG是 FBC的中位线 EG1 BC 42;.;.