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1、公平分配问题摘要公平分配问题是生活中常遇到的问题。对于企业、公司、学校、政府部门多能解决的实际问题。公平分配的原则就是让每个人多能得到同等的对待。而考虑到时记得多重因素下，传统的平均分配的方法往往不能较好的解决其中的公平问题，很多时候根本没有公平的分配方法。我们需要另寻其他方法。我们将以Q值法进行逐一分析与检验，使得得出一个最佳的合理方案。即：使得各自的分配最公平。关键词：公平分配 最佳方案 最公平班级： 姓名： 学号： 问题重述三人合作承包了1000件物品的搬运工作，总收入为20元(假设最小单位为元) 。工作完成后，甲搬运了 515 件，乙搬运了 315件，丙搬运了170件。分别应得收入10
2、.3, 6.3, 3.4 元。因为最小单位为元, 因此三人各自拿了应得的整数部分后, 剩下1元归应得数中小数最大的一位丙。即分别收入10元，6元，4元。由于三人表现较好，提前完成了搬运工作。货主作为奖励，搬运费支付了21元钱。于是甲提议重新分配收入。21 元按完成工作量各自应得 10.815, 6.615, 3.57元。取整数后，按小数大小分配剩余，分别得分配收入11元，7元，3元。回答下列问题：（1）上分配方案是否公平？为什么？（2）建立数学模型确定分配方案符号说明A、B 某人 A搬运的货物数量 B搬运的货物数量 搬运数量的货物的报酬 搬运数量的货物的报酬P 衡量不公平程度(,) 相对于A的
3、不公平值(,) 相对B的不公平值 k对应的人的报酬的Q值 甲对应的Q值的大小 乙对应的Q值的大小 丙对应的Q值得大小基本假设假设两个人分配，分配方法就会趋于简单更便于我们对问题的处理。故假设两个人分配的的分配问题，先从两个人入手，对一般问题的讨论。有一般推广，并运用于多对象问题的讨论。模型设计先讨论两个人公平分配报酬问题的情况，如下图。A、 B分配报酬情况某人搬运货物报酬每件的报酬AB要满足公平，应该有但这一般不成立。注意到等是不成立时，有若，则对A不公平；若，则对B不公平；因此，可以考虑用算式p=来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如果个人的搬运件数和报酬为=10
4、, =120，=100，算得p=2；另两人的搬运件数和报酬为=10, =1020，=1000，算得p=2.虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种情况公平。下面采用先对标准对公式给予改进，定义劳动报酬的相对不公平标准公式如下.若，定义(,)=为对A的相对不公平值。若，定义(,)=为对B的相对比公平值。 由定义知，对某人的不公平值越小，该人在报酬分配中越有利，因此，可以用不公平只尽量笑得分配方案来减分配中得不公平。 下面讨论通过使用不公平值的大小来确定分配方案。 设A的搬运件数为，所得报酬为，B的搬运件数为，所得报酬为。再增加一元报酬，分别分配给A、B，有如下不公平值(+1,)=-1
5、(,+1)=-1用不公平值的公式来决定报酬的分配。对于新的报酬分配，若有(+1,) (,+1)则增加的报酬应给A，此时对不等式(+1,) (,+1)进行简化，可以得出不等式引入公式=于是知道增加的报酬分配可以由得最大值决定，它可以推广到多个人的一般情况。用的最大值决定报酬分配的方法称为Q值法。对于个人（m个人）的报酬分配Q值法可以描述：（1） 先计算每个人的Q值，即（k=1,2，m）；（2） 求出其中最大的Q值（若有多个最大值任选其中一个即可）；（3） 将报酬分配给最大值对应的i对应的人。模型求解先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。本问题的整数额共分配了19元整，具体为；甲 10.
6、3 =10乙 6.3 =6丙 3.4 =3对第20元的分配，计算Q值为=2411.1 =2362.5=2408.3因为最大，所以第20元应给甲。对第21元的分配，计算Q值为=2009.3=2362.5=2408.3因为最大，所以第21元应给丙。最后的搬运会支付为；甲11元 乙6元 丙4元。模型分析若一开始用Q值法分配，以主次增加一元，也可以得到同同样的结果。模型构建中我们可以以最简单的开始构建，从简单到复杂的过程。对设计较多对象的问题，先通过研究两个对象来找出所考虑问题的一般规律。参考文献ISBN 7-81110-111-4/O.55 杨尚俊，数学建模简明教程，出版地；安徽大学出版社，2006年3月第1版。