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1、,一轮复习讲义,排列与组合,排列、组合,计数原理,计 数 原 理,二项式定理,组合,通项,二项式定理,二项式系数性质,分类计数原理,分步计数原理,排列,排列的定义,排列数公式,组合的定义,组合数公式,组合数性质,应 用,不同,顺序,所有排列,忆 一 忆 知 识 要 点,忆 一 忆 知 识 要 点,1,不同,并成,一组,所有组合,忆 一 忆 知 识 要 点,2. 排列和组合的区别和联系,从n个不同元素中取出m个元素,按一定的顺序排成一列,从n个不同元素中取出m个元素, 把它并成一组,所有排列的的个数,所有组合的个数,忆 一 忆 知 识 要 点,(2) 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作
2、一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；,(3)某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”.,(1) 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法“优限法”；,3.排列组合混合题的解题策略,解题原则：先选后排，先分再排,(4) 间接法和去杂法等等.,忆 一 忆 知 识 要 点,排列问题,组合问题,排列与组合的综合应用,13,分组与分配问题,解: 第一类:没有一个元素的象为2; 则集合M所有元素的象都为1，这样的映射只有1个;,第二类:有一个元素的象为2, 则其余
3、3个元素的象为0, 1, 1, 这样的映射有,第三类:有两个元素的象为2,则其余2个元素的象必为0, 这样的映射有,根据加法原理共有,例1.已知 f是集合M=a, b, c, d到N=0, 1, 2的映射,且 f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4, 则不同的映射有多少个？,例2.用0，1，2，3, , 9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个？,解法一：分类： 第一类，含有0的满足条件的五位数，,第二类，不含有0的五位数，,总共有,解法二：排除法：,排除掉以0为首位的那些五位数,共有,总的含有三个奇数数字和两个偶数数字的五位数有,例2.用0，1，2，3,
4、 , 9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个？,【1】在1, 2, 3, 99这99个自然数中,每次取出不同的两个数相乘,使它们的积是7的倍数,问这样的取法共有多少种？,分析:在1, 2, 3,99这99个自然数中,能被7整除的数有987=14个, 余下的85个均不能被7整除.,所以共有,解:分为两步完成：,(1) 从14个中任取两个,(2)从14个中任取1个,从85个中任取一个,演练反馈,【2】从1,3,5,7,9中任取两个数字,从2,4,6,8中任取两个数字.则 (1)能组成_个没有重复数字的四位数; (2)能组成_个没有重复数字的四位偶数.,1440,
5、720,演练反馈,例3.以1个正方体的顶点为顶点的四面体有多少个?,解:按从上底面上取点的个数分为三类:,(1)上底面上取一点:,(2)上底面上取二点:,(3)上底面上取三点:,两点连线是棱:,两点连线是对角线:,解法2:(间接法),【1】 四面体的一个顶点为A, 从其他顶点和各棱中点中取3个点,使它们和点A在同一平面上, 有_种不同的取法.,练一练,33,【2】四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,有多少种不同的取法?,练一练,【3】平面上有10个点,其中有且只有5个点在一条直线上,此外再无任何三点共线,共可作多少条直线?,【4】平面上有10个点,其中有且只有5个点在一条
6、直线上,此外再无任何三点共线,共可作_条直线?,36,演练反馈,一、元素相同问题隔板策略,例5.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？,解:因为10个名额没有差别，把它们排成一排.相邻名额之间形成9个空隙.,在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有_种分法.,【1】12个相同的球分给3个人,每人至少一个,而且必须全部分完，有多少种分法？,解:将12个球排成一排,一共有11个空隙,将两个隔板插入这些空隙中,规定两 隔板分成的左中右三部分球分别分给3个人,每一种隔法 对应一种分法,于是分法的总数为 种方法.,演练
7、反馈,【2】求方程X+Y+Z+W=100的正整数解的组数是多少？,【小结】将n个相同的元素分成m份,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有的插法数就是分法数,这种方法叫隔板法.,演练反馈,【排列组合中的分堆问题引例】把a, b, c, d分成平均两组, 有_多少种分法？,ab,cd,ac,bd,ad,bc,cd,bd,bc,ad,ac,ab,这两个在分组时只能算一个,【结论】平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况，所以分组后要除以m!，其中m表示组数.,例6. 有12本不同的书. （1）按444平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2226分成四堆有多少种不
8、同的分法？,均匀(部分)分组不安排工作的问题,先分再排法.分成的组数看成元素的个数,均分的三组看成是三个元素在三个位置上作排列.,例7.（1）6本不同的书按222平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？,例3. (2)12支笔按3：3：2：2：2分给A, B, C, D, E五个人有多少种不同的分法？,均分的五组看成是五个元素在五个位置上作排列.,【1】3个小球放进两个盒子，每个盒子至少一个，有多少种放法？,【3】 三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，分配方案共有多少种？,【2】4本书分给两个同学，每人至少一本，有多少种放法？,多个分给少个时，采用先分组再分配的策略.,演练反馈,【1
9、】将5本不同的书全部分给4人,每人至少1本,不同的分配方案共有_种.,解1:先从5本不同的书中任取2本,有_种方法;,然后把取出的2本书看作一个整体,连同余下的3本分给4个同学,有_种方法;,解2:必有一个同学分得2本书,分两大步:,(1)先从4人中选出一个人, 将5本不同的书中任2本分给这位同学,(2)再把余下的3本书分给其余的三人,每人1本这位同学,解3:分两大步:,(1)先分堆:“2，1，1，1”,(2)再分配：,【1】将5本不同的书全部分给4人,每人至少1本,不同的分配方案共有_种.,【2】12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？,【3】 10本不同的书按2224分成四堆有多少种不同的分法？,【4】 10本不同的书按2224分给甲、乙、丙、丁四个人有多少种不同的分法,B,