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1、平面向量与圆锥曲线的综合问题例 1已知 F1、F2 分别是椭圆x2y21 的左、右焦点 .4uuur uuuur5 ，求点 P 的作标；（）若 P 是第一象限内该数轴上的一点，PF1 ? PF24（）设过定点 M（ 0，2）的直线 l 与椭圆交于同的两点A、B，且 ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力（）易知 a2 ， b1 ， c3 F1 (3,0) ， F2 (3,0) 设 P( x, y) (x0, y0)则uuuruuuur2y25 ，又 x2y2
2、PF1 PF2(3 x, y)( 3 x, y) x31 ，44x2y27x21x13 ) 联立x24 ，解得y233， P(1,y21y2442（）显然x0不满足题设条件可设l 的方程为 ykx2 ，设 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) x2y21x24(kx2)24(14k2) x216kx120联立4ykx2 x1x2112， x1x2116k由(16k)24 (1 4k2 ) 1204k 24k 2316k 23(14k2 )0 ， 4k 230， 得 k2 又AOB 为 锐 角uuuruuuruuuruuur4cos AOB0OA OB0 ， OA OBx1x2y1
3、y20又 y1 y2(kx12)( kx22) k 2 x1x22k( x1x2 ) 4x1x2y1 y2(1 k 2 ) x1 x22k (x1 x2 ) 4(1 k 2 )122k (116k)41 4k 24k 212(1k2 )2k 16k44(4k 2 )0 1k 24 14k214k 214k 24第- 1 -页共 7页综可知 3k 24 ， k 的取值范围是 ( 2,3 ) U ( 3 , 2)422例 2已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线y22x 上，其中 O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点 C 为圆心）（ I）求圆 C 的方程；（ II）设圆 M 的方程为
4、( x47cos) 2( y7cos)21 ，过圆 M 上任意一点P 分别作圆 C 的两条切线uuuruuurPE，PF ，切点为 E，F ，求 CE ? CF 的最大值和最小值本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分14 分（ I）解法一：设A，B 两点坐标分别为y2，y1y21，2 ，y2，由题设知22y122y1 22y12y222y22y22( y1 y2 )2 2222解得 y12y2212 ，所以 A(6，23)，B(6， 23)或 A(6， 23)， B(6，23) 设圆心 C 的坐标为 (r，0) ，则 r264
5、，所以圆 C 的方程为 ( x4)2y2163解法二：设A，B 两点坐标分别为( x1， y1 ) ， (x2， y2 ) ，由题设知x12y12x22y22 又因为 y122x1 ， y222x2 ，可得 x122 x1x222x2 即(x1x2 )( x1 x22)0 由 x10 ， x20 ，可知 x1x2 ，故 A，B 两点关于 x 轴对称，所 以 圆 心 C 在 x 轴上 设 C 点 的 坐 标 为 (r，0) ， 则 A 点坐 标 为3 r， 3 r，于 是 有22323r2r ，解得 r4 ，所以圆 C 的方程为 ( x4)2y216 22ECF2auuuruuuruuur uu
6、ur2（ II）解：设，则CE CF| CE | | CF | cos216cos 232cos16ggg在 Rt PCE 中， cosx4，由圆的几何性质得| PC | PC | PC | MC |1 718 ， | PC | MC | 17 16 ，所以 1 cos 2 ，由此可23得第- 2 -页共 7页uuuruuuruuuruuur16 ，最小 8 8 CE gCF 16 CEgCF 的最大 99例 3已知 F (1，0)，直 l : x1 ， P 平面上的 点， 点 P 作 l 的垂 ， 垂足 点 Q ，uuuruuuruuuruuurF 的直 交 迹C 于且 QP ?QFFP ?
7、FQ （）求 点 P 的 迹 C 的方程；（） 点uuuruuuruuuruuurA，B 两点，交直 l 于点 M （ 1）已知 MA1 AF ， MB2 BF ，求 12的 ；（ 2）uuuruuur求 MA MB 的最小 yuuur uuuruuuruuur解法一：（） 点P(x， y)， Q( 1， y)，由 QP QFFP FQ 得：ggQPB2， y) ，化 得 C : y 24x (x 1，0)g(2， y)(x 1， y)g(（）（1） 直 AB 的方程 ：OFx1， 2Ax my 1(m0) A(x1， y1) ， B( x2， y2 ) ，又 M，Mmy2，4my40 ，(4
8、m) 2120 ， 立方程 4x，消去 x 得： y2xmy，1y1y2，uuuruuur uuuruuur224m由， MA1 AF MB2 BF 得： y11 y1 y22 y2y1 y2mm4整理得：11221212221122gy1y2my1my2m y1y2m y1 y222 g4m0m4uuuruuuruuur uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解法二：（）由 QP QFFP FQ 得：FQ g( PQPF )0，( PQPF )g( PQPF ) 0gguuur 2 uuur 20uuuruuurPQPFPQPF所以点 P 的 迹 C 是抛物 ，由
9、意， 迹C 的方程 ：y24x uuuruuuruuuruuur（）（1）由已知 MA1 AF ， MB2 BF ，得 1g 20 uuuruuurMA1AFA， B 分 作准 l 的垂 ，垂足分 A1 ， B1 ， ： uuuruuur 点MB2BFuuuruuuruuuruuuruuurMAAA1AF1AFAF0 有： uuuruuuruuur由得：uuuruuur，即12MBBB1BF2BFBF第- 3 -页共 7页uuur uuur2y1 yM y2yM（）（2）解：由解法一，MA gMB1 m222(1 m2 ) 424m4(1 m2 ) 44(1 m ) y1 y2 yM ( y1
10、y2 ) yMmm2m24(2 m2 12 ) 4 22 m2 g 1216 当且仅当 m212，即 m1时等号成立，所mmmuuuruuur以 MA gMB 最小值为 16 同步练习2uuuruuuruuurFBFC0，则1 设 F 为抛物线 y4x 的焦点， A， B， C 为该抛物线上三点， 若 FAuuuruuuruuurFA FB FC（ B ）A9 B6C4D 32 设 F1， F2 分别是双曲线 x2y2uuuruuuur1的左、右焦点若点 P 在双曲线上， 且 PF1? PF20 ，9uuuruuuurC 5则 PF1PF2（ B ） A10B 2 10D 2 53 已知 F1
11、、 F2是椭圆的两个焦点满足MF1 MF2 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ） A (0，1)B (0， 1 C(0，2 )D 2 ，2221)x 2y21的左、右焦点分别为 F1、F2，且 |F 1 F2|=2 c，点 A 在椭圆上， AF1F1 F 24 已知椭圆ba 22=0 AF1AF 2c 2，则椭圆的离心率e=（）3B3151D2A2C2325 P 是抛物线 x 21 ( y 1) 上的动点，点 A（0,-1），点 Muuuuruuur满足 PM2MA ，则点 M 的轨2迹方程是（ A )A） x 21 ( y1)（ B） y 21 (x1)（ C） x
12、21 ( y1) （ D） x 21 ( y 1)6363333已知两点（ ， ）、（ ， ），点uuuuruuuruuuuruuurP为坐标平面内的动点， 满足 | MN | | MP | MNNP6 .M2 0 N 20 0，则动点P（ x，y）的轨迹方程为( B)第- 4 -页共 7页A. y 28xB. y 28xC. y 24xD. y 24 x7 设直线l过点（ 0， 3），和椭圆 x2y21顺次交于、B两点，若 uuuruuurP94AAPPB 则 的取值范围为 _uuur uuur8 已知点 A o,2 ,B0，4，动点 P x, yy28 ，则动点 P 的轨迹方程是 _满足
13、PA.PBx22 y _9 椭圆 E 的中心在原点O，焦点在 x 轴上，其离心率 e2, 过点 C（ 1,0 ）的直线 l 与3uuuruuur椭圆 E 相交于 A、B 两点，且满足点 C 满足 AC2CB（ 1）用直线 l 的斜率 k ( k 0 ) 表示 OAB的面积；（ 2）当 OAB的面积最大时，求椭圆 E 的方程。解：（ 1）设椭圆 E 的方程为 x2y 21 ( a b 0 ) ，由 e = c2a2b2a3a2=32故椭圆方程x2 + 3y2 = 3 2bb设 A( x ,y ) 、 B( x , y ),由于点 C（ 1， 0）分向量 AB 的比为 2，1122x12 x 21
14、x112( x21)3即y12y2y12 y 203由x23y 23b2y整理并化简得(3k2+1)2+62+322=0消去 3yk (x1)x k x kb由直线 l与椭圆 E 相交于 A（ x , y ） ,B( x , y ) 两点得：11220恒成立（点 C是 AB的内分点）x1x26k23k21x1x23k 23b23k 21而 S OAB1 | y1y2 |1 |2 y2 y2 | 3 | y2 |3 | k( x21) | 3 | k | x2 1 | 22222由得 : x+1=2，代入得： S=3 | k |0)( k23k 21OAB3k 21第- 5 -页共 7页（2）因
15、 S=3 | k |333,OAB13k 213 | k |232| k |当且仅当 k3 , S OAB取得最大值3此时 x1 +x2 = 1,又x12x2= 1 x1=1, x2 = 23将 x , x2=1代入得2= 5 椭圆方程22= 5及 k3bx+ 3 y12310 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 x2y21 有两个，2不同的交点P 和 Q （ I）求 k 的取值范围； II）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A，B ，是否存在常数uuuruuuruuurk 值；如果不k ，使得向量 OPOQ 与 AB 共线？如果存在，求存
16、在，请说明理由解：（）由已知条件，直线l的方程为 ykx2，代入椭圆方程得x2(kx2) 212整理得1k 2x222kx102直线 l与椭圆有两个不同的交点P 和 Q 等价于8k 241k 24k 220 ，2解得 k2或 k2即 k 的取值范围为 ，2U2 ， 2222（）设 P(x1， y1)， Q (x2， y2 )，则uuuruuur12，12，OPOQx(xyy )由方程， x1x242k12k2又 y1y2k (x1x2 ) 2 2 A(uuur(而， 2 0)B(0 1) AB2 1)uuuruuuruuurx1x22( y1y2 ) ，所以 OPOQ与 AB 共线等价于第- 6 -页共 7页将代入上式，解得k2 2由（）知 k2或 k2 ，故没有符合题意的常数 k 22第- 7 -页共 7页