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1、专题十一 - 因式分解的常用方法-作者 :_-日期 :_因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法 .：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法 .在整式的乘、除中，我们学过若干
2、个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（ 1） (a+b)(a-b) = a2- b2 -a2- b2=(a+b)(a-b) ；222222(2) (a b)= a 2ab+b a 2ab+b =(a b) ；(3) (a+b)(a22333322-ab+b ) =a+b - a+b =(a+b)(a-ab+b ) ；(4) (a - b)(a 2+ab+b2) = a 3-b3 -a3-b3=(a -b)(a 2+ab+b2) 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c
3、)(a2+b2+c2-ab-bc -ca) ；例 .已知 a， b，c 是 ABC 的三边，且 a2b2c2abbc ca ，则ABC 的形状是（）A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形解： a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc2ca(ab)2(bc)2(ca)20abc三、分组分解法 .（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有2b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组
4、之间的联系。解：原式 = (aman)(bmbn )=a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！=( mn)( ab)例 2、分解因式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式 = (2ax10ay )(5bybx)原式 = (2axbx )( 10ay5by)= 2a( x5y)b( x5y)=x(2ab)5 y(2ab)= (x5 y)(2ab)=(2ab)( x5y)练习：分解因式1、 a2abacbc2、 xyxy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： x2 y 2 ax ay分析：若将第一、
5、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 = ( x 2y2 )(axay)=(x y)( x y) a(x y)=(x y)( xya)例 4、分解因式： a22abb2c 2解：原式 = (a 22abb2 ) c2=(a b) 2c 2=(a b c)(a b c)练习：分解因式 3、 x 2x9 y 23y 4、 x2y 2z22 yz综合练习：（ 1） x3x 2 yxy 2y 3 （ 2） ax2bx 2bxaxa b（ 3） x 26xy9y 216a28a1 （4） a26ab12b9b24a（ 5） a 42a3a2
6、9（ 6） 4a 2 x 4a 2 y b 2 x b2 y（ 7） x 22xyxzyz y2（8） a 22ab 22b2ab13（ 9） y( y2)(m1)(m1)（10） (ac)( ac)b(b2a)（ 11） a 2 (bc)b 2 (ac)c 2 (ab)2abc （ 12） a3b3c33abc四、十字相乘法 .（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x 2( pq) xpq( xp)( xq) 进行分解。特点：（ 1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例 . 已知 0 a 5，且 a 为整数
7、，若 2x23xa 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式 ax2+bx+c，都要求b24ac 0 而且是一个完全平方数。于是98a 为完全平方数， a1例 5、分解因式： x25x6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23 的分解适合，即 2+3=5。12解： x 25x6 = x 2(23) x2313=(x2)( x3)12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： x27 x6解：原
8、式 = x 2(1)( 6) x( 1)( 6)1-1= ( x1)( x6)1-6（-1）+（-6）= -74练习 5、分解因式 (1) x 214 x24 (2)a 215a36 (3)x 24x5练习 6、分解因式 (1) x2x2 (2) y 22 y 15(3) x210x24（二）二次项系数不为1 的二次三项式 ax 2bx c条件：（ 1） aa1 a2a1c1（2） c c1c2a2c2（3） b a1c2a2c1b a1c2 a2c1分解结果： ax 2bxc =( a1 xc1 )(a2 xc2 )例 7、分解因式： 3x2 11x 10分析：1 -23-5（ -6）+（-
9、5）= -11解： 3x 211x10 = ( x2)(3x 5)练习 7、分解因式：（ 1） 5x 27 x 6（ 2） 3x27x 2（ 3） 10x 217x 3（4） 6 y 211y10（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式： a2 8ab 128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a 28ab128b2 = a 2 8b ( 16b)a 8b( 16b)=( a 8b)(a 16b)练习 8、分解因式 (1) x 23xy2 y2 (2) m26mn8n2 (3)
10、a 2ab 6b2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式5例 9、 2x 27xy6 y2例 10、 x2 y 23xy21-2y把 xy 看作一个整体 1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2 y)(2 x3y)解：原式 = ( xy1)( xy2)练习 9、分解因式：（ 1）15x27xy2（ ）2 26ax 84 y2a x综合练习 10、（ 1） 8x67 x31（2） 12 x211xy15 y 2（ ）x y23(x y)10（4） (a b) 24a 4b 33 ()（ ） x 2 y 25x 2 y6x2（ 6） m2
11、4mn4n23m6n25（ 7） x 24xy4y 22x4 y3 （8） 5(a b)223(a 2b2 )10(a b) 2（ 9） 4x 24xy6x3 yy 210 （ 10） 12(xy) 211( x2y 2 ) 2( x y) 2思考：分解因式： abcx 2( a 2b2c2 ) xabc五、换元法。例 13、分解因式（ 1） 2005 x2(2005 21)x2005（2） ( x 1)( x 2)( x3)( x 6)x2解：（ 1）设 2005= a ，则原式 = ax 2(a 21) x a=(ax 1)( xa)=(2005 x 1)( x 2005)（2）型如 ab
12、cd e 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 = ( x27x 6)( x25x 6) x2设 x 25x6 A ，则 x 27x 6 A 2x原式 = ( A2x) Ax2 = A22 Axx2= ( A x) 2 =( x26x 6)2练习 13、分解因式（ 1） ( x2xyy 2 )24xy(x 2y 2 )（2） (x 23x2)( 4x28x3)90（3） (a 21) 2( a 25) 24(a23) 2例 14、分解因式（ 1） 2x 4x36x2x26观察：此多项式的特点是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距
13、离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=x2( 2x2x 61122( x211xx2 ) = xx2 )( x)x设 x1t ，则 x 21t 22xx 2原式 = x2（2 t 22) t6= x22t 2t10= x2 2t 5 t 2 = x2 2x25 x12xx= x2x25 xx12 = 2x 25x 2 x 22x 1xx=( x1) 2 (2x1)( x2)（ 2） x 44 x3x24x 1解：原式224x 1412x211= x ( xxx2 ) = xx24 xx61设 x1y ，则 x 2x原式 = x2 ( y24 y= x2
14、 ( x11)( xx练习 14、（ 1） 6x 47x 3（ 2） x 42x31 y22x 23)= x2 ( y 1)( y3)13) = x2x 1 x23x 1x236x7x6x212( xx2 )六、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（ 1） x33x 24解法 1拆项。解法 2添项。原式 = x31 3x23原式 = x33x 24x 4x 4= ( x1)( x 2x1)3( x1)( x1) = x(x 23x 4) (4 x 4)= ( x 1)( x2x 1 3x 3)= x(x 1)( x 4) 4( x 1)= ( x 1)( x 24x 4)=( x 1)( x
15、24x 4)= ( x 1)( x 2) 2=( x 1)( x 2)2（ 2） x9x6x33解：原式 = ( x91)( x61)( x31)7= ( x31)(x 6x 31)(x 31)( x31) ( x31)= ( x31)(x 6x31 x 31 1)= ( x1)( x 2x1)( x62x33)练习 15、分解因式（ 1） x39x8（2） ( x 1) 4( x21) 2（ 3） x 47x 21（ 4） x 4x22ax 1（ 5） x 4y 4( x y) 4（ 6） 2a 2 b22a 2 c2七、待定系数法。例 16、分解因式 x 2xy6 y 2x 13 y 6分
16、析：原式的前3 项 x 2xy6 y 2 可以分为 (x必定可分为 ( x3 ym)( x2 yn)4(x1)2b 2 c2a4b4c43 y)( x2 y) ，则原多项式解：设 x 2xy6 y 2x13y6 =(x3 ym)( x 2 yn) (x3 ym)( x2yn) = x2xy6y 2(mn) x(3n2m) ymn x 2xy6 y2x13y6 = x 2xy6 y 2(m n)x(3n 2m) y mnmn1m2对比左右两边相同项的系数可得3n2m13 ，解得n3mn6原式 = ( x3 y2)( x 2y 3)例 17、（ 1）当 m 为何值时，多项式 x2y 2mx5 y6
17、 能分解因式，并分解此多项式。（2）如果 x3 ax2bx 8有两个因式为 x1 和 x2，求 ab 的值。（1）分析：前两项可以分解为 (x y)( xy) ，故此多项式分解的形式必为 (xy a)( x y b)解：设 x2y 2mx5y6 = ( xya)( xyb)则 x2y 2mx 5y 6 = x 2y 2( a b) x (b a) y ababma2a 2比较对应的系数可得： ba5，解得： b3或 b3ab6m1m1当 m1时，原多项式可以分解；当 m1时，原式 = ( xy2)( xy3) ；8当 m1时，原式 = ( x y2)( xy3)（ 2）分析： x3 ax2bx
18、8 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如 xc 的一次二项式。解：设 x3 ax2bx8 = ( x1)( x2)( xc)则 x 3ax 2bx8= x3(3c) x2( 23c) x2ca3ca7 b23c 解得b14 ，2c8c4 ab =21练习 17、（ 1）分解因式 x23xy10 y2x9 y2（ 2）分解因式 x23xy2 y25x7 y6（ 3） 已知： x22xy 3y 26x 14 y p 能分解成两个一次因式之积，求常数 p 并且分解因式。（ 4） k 为何值时， x 22xyky 23x 5 y 2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多
19、项式。第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的 _的形式，叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式： m3-4m=.3.分解因式： x 2 -4y 2= _.4、分解因式： x24x4=_ _ 。5.n，则 n 的值将 x -y n 分解因式的结果为 (x 2+y2)(x+y)(x-y)为.96、若 xy5, xy6 ，则 x2 y xy2=_，2x22y2=_。二、选择题7、多项式 15m3 n25m2n20m 2n3的公因式是 ( )A、 5mnB、5m2 n2C 、 5m2nD 、 5mn28、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()A、 a 3 a 3 a
20、2 9B 、 a2b2a b a ba24a 5 a a 4 5m22m 3 m m 23C、mD 、10. 下列多项式能分解因式的是（）(A)x 2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2 -4x+4211把（ xy） （ y x）分解因式为（）A（ xy）（ x y 1）B（ yx）（ xy1）C（ yx）（ y x 1）D（ yx）（ yx1）12下列各个分解因式中正确的是（）A10ab2c6ac22ac2ac（5b23c）B（ ab）2 （ ba）2（ ab）2 （ab1）Cx（bca） y（abc） a bc（ b c a）（ xy1）D（ a2b）（ 3ab） 5（2ba）
21、2（ a2b）（ 11b2a）1013.若 k-12xy+9x 2 是一个完全平方式，那么k 应为（）A.2B.4C.2y2D.4y2三、把下列各式分解因式：14、 nxny15、 4m29n 216、 m mnn nm17、 a3 2a2b ab218、 x222416x19、9(m n) 216(m n) 2；五、解答题20、如图，在一块边长a =6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长b =3.33cm 的正方形。求纸片剩余部分的面积。1121、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d 45cm ，外径 D 75cm，长 l 3m 。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需
22、要多少立方米的混凝土？(取 3.14 ，结果保留 2l 位有效数字 )D d22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5) 个等式。(1) x2 1 x 1 x 1(2) x4 1 x2 1 x 1 x 1(3) x81x4 1 x21x1x1(4)x161x8 1 x41x21x1 x 1(5)_经典二：因式分解小结知识总结归纳12因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进
23、行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式
24、 x5 x 4 x3 x 2 x 113分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x 5 x 4 x 3 和 x 2 x 1 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把 x 5 x4 ， x 3 x 2 ， x 1 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式(x 5x 4x 3 ) (x 2x)1x 3 (x 2x 1) ( x 2x 1)(x 31)( x 2x1)(x1)( x 2x1)(x 2x1)解二：原式=( x5x 4 )(x 3x2 )(x)1x4 ( x 1)x 2 ( x 1) ( x 1)(x1)( x 4x
25、1)(x1)( x 42x 21)x 2 (x1)( x 2x1)(x 2x1)2. 通过变形达到分解的目的例 1. 分解因式 x 3 3x 2 4解一：将 3x 2 拆成 2 x2x 2 ，则有原式 x32 x2( x24)x2 (x 2)( x2)( x 2)(x2)( x 2x2)(x1)( x2) 2解二：将常数4 拆成13 ，则有原式x 31 (3x23)(x1)( x 2x1) ( x 1)( 3x 3)(x1)( x 24 x4)(x1)( x2) 2143. 在证明题中的应用例：求证：多项式(x 24)( x 210x21)100 的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负
26、数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：(x 2)( x 210x)421 100(x2)( x 2)(x3)( x7)100(x2)( x7)(x2)( x3)10025x14)( x25x6)100(x设 yx 2x，则5原式(y14)( y6)100y28y 16 ( y 4) 2无论 y取何值都有 (y4)20(x24)( x210x 21)的值一定是非负数1004. 因式分解中的转化思想例：分解因式：( a2 bc) 3( ab) 3( bc) 3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b， b+c 与a+2b+c 的关系，努
27、力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A， b+c=B，a+2b+c=A+B原式 (AB) 3A 3B 3A33A 2 B3AB 2B 3A 3B 33A 2 B3AB 23AB ( A B)3(ab)(bc)( a2bc)15说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨例 1. 在ABC 中，三边 a,b,c满足 a 216b2c26ab10bc0求证： a c2 b证明：a 216b 2c26ab10bc0a 26ab 9b 2c210bc25b 20即 ( a3b) 2(c5b) 20( a 8bc)( a2bc)0abca8bc，即 a8bc 0于是有 a2 bc0即 a c 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例 2. 已知： x12，则 x 31_xx 3解： x 3 1(x1 )( x 211 )x 3xx( x1122 1)( xx)x21216说明：利用 x21122等式化繁为易。2 (x)xx题型展示1. 若 x 为任意整数，求证：( 7x)( 3x)(4x2 )的值不大于。100解： (7x)(3x)(4x 2 )100( x7)( x2)( x 3)( x2)100