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1、;.微积分（ 1）练习题一单项选择题1设 fx0 存在，则下列等式成立的有（）f x0xf x0fx0B limf x0xf x0fx0A limxxx0x0C limf x02hf x0fx0D limf x02hf x01x0fh 0hh0h22下列极限不存在的有（）A limx sin1B limx22x2x1x 0xx123C lim e xD lim3x61x0x2xx3设 f ( x) 的一个原函数是 e 2 x ，则 f ( x)（）A 2e 2 xB e 2 xC 4e 2xD2xe 2x2x,0x14函数 f ( x)1,x1在 0,上的间断点 x1为（）间断点。1x,x1A
2、 跳跃间断点；B无穷间断点；C可去间断点；D振荡间断点5 设函数 fx在 a, b上有定义，在a,b内可导，则下列结论成立的有（）A 当 f a f b0时，至少存在一点a, b，使 f0 ；B 对任何a, b，有 lim fxf0 ；xC 当 f afb时，至少存在一点a, b，使 f0；D至少存在一点a, b ，使 f bf afba ；6 已知 f x的导数在 xa 处连续，若 limfx1，则下列结论成立的有（）xa xaA xa 是 fx 的极小值点；B xa 是 fx的极大值点；;.;.C a, f a是曲线 yf x 的拐点；D xa 不是 fx的极值点， a, f a也不是曲线
3、 y f x的拐点；二填空：1设 yfarcsin1， f 可微，则 yxx2若 y 3x52x 2x 3 ，则 y 63过原点 0,1 作曲线 y e2x 的切线，则切线方程为4曲线 y4 x12 的水平渐近线方程为x2铅垂渐近线方程为5设 f(ln x)1x ，则 f xf x三计算题：（ 1）x 21（ ）x 3limx 222x32 limx1 xxx（ 3）limln(1 x2 )（ ）2求 dyx sin 3x4 yln 1 2 xx 0（ ） exyy35x0求dyx 05dx四 试确定 a ，b ，使函数 f xb 1 sin xa 2,x00处连续且可导。eax1,x在 x0
4、五试证明不等式：当x1时， e xex1xexe2f xfax a ，其中 fx 在 a,上连续， fx 在 a,内存六设 F xa,x在且大于零，求证F x在 a,内单调递增。;.;.微积分练习题参考答案七单项选择题1（ B ） 2（ C ） 3（ A） 4（ C ） 5（ B ） 6（ B ）八填空：（每小题3 分，共 15 分）11f arcsin 1xx21x2 y 603y2x14 y2 ， x05 f x 1 ex ， f xx exc三,计算题：（1） limx212（2） limx 3x2x 1 x2x 3limx 21x22x 3x1lim2x2x2x112（ 3） liml
5、n(1x2 )x0x sin 3xlimln(1x2 )x0xsin 3xlimx21x3x3x0（ 5） exyy35x0求 dydx x 0exy yxy3y 2 y50y5yexy3y2xexy又 x0y1xxx 3x2limxxx22 ) 2x 3lim (1xxxlim2x6xe 2ex（4） y ln 1 2 x2求 dydy 2 ln 12x12 dx12x4 ln 12xdx12x;.;.yx 05ye xyx 023y 2xexyy1（九 试确定 a ，b ，使函数 fxb 1sin xa2,x00处连续且可导。eax1,x在 x0（ 8 分）解： f00lim b 1sin
6、 xa2ab2x0f00lim eax10 ，函 数 fx在 x0 处连 续 f00f 00x0ab20，（1）f0limb 1sin xa2ba2bx0xf0lim eax1ab2lim eax1ax0xx0x函数 fx 在 x0 处可导 f0f0 ，故 ab（ 2）由（ 1）（ 2）知 ab1十试证明不等式：当x1时， e xex1xexe（ 8 分）2证：（法一）设 ftett1, x则由拉格朗日中值定理有e x 1exee x 1 ex x 11, x整理得： e xex1 xexe2法二：设 fxexexfxexe0x1故 f x exex 在 x1时，为增函数，f xexex f 1 0，即 exex设 f xex1 xexe2f x ex1 exxex1 ex 1 x 0x 1故 f x ex1 xexe在222x 1 时，为减函数，f x ex 1 exxexf 1 0 ，即 ex 1 xexe22;.;.综上， e x ex1xexe2十一设 F xfxfaxa ，其中 fx 在 a,上连续， fx 在 a,内xa存在且大于零，求证 Fx在 a,内单调递增。（ 5 分）证： Ffxxafxf ax( xa) 2fxxafxa ax( xa) 2fxfx afx0xxa故 F x 在 a,内单调递增。;.