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1、调整气象观测站问题摘要 目前资源的优化配置和有效的利用资源是非常重要的，本文是针对某市气象观测站点的合理规划来进行数学模型的，根据已有的数据对该市气象观测站之间的相互关系和拟合程度进行了分析；借助EXCEL，MATLAB等软件进行数据的预处理，使得站点的选择问题得到了很好解决。模型1：通过假设相关系数的下限值，确定哪些站点有可能在信息损失率低的前提下，能够相互之间得到气象信息。模型2：从模型1的结论出发，对每种可能的方案，采用枚举法将各种情况列举了出来，然后将各种情况所得的均值与真实的均值进行比较，讨论其数据的相似程度以及误差的波动状况。关键词：优化气象观测站 相关系数 误差的绝对值方差 一、
2、问题的提出某市有10个县，每个县有一个气象观测站，每个气象观测站测得的年降水量即为该县的年降水量。30年来各观测站测得的年降水量如附件。为了节省开支，想要适当减少气象观测站，通过建立数学模型使减少的观测站既可以节省开支，又可以使得该市年降水量的信息量损失较小。建立模型的过程中需要解决以下的几个问题:1有人认为第7个观测站和第8个观测站观测到的数据之间有相关关系，第7个观测站可以减少，第7个观测站的年降水量信息可以从第8个观测站观测到的数据中获取，试讨论之。2还有哪些观测站可以减少，减少的观测站的年降水量信息如何获取。3如果以10个县年降水量的平均值为该市年平均降水量。在减少观测站以前，每个县年
3、降水量都是观测数据。在减少观测站以后，被减少的观测站的年降水量只能从其它观测站观测到的数据中获取。减少观测站以前和减少观测站以后是用两种不同测量计算方法得到该市年平均降水量。两种不同测量计算方法得到的该结果会有误差，试预测误差的绝对值小于10mm的概率是多少？误差的绝对值大于20mm的概率是多少？二、模型假设1、若ij0.85则i县或者j县气象观测站可以作为二者共同的观测站。（其中ij是i县与j县的相关系数）2、各县建气象观测站的花费是相同的，不随地理的不同而改变。3、假设预测误差的绝对值满足正态分布，当m值比较大时服从中心极限定理。三、符号说明-表示i县与j县m年降雨量的相关系数-表示i县与
4、j县m年降雨量的协方差-表示i县，j县m年降雨量的方差-表示各县之间m年内降雨量的相关系数矩阵-表示选择气象站i和气象站j时该市年均降水量的标准差-表示概率-表示出现小于值的次数注：其余的符号在文中有解释四、数学模型1、减少气象观测站的判断模型 设该市有n个县，间有n个气象观测站，已经获得了m年内n个气象观测站的年降水量。根据假设条件1，可知相关系数ij0.85则i县或j县气象观测站可作为二者的共同的气象观测站。 由公式易知根据排列与组合关系可得到种相关系数由这些系数得到的相关系数矩阵在矩阵矩阵中若ij0.85则认为i县或j县气象观测站可作为二者的共同的气象观测站。2、优化气象观测站模型2.1
5、 上述1模型可获得哪些县之间可以互相预测年降水量，为了简化模型，我们假设1模型中只有ij0.85，那么究竟是取i县还是j县作为共同的预测站，就是该模型要解决的问题。（1）根据来判断设减少气象观测站之前该市m年的年平均降水量为X（它是一个m1维的矩阵），减少气象观测站i后该市m年的年平均降水量为Xi（与X一样），减少气象观测站j后该市m年的年平均降水量为Xj（与X一样）。由公式 可计算出和，若,则认为气象观测站i是合理的，反之，则认为认为气象观测站j是合理的。（2）根据方差的大小来判断设减少气象观测站之前该市第k年的年平均降水量为Xk, 减少气象观测站i后该市第k年的年平均降水量Xik，减少气象
6、观测站j后该市第k年的年平均降水量Xjk.由公式 可计算出Si，Sj，若Si Sj，则认为气象观测站i是合理的，反之，则认为认为气象观测站j是合理的。2.2根据假设3来判断预测误差的绝对值在某种范围的概率。（1） 若选择气象观测站i，令X1k（它是一个m1维的矩阵）是减少气象观测站之后与减少气象观测站之前，第k年误差的绝对值。易知由公式 由上述的两式可得预测误差的绝对值小于的概率为：当m 较大时，可以通过中心极限定理来预测误差的绝对值小于的概率： （2） 若选择气象观测站j，令X2k（它是一个m1维的矩阵）是减少气象观测站之后与减少气象观测站之前，第k年误差的绝对值。易知 由公式 由上述的两式
7、可得预测误差的绝对值小于的概率为当m 较大时，可以通过中心极限定理来预测误差的绝对值小于的概率： 五、模型求解1、根据附件1上的数据带入模型1中可以得到=0.9522680.85，其相关的程度很大，因此可以认为：第7个观测站的年降水量信息可以从第8个观测站观测到的数据中获取2、通过模型1可以得到相关系数矩阵见附件23、通过模型1确定了=0.906422，=0.872387，=0.952268，=0.903197.根据相关系数数据可知在第2个县与第3个县可以减少一个，第6，7，8个县可以减少1个或2个，其相关的程度可以用下图显示：那么最后保留的气象观测站可能的情况有：方案第一种方案1, 2, 4
8、, 5, 6, 9, 10 第二种方案1, 2, 4, 5, 7, 9, 10 第三种方案1, 2, 4, 5, 8, 9, 10第四种方案1, 3, 4, 5, 6, 9, 10第五种方案1, 3, 4, 5, 7, 9, 10第六种方案1, 3, 4, 5, 8, 9, 10第七种方案1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10第八种方案1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10第九种方案1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10第十种方案1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10第十一种方案1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10第十二种方案1, 2, 4, 5, 6
9、, 7, 9, 10注：各种方案的均值与真实值对比图见附件3根据各种方案其相关系数有如下图：（1）根据来判断 第一种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量X1（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。则=0.889324 第二种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X2（与X一样）是第二种方案的市年平均降水量。则= 0.906875第三种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X3（与X一样）是第三种方案的市年平均降水量。则= 0.892972第四种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之
10、前每年的市年平均降水量，X4（与X一样）是第四种方案的市年平均降水量。则= 0.891994第五种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X5（与X一样）是第五种方案的市年平均降水量。则= 0.907779第六种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X6（与X一样）是第六种方案的市年平均降水量。则= 0.897145根据上述的结果在保留7个气象站时候，可知= 0.907779最大，与减少气象站之前的相似程度要大些，所以确定要在市内X1,X3,X4,X5,X7,X9,X10县内建立气象观测站是最优的。第七种方案：设X（它是10*1
11、维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X7（与X一样）是第七种方案的市年平均降水量。则= 0.973944第八种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X8（与X一样）是第八种方案的市年平均降水量。则= 0.967564第九种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X9（与X一样）是第九种方案的市年平均降水量。则= 0.972815第十种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X10（与X一样）是第十种方案的市年平均降水量。则= 0.970764第十一种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在
12、减少气象站之前每年的市年平均降水量，X11（与X一样）是第十一种方案的市年平均降水量。则= 0.963006第十二种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X12（与X一样）是第十二种方案的市年平均降水量。则= 0.971259根据上述的结果，在保留8个气象站时候，可知= 0.973944最大，与减少气象站之前的相似程度要大些，所以确定要在市内X1,X3,X4,X5,X7,X8,X9,X10县内建立气象观测站是最优的。（2）根据方差来判断各种方案的方差对比图如下：各种方案误差的绝对均值对比如下图：也是如上图的方案：第一种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气
13、象站之前每年的市年平均降水量，X1（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x1为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx1= 276.6第二种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X2（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x2为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx2= 304.3第三种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X3（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x3为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象
14、站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx3= 227.6第四种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X4（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x4为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx4= 493.1第五种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X5（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x5为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx5= 440.9第六种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平
15、均降水量，X6（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x6为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx6= 361.4根据上述的结果建立7个站的时候，可知Sx3= 227.657最小，因此此时我们选用方案三。此时可以在市内X1,X2,X4,X5,X8,X9,X10建立气象观测站。第七种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X7（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x7为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx7= 122.7第八种方案：设X（它是10*1维矩
16、阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X8（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x8为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx8= 139.7第九种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X9（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x9为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx9= 149.1第十种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X10（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x10为减少气象站之后每年的市年平
17、均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx10= 58.1第十一种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X11（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x11为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx11= 74.2第十二种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X12（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x12为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx12= 90.9根据上述的结果可知，建立8个站的时候S
18、x10= 58.1最小，因此此时我们选用方案十，此时可以在市内X1, X2, X4, X5, X7, X8, X9, X10建立气象观测站。当建立7个站的时候，我们很容易发现根据来判断的时候第二种方案与第五种方案相差不大，但是在用方差来进行判断的时候相差就大了，综合考虑，最后应该选择方案三，即在市内X1,X2,X4,X5,X8,X9,X10建立气象观测站。当建立8个站的时候，我们很容易发现根据来判断的时候第七种方案与第十种方案相差不大，但是在用方差来进行判断的时候相差就大了，综合考虑，最后应该选择方案十，即在市内X1, X2, X4, X5, X7, X8, X9, X10建立气象观测站。4、
19、通过模型2可以解决第三个问题。（其绝对均值和方差见附件4）当建立7个站时候，由于我们选择了第三种方案，则预测误差绝对值的均值可用模型2得到误差绝对均值= 19.9，方差=227.6，又预测误差的绝对值满足正态分布当=10时候根据公式可得P=0.25,即预测误差的绝对值小于10mm 的概率为0.25。当误差的绝对值大于20mm的概率同理可得P=0.5。由于m值为30较大，故可以用中心极限定理来求如下表： 方案误差12345620mm161415162016注：内容为点数可知预测误差的绝对值小于10mm 的概率P=0.3667。误差的绝对值大于20mm的概率P=0.5。当建立8个站时候，由于我们选
20、择了第十种方案，则预测误差绝对值的均值可用模型2得到误差绝对均值= 10.8，方差= 58.1，又预测误差的绝对值满足正态分布当=10时候根据公式可得P=0.4602,即预测误差的绝对值小于10mm 的概率为0.4602。当误差的绝对值大于20mm的概率同理可得P=0.1736。由于m值为30较大，故可以用中心极限定理来求如下表：方案误差78910111220mm9611354注：内容为点数可知预测误差的绝对值小于10mm 的概率P=0.53。误差的绝对值大于20mm的概率P=0.1。5、对4中的两种方案进行讨论 对4中虽然建立观测站的开支减少了，但是使得该市的年降水量损失比较大，而对于4中的
21、虽然观测站的开支相对多了点，但是使得该市的年降水量的信息损失减小了。从上述的讨论，可以看出在开支和信息损失两个角度，如果开支大，得到的信息准确，那么宁愿要选择信息准确的方案。因此，对上述的讨论，采取第十种方案是最优的，即在即在市内X1, X2, X4, X5, X7, X8, X9, X10建立气象观测站。六、结果及说明模型1 本模型能够很好的确定哪些县能够共同的利用其气象站的数据，模型2是根据模型1的这种形式建立起来的.模型2 本模型从附件1的数据出发，将近30年的降雨量信息综合起来，利用相关系数和绝对值方差的判断原则，比较合理的确定了减少气象观测站的方案。七、模型的优缺点分析及改进方向模型
22、1 优点：从整体上把握了每个县之间的相互关系，从而将那些相似程度高的直接提取了出来，对那些不相近的直接孤立了起来。 缺点：该模型只是考虑了相关系数，对于其他的因数，例如人工降雨的因素没有相关的数据来支撑。模型2 优点：该模型用排列与组合的方法，将各种可能考虑的方案都纳入了考虑，从数据的结果上来选择最佳的方案，然后将理论算出来的结果与实际的图形结合了起来，具有鲜明的可比性。 缺点：由于时间仓促，没有将所有的可能情况罗列出来，使整个模型缺少完整性。例如：没有列出只去掉一个观测站的情况。八、结论 依据以上的两种模型，可以对某市的气象站进行一个比较好的规划。气象站的建立固然重要，但是有些不应该建立的站
23、点，应该从费用和实用性双方面来考虑。信息的准确性对于一个市的经济有重要的影响，同时建立的站点并不是越多就越好，对于有些没有必要的站点，我们可以通过采用就近的方案近似的估计它当年的降水量。只要规划好了，那么就可以既节省开支，又可以使得该市的年降水量信息损失率较小。参考文献【1】盛骤 谢式千 潘承毅，概率论与数理统计，出版地：高等教育出版社，1989.08 【2】费业泰 ，误差理论与数据处理，出版地：机械工业出版社，2007.10【3】同济大学应用数学系，线性代数，出版地：高等教育出版社，2003.07【4】刘来福 曾文艺，数学模型与数学建模，出版地：北京师范大学出版社，2002.03【5】同济大学应用数学系，高等数学，出版地：高等大学出版社，2001.10