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1、第 16 卷第 2 期镇 江 高 专 学 报Vol 16No 22003 年 4 月Journal of Zhenjiang CollegeApr , 2003111向量在中学数学教学中的应用刘八芝(丹阳市大泊职业高级中学 , 江苏丹阳212314)摘 要: 向量知识在代数、几何、三角等数学分支中有着十分广泛的应用 , 利用向量这一工具可巧妙而简捷地处理多种题型。向量法解题 , 可激发学生学习兴趣 , 拓宽学生的思维 , 培养学生的创新意识和能力。关键词: 向量; 数量积; 向量法中图分类号:G63316文献标识码: C文章编号: 100828148 (2003) 0220094203平面向量
2、知识是解决数学问题的重要工具 , 应用它解题 , 可以使问题化繁为简、化难为易 , 有助于激发学生的学习兴趣 , 有助于提高学生的创新意识和思维能力。本文举例介绍向量在中学数学中的应用。1 向量在代数中的应用高中数学新教材(第一册下) , 在介绍平面向量的数量积 = | | | | cos ( )ababa , b时, 给出一条性质 | | | | | | 此公式形式简洁 , 内容丰富。在代数中许多等式或不等式问题 , 若能转化成向量: a bab ,的坐标表示 , 则利用上述数量积及其性质 , 可使问题得到简捷的解答。111 证明等式例 已知 a 1 - b2 + b1 - a2 = 1 ,
3、 求证: a2 + b2 = 1男2 )(2)证: 构造向量 m =(a ,1 - a,n =, 由| m n| |m | |n| , 得1 - b, b1 = a 1 - b2 + b 1 - a2 a2 + 1 - a2 b2 + 1 - b2 = 1易知上式中等号成立 , 所以 ab =1 - a2 1 - b2, 所以 a2 + b2 = 1 。11 2 证明不等式例 已知 x12 + y12 = 1 , x22 + y22 = 1 , 求证: x1x2 + y1y2 1证: 构造向量 m =( x1 ,y1) ,n =( x2 ,y2) , 设 m 、n 的夹角为,则1x12+ y1
4、2 x22 + 2 y = 1 ,x1 x2 +y1 y2 = m n= |m | n| cos|m| | n| =所以 x1 x2 + y1 y2 1 。1 3 解方程例 解方程 x 4x - 1 +4 - x = 4x解: 因为 x 0 ,方程两边同除以 x ,得 x 4 -11令 m = ( x ,4 - x) , n =x+ 4 - x = 4 ,( 4 - 1 ,1 ) , 由|xm n | | m | | n | , 所以 4 = x 4 - 1 + 4 - x1 x + 4 - x 4 - 1 + 1 = 4 ,xxxxxx收稿日期: 2002 - 12 - 05作者简介: 刘八
5、芝 (1947 ) , 江苏丹阳人 , 中学一级教师。94 11所以上式中等号成立 ,所以 xx=4 - x 4 -x, 解得 x1 = 2- 3 , x2 = 2 + 3 , 代入原方程检验均适合。1 4 求函数极值1例 求函数 f ( x)=5x +6 - x的最大值(x ,6 - x) , 由|解: 设 a = ( 5 , 1) ,b =ab| |a| |b| , 得5x + 6 - x 5 + 1 x + 6 - x = 6 , 当且仅当 x = 5 6 -x时等号成立 , 即 x = 5 时取得最大值 6 。2 向量在三角中的应用打破常规 , 构造向量 , 利用两非零向量垂直的充要条
6、件:a b Z ab = 0 ,可获得妙解。例已知、为锐角 , 且 3sin2+ 2sin2= 1 , 3sin2- 2sin2= 0 , 求证: + 2= 2解 : 设OA = (cos, - sin) , OB = (cos2, sin2) , 由为锐角可知点 A 在第四象限 ,因为 cos2= 1 - 2sin2= 3sin2 0 , sin2= 32 sin2 0 , 所以点 B 在第一象限 ,OA 与 OB 的夹角就是AOB =+ 2。 2 。因为 OA OB= coscos2- sinsin2= cos3sin2- sin3sincos= 0 , 所以 OA OB , 即+ 2=3
7、 向量在几何中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义 , 可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题。311 平几中的证明例 试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形。分析: 如图 1 ,AD 、B E 、CF 分别为 AB C 三边上的中线,若要证明AD 、B E 、CF 能作成一个三角形, 只须证明AD + B E + CF = 0 。证明: 设AB =c , B C =a , CA =b , 则 a + b + c = 0 , 而AD = AB + BD图 1= c +1a ,2 1 1B E = B C + CE = a+2b ,所以CF = CA + A F
8、= b+2c1所以 AD + B E + CF = ( a+ b+ c) +( a+ b+ c ) = 0 ,即以 AD 、2B E 、CF 为边可构成一个三角形。13 2 立几中的应用例 在棱长都相等的四面体 AB CD 中,E 、F 分别为棱 AD 、B C 的中点, 连接 A F 、CE(如图 2) , 求异面直线 A F 与 CE 的所成角。解 设AB = a , AC = b , AD = c , | a| = | b| = | c| = m ,11则A F =CE =-图 22( a+ b) ,2cb , 1111111A FCE =+-=| |2( a +b) (2c-b ) =
9、4ac4bc -2a b2b b4ac | cos( a , c )1( )1()121212121212+ 4 |b| |c| cosb , c-2 |a| |b| cosa , b-2 m= 8m+ 8 m -4m -2 m=- 2m 。3 2A FCE又| A F|= |CE| =2m ,所以 A F 与 CE 所成角为 ( A F , CE)= arccos|=arccos ( -3) 。1A F| |CE|3 3 解几中的求解例 1求圆(x - 5) 2+(y- 6)2= 10 上点 M(6 ,9)的切线方程。95 解 : 如图 3 , 设 N ( x , y) 是所求切线上的任意一
10、点, 则MN =( x - 6 , y - 9) , OM = (6 - 5 , 9 - 6) = (1 , 3) , 因为 MN OM , 所以 MN OM = 0 , 所以( x - 6) + 3 ( y - 9) = 0 , 即 x + 3 y - 33 = 0 就是 所求切线方程。(即使是 N 、M 重合时, 仍有MN OM = 0 , 因为此时 )MN = 0 。x2y2例 2 椭圆 9 +4 = 1 的焦点为 F1 、F2, 点 P 为其上动点。当F1 PF2 为钝角时,求点 P 横坐标的取值范围。解: 焦点为 F1( - 5 , 0) , F2( 5 , 0), 设点 P 的坐标
11、为( x , y) , 则由向量内积的定义知 F1 PF2 为钝角的充要条件是图 3 PF1PF2 0 。因为 PF1 = ( - 5 - x , 0 - y) , PF2 = ( 5 - x , 0 - y) ,所以 ( - 5 - x) ( 5 - x) + ( - y) ( - y) 0 ,所以 x2 - 5 + y2 0 , 又因为 x2 +y2 = 1 ,代入上式解得 - 35 x 35 。9455由以上例子可以看出 , 向量在中学数学中有着广泛的应用 , 而解题巧妙简捷 , 可避免繁琐的计算和添作辅助线的麻烦。如果我们经常注意观察和分析问题 , 构造向量和利用向量性质解决问题 ,
12、那么一定会构造出更新颖更巧妙的解题方法。参考文献:111 1 辛民数学题解辞典 (代数) M 上海:唐秀颍1上海辞书出版社 , 198411 2 1解析几何问题求解的向量方法 J 11曹凤珠高中数学教与学 , 2002 ,(1) : 36 3 平面向量数量积性质在解题中的应用 J 中学教学研究 , 2002 ,(5) : 37The a pplication of the vector in middle school math teachingL IU Ba2zhi(Dabo Vocational High School , Danyang 212314 , China)Abstract :
13、 The vector is widely applied to algebra , geometry and trigonometry. With it being properly used , many problems can be solved flexibly and easily. In solving mathematical problems , the vectorical method can stimulate a studentps interest in learning , widen his thinking scope and cultivate his innovative sense and ability.Key words : vector ; vector product ; vectorical method责任编辑: 李大洪96