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1、第七章 连分数,7.4 二次不定方程,一、利用循环连分数理论讨论问题,二、定理及推论,1二次不定方程,(1),一、利用循环连分数理论讨论问题,其中 是非平方的正整数;,因为 是非平方的整数，故 是一个二次不尽根， 由3定理2知:,令 我们来证明.,定理1,证明：由2（2）式及2定理2知:,有两个整数,使得下式成立,则极易验证（2）.,设有二整数 存在，使得,则由2（2）式及2定理2知,把上式代入即得,(3),令,因为,故,因此,是整数.由,的定义知：,故（2）对,也成立,由数学归纳法定理得证.,由此得,证明： 令,的第,个渐近分数是,定理 2 若,是一个非平方的正整数，,即定理1中,定义，则二
2、次不定方程,有正整数,解,并且,因,是无理数，故得,以,乘第一式减去以,乘第二式即得,有一正整数解,且由渐近分数的性质知,推论 若,即定理1中所定义的，则（4）有无穷多个正整数解，即,（4）,故得,是无理数，故,.由定理2及,即得:,证明：由定理2知（4）有一整数解，即,又由假设,及定理1知,定理 3 若d 是一个非平方的正整数，则不定方程 （pell方程）,（5）,有正整数解.,(6),证明： 由定理2的推论，有一正整数,存在（只需,使得不定方程,有无穷多个正整数解，则在这无穷多组正整数解中一定有,两组不同的正整数解,使得下列关系成立,故,（7）,由（6）式即得,故若令,则,为非负,整数且由
3、（7）知,是（5）的一解.,显然,否则,这与,矛盾；,并且,否则,由定理 2 知,，因此,但,，故,这与,的定,是（5）的一组正整数解.,定理 4 若,是（5）的一组正整数解，且,是形如,的最小数，则（5）,式的一切正整数解,可由下式确定：,（8）,证明：（）由（8）式确定的,显然是正整数，,并且,成立.故,（9）,故由（8）式确定的,是（5）的正整数解.,（）假定（5）有一组正整数解,；但对任何,正整数,来说,因此有一整数,存在使得不等式,其中,仿（1）,可证得,（10）,由（9），（10）即得,（11）,由（9），（11）即得,，即,又由（9）,（11）即得,故,练习,故由（10）知,是（5）的一组正整数解;由（9）知,的定义矛盾，因此定理得证.,1.,即定理 4中所定义的，试证明（5）式的一切整数,解,可由下式确定,2. 证明不定方程,的一切正整数解可以,写成公式,其中,是正整数.,