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1、平均值不等式的证明【平均值不等式的证明及其应用】第卷第期年月高等数学研究，平均值不等式的证明及其应用卢胜森，云霄霄（）内蒙古大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特摘，要设若借助数学归纳法可相应地证明，为正数，或或这两个不等式可用于证明平均值不等式，并由此得出三者相互等价实例说明平均值不等式在求数列极限方面的应用关键词数学归纳法；平均值不等式；数列极限中图分类号；文献标识码（）文章编号给出了平均值不等式的多种证明方文分别给出平均值不等式的多种应用范法，文例本文将给出平均值不等式的另外两种证明方法，同时，实例说明它在求数列极限方面的应用，引理对于任意个正数若它，们满足当且仅当时等号进而有成立，也即，当且
2、仅当故当时等号成立命题成立时，综上，命题证毕，引理对于任意个正数若它，们满足则有，其中等号当且仅当时成立证明利用数学归纳法证明当时，命题显然成立假设瓕时下面证明当时命题亦成立命题成立，则有，当时，若，则显然存在和）满足不妨设则，（）（），其中等号当且仅当显然，或时成立，满足时成立其中等号当且仅当证明利用数学归纳法证明当时，命题显然成立假设瓕时命题成立，下面证明当时命题亦成立（），当时，若则显然存在和，满足不妨假设，）（，由归纳假设可知，；收稿日期：修改日期：，作者简介：卢胜森（男，山东曹县人，数学专业）级本科：生，云霄霄（女，河南杞县人，数学专业）级本科：生那么）（）（），（）高等数学研究年月
3、，时成立从而有或时等号成立显当且仅当，（）然满足，（），由归纳假设得）（，也即）（），当且仅当时等号成立进而有（）亦即，其中等号当且仅当故定时成立理成立证法利用引理令，其中，显然且，和均为正数，（）（，由引理可知，）（），当且仅当时等号成立故当时，命题成立综上，命题证毕其中等号当且仅当，（，），时成立从而有（定理平均值不等式）对于任意个正数，有，其中等号当且仅当时成立证法利用引理令亦即，其中，显然且，和均为正数，其中等号当且仅当故定时成立理成立定理引理、引理和定理相互等价证明先由定理推证引理若，则由定理可知由引理可知，其中等号当且仅当，时成立其中等号当且仅当故引理成立再由引理推证引理令由平均值
4、不等式可知）又因为，显然有，）（），故由极限的夹逼性可得待证极限成立注文利用二项式定理证明了上述问题，而本文通过平均值不等式给出了另一种较为简洁的由引理可知，（），证明方法注对于例的推广问题，瓕）（且等号当且仅当而时成立，可类似地给出一种较为简单的证明方法证明的关键在于，当时需作恒等变形注利用函数的连续性，对例中等式的两边同时取自然对数，可以得到，结合文进而可得，所以（），其中等号当且仅当时成立故引理成立利用引理推证定理，可见定理的证法综上，结论得证例证明：当时，证明显然（例证明：数列（）单调增加，数列（）单调递减，两者收敛于同一极限由平均值不等式可知），（证明不妨记（），（），又因为，由平均
5、值不等式可知，故由极限的夹逼性可得待证极限成立注文将问题分为，和三种情况进行讨论显然，利用平均值不等式大大简化了证明过程例证明：（）（）（，（）（证明显然，当时成立，故单调增加，单调减少又因为，（）由单调有界收敛原理可知，数列和均收敛而，故它们具有相同的极限注习惯上用表示上述极限，即对上述结论的证明存在错误，需要说明的是，文予以了指正文注可以证明是一个无理数此外，还（）是一个超越数，有兴趣的读者可查阅相关文献注通过研究某些极限问题，还可以发现其如黄金分割数，圆周率，以及他一些重要常数，欧拉常数等（）（）常数记号由瑞士大数学家欧拉（，）首次引入欧拉将上述常数作为对数年，的底从而定义了极其重要的自然对数，并用他名字的第一个字母表示了这个常数中的定理注结合文可得到参考文献陈纪修，於崇华，金路数学分析：上册北京：版高等教育出版社，：毕里格图，赵丽均值不等式的八种证法白城师范（）：学院学报，刘俊先平均值不等式在数学分析中的应用廊坊（）：师范学院学报：自然科学版，饶明贵几个不等式的应用河南科学，（）：贺飞，刘德用数列极限计算函数极限的夹逼定理（）：高等数学研究，（），通过变量代换可进一步证得），进而有（），（，）：，：，欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍（上接第页）（，）：，“”：，