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1、第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量表示成的线性组合：12解：设存在使得，整理得解得所以.设存在 使得，整理得，.解得 所以.判断3，4题中的向量组的线性相关性：3. 4. 解： 3.设存在 使得，即 ，由，解得不全为零，故线性相关.4.设存在 使得，即可解得不全为零，故线性相关.5.论述单个向量线性相关和线性无关的条件.解：设存在使得，若，要使，当且仅当，故，单个向量线性无关的充要条件是；相反，单个向量线性相关的充要条件是.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关.证：设向量组线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组线性相关，则向量组线性相关，与向量组线性无
2、关矛盾，所以该命题成立.7.证明：若线性无关，则也线性无关.证：方法一，设存在使得，整理得，因为线性无关，所以，可解得，故线性无关.方法二，因为，又因为，且线性无关，所以向量组的秩为2，故线性无关.8.设有两个向量组和其中 是分别在的个分量后任意添加个分量所组成的维向量，证明：(1) 若线性无关，则线性无关；(2) 若线性相关，则线性相关.证：证法1，(1)设，因为线性无关，所以齐次线性方程只有零解，即 且，线性无关.证法2，因为线性无关，所以齐次线性方程只有零解，再增加方程的个数，得，该方程也只有零解，所以线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设线性无关，再由（1）得线性无关，与线性相关矛
3、盾.9. 证明：线性无关的充分必要条件是线性无关.证：方法1，（）=（）因为线性无关，且，可得的秩为3所以线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设线性无关，证明线性无关.设存在使得，整理得，因为线性无关，所以，可解得，所以线性无关.必要性，（方法1）设线性无关，证明线性无关，假设线性相关，则中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设线性表示，则向量组可由线性表示，且，所以线性相关，与线性无关矛盾，故线性无关.方法2，令，设存在使得，由得，代入得，即因为线性无关，所以可解得，所以线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）线性无关的充分必要条件是任意两
4、个向量线性无关；解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。设，两两线性无关，而线性相关.（2）线性相关的充分必要条件是有个向量线性相关；解：不正确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设，线性相关，而 俩两两线性无关.(3) 若线性相关，线性相关，则有不全为零的数，使得且，从而使得，故线性相关.解：不正确，因为线性相关和线性相关，不一定存在同一组不全为零的数，使得和成立；或者说存在两组不全为零的数和使得和成立.(4). 若线性无关，则线性无关.解：不正确，因为取1，1，1这组常数，使得，所以线性相关.(5) 若线性
5、无关，则线性无关；解：不正确，因为线性相关，由9题，为奇数个时，线性无关，为偶数时，线性相关.(6). 若线性相关，则线性相关；解：正确，因为线性相关，所以中至少有一向量可由剩余的个向量线性表示，则也可由那剩余的个向量线性表示，再因为，所以线性相关.11.如果线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数，使得.证：因为线性相关，所以存在不全为零的常数，使得，假设，则，得线性相关与题设矛盾.故；同样方法可证得都不为零.所以该命题成立.12.若线性无关，证明：线性无关的充分必要条件是不能由线性表示.证：必要性，假设能由，则线性相关与线性无关矛盾，故不能由线性表示.充分性，设存
6、在使得，若，则能由线性表出，矛盾，所以，因此，又因为线性无关，所以，故，线性无关.13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示：（1） （2）;（3）解：（1）=所以，向量组的秩为3，为一个极大线性无关组，.（2）类似（1），可求得向量组的秩为3，为一个极大线性无关组，且，.（3）类似（1），可求得向量组的秩为3，为一个极大线性无关组，.14.设向量组：（1）证明线性无关；（2）求向量组包含的极大线性无关组.（1）证：设存在,使得，求得，所以线性无关；（2）解， ,所以，为包含的一个极大线性无关组.15.设皆为阶矩阵，证明：（1）秩;（2）秩，为任意阶矩阵
7、.证：（1）设，则存在阶可逆矩阵,使得从而则 秩秩（2）因为秩,所以秩.16.证明.证：设分别为矩阵，将按列分块，则有的列向量组可由的列向量组线性表示，故的列秩的列秩=，同样，将按行分块，得，因此，该命题成立.1. 设分别为矩阵，且，证明：齐次线性方程组有非零解.证：由，所以，故齐次线性方程组有非零解.18.设是一个矩阵，是由的前行构成的矩阵.证明：若的行向量组的秩为，则.证：设 ，.设，于是，的行向量组的极大线性无关组含个向量。因此，的行向量组的一个极大线性无关组是向量组的一个子集，所以它所含向量个数，即，从而，.求下列（1922题）矩阵的秩，并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式：19. .
8、解：所以，矩阵的秩为3。为一个最高阶的非零子式。20. .解： 所以，矩阵的秩为3。为一个最高阶的非零子式。21. . 解：所以，矩阵的秩为3。为一个最高阶的非零子式。22. 解：所以，矩阵的秩为4。为一个最高阶的非零子式。23.设是一个矩阵，证明：存在非零的矩阵，使得的充要条件是 .证：设齐次线性方程组，则由，可得，由于，至少有一个，再由有非零解的充要条件是，故，至少有一个的充要条件是.24.设是同形矩阵，证明：与相抵的充要条件是.证：设是矩阵，则存在可逆矩阵，使得，充分性，因为，所以，=，,令,故，因此，与相抵.必要性，因为与相抵，所以，存在可逆矩阵,使得，因此，.25.设是矩阵，证明：存
9、在矩阵使得.证：因为，所以，存在可逆矩阵,使得，所以有, (1)（1） 右端乘阶矩阵,得，令,故，.26.证明：若阶方阵的秩为，则必有秩为的阶方阵，使得.证：因为阶方阵的秩为，所以的秩为，则的基础解系含有个线性无关的解向量，取这个线性无关的解向量为的列向量，则.因此，该命题得证.27.证明：任何秩为的矩阵可以表示为个秩为1矩阵之和，而不能表示为少于个秩为1的矩阵之和.证：设为秩为的矩阵，则存在可逆矩阵使得，所以，其中为秩为1的矩阵因此，任何秩为的矩阵可以表示为个秩为1矩阵之和.后部的证明，（反证法）假设为秩为的矩阵，能表示为少于个秩为1的矩阵之和，不妨设能表示为个秩为1的矩阵之和，其中，设其中
10、是秩为1的矩阵.，与矛盾.28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解：（1）解：取为自由未知量，令和，得原方程组的一个基础解系为，因此，一般解为=，其中为任意常数.(2). 解：取为自由未知量，令，和，得原方程组的一个基础解系为 因此，一般解为，其中，为任意常数.29. 求下列非齐次线性方程组的一般解：（1）解：取为自由未知量，令，得方程组的一个特解：，再令和，得其导出组的一个基础解系：.所以，方程组的一般解为，其中为任意常数.（2）解：取为自由未知量，令，得方程组的一个特解：；再取，和得其导出组的一个基础解系：所以，方程组的一般解为，其中为任意常数.30.讨论取何值时，下列线性方程组有
11、解、无解，有解时求其解.(1) 解：所以，或时，该方程组无解，且时，有唯一解是，（2）解：所以，当或时，方程组无解；当且时，方程组有无穷多解，取为自由变量，令，得方程组的一个特解：；再取，和得其导出组的一个基础解系：所以，方程组的一般解为，其中为任意常数.（3）解：所以，当且时，方程组有唯一解。当时，方程组无解；当时，所以，当且时，方程组有无穷多解，其中为任意常数。当且时，方程组无解。31.设是矩阵，证明：若任一个维向量都是的解，则.证：因为任一个维向量都是的解，则维向量（第个分量为1其余分量均为0的列向量）满足，即,其中是阶单位方阵，因此，.32. 设是一个矩阵，是矩阵.是维列向量.证明：若
12、与是同解方程组，则.证： 因为若与是同解方程组，所以，的基础解系所含解向量的个数与的基础解系所含解向量的个数相等.即，因此，.33. 设是矩阵, 是矩阵，证明：若，则.证：设，其中是一组列向量，由得，.若，则的基础解系含有个线性无关的解向量，而为的解向量，则可由的基础解系线性表示，所以，.故，.34.设是阶矩阵的伴随矩阵，证明：（1）（2） .证：（1）由于，当时，所以，得；当时，即至少有一个阶子式不等于零，所以，且，因为，所以.因为，所以，即的每一列均是齐次线性方程组的解，所以。因此，；当时，的任一阶子式都等于零，所以，故。（2）当时，由，得。当时，即，由（1）知，从而，所以也成立，故，对任
13、意阶方阵，都有：。35. 设是阶可逆矩阵，证明：.证：因为是阶可逆矩阵，所以是阶可逆矩阵，且。因为，所以。又因为，所以。因此，。36. 设是阶矩阵，证明：非齐次线性方程组对任何都有解的充要条件是.证：充分性，因为，所以。因此，对于任意，有解.必要性，(反证法) 假设, 则。设，则线性相关，从而其中至少有一个向量能由其余向量线性表出，不妨设可由线性表出，取，则，即，所以方程组无解，矛盾。37.设证明：这个方程组有解的充要条件是，在有解的情形下，求出它的一般解。证：因为即有令，增广矩阵，方程组有解的充要条件为即。当时，取为自由变量，令，得方程组的一个特解：；再取得其导出组的一个基础解系：所以，方程
14、组的一般解为，其中为任意常数。38. 已知是方程组的两个不同解,是对应齐次线性方程组的基础解系, 则一般解是:(A) ; (B) ;(C) ; (D) .解:可证得是线性无关的且是的解,因此是的一个基础解系, 是的一个解, 因此, 选(B).39.已知,为非零矩阵, 则:(A) 当时,; (B) 当时,; (C) 当时,; (D) 当时,;解: 因为, 且, 所以, 又因为为非零矩阵, 所以, 当时, , 因此, , 即, 故选(C).40.设,则三条直线交于一点的充要条件是:(A) 线性相关, (B) 线性无关;(C) ; (D) 线性相关, 线性无关.解:因为有唯一解的充要条件是，即线性相
15、关。，即线性无关。所以，选(D)。 41.设是矩阵,是阶矩阵,下列哪个成立?(A) 中任一阶子式; (B) 中任意列线性无关；(C) ; (D) 若，则；(E) 若，则. 解：选 （E）. , 所以可逆，. 42. 设线性无关, 下列哪个成立?(A) 对任意常数，有；(B) 任意个向量线性相关；(C) 对任意线性相关；(D) 任意个向量线性无关.解：选（D），因为整体线性无关，部分必线性无关。43.设线性无关，线性相关，下列哪个成立?(A) 必可由线性表示； （B） 必可由线性表示；(C) 必可由线性表示； (D) 必不可由线性表示.解：选（C）。因为线性无关，所以线性无关。因为线性无关，线性
16、相关，所以必可由线性表示，从而必可由线性表示。44. 设是矩阵，是非齐次线性方程组的三个线性无关解，下列哪个是的基础解系？ (A) (B) (C) (D) 解：因为，所以的基础解系含有2个线性无关的解，因此(A), (B)不正确。 (D)的两个解不是的解，故选(C).45. 设向量组线性相关，线性无关。回答下列问题，并证明之。（1）能否由线性表示？（2）能否由线性表示？解：（1）因为线性无关，所以也线性无关，又因为线性相关，所以可由线性表示。（2）（反证法）假设能由线性表示，再由（1），能由线性表示，所以能由线性表示，即线性相关，与线性无关矛盾。所以，不能由线性表示。46.设为阶矩阵，若存在正
17、整数使得，但（其中为维非零列向量），证明：线性无关。证明：（定义法证）若，上式两边左乘得，因为，所以因此，又因为，得。利用同样方法，可求得，因此，线性无关。47.设分别为矩阵（ 且（阶单位矩阵）， 证明：的列向量组线性无关。证：因为，且 所以，因此，而是矩阵，故，的列向量组线性无关。48.已知秩=秩，其中；，且可由线性表示，求的值。解：=因为可由线性表示，所以有，因此，。所以秩=2。因为秩=秩=2，所以，所以，。49. 设为阶矩阵（），且，求。解：因为 所以因为，所以，因此，。50. 设阶矩阵的每行元素之和均为零，又，求齐次线性方程组的通解。解：因为，所以齐次线性方程组的基础解系中含一个解向量
18、。设，因为的每行元素之和均为零，所以即，因此是齐次线性方程组的一个基础解系。从而，的通解为：，其中为任意常数。51. 已知下列线性方程组I, II为同解线性方程组，求参数之值。解：因为所以，是方程组I的一个解，因为方程组I与II同解，所以它也是方程组II的一个解，将它带入方程组II，可得：。52.设，求解方程。解：即求解非齐次线性方程组：因为所以的一个特解为：。为其导出组的一个基础解系。因此，的一般解为：，其中，为任意常数。53. 设阶矩阵的行列式，的前列构成的矩阵记为，问方程组有解否？为什么？解：无解，因为。 54. 设均为非零的维列向量，证明：中任意两行（或两列）成比例。解：因为，所以中任
19、意两行（或两列）成比例。55. 设阶矩阵分块为，其中为阶可逆矩阵（），证明：存在主对角元为1的上三角矩阵和下三角矩阵，使得。解：由分块矩阵的初等变换，不难知道：所以，。56. 设皆为阶矩阵，证明：（1） （2）（3）（为任意常数）。证：（1）因为 所以 因此，。（2）因为 所以 因此， 由（1）即得：。(3)分两种情况来讨论。当时，成立。当时，因为，所以，。综上，结论成立。57. 证明：若是矩阵，则存在矩阵，矩阵，且，使得（提示：利用相抵标准形）。证明：因为，所以存在可逆矩阵(阶)、(阶)，使得，则=令因为为可逆矩阵，所以的列向量组线性无关，的行向量组线性无关。令即满足条件，从而此题得证。58
20、. 设皆为阶矩阵，证明存在可逆矩阵，使得。证明：结合相抵标准形，不难知道，存在可逆矩阵，使得：因为，所以，令，则此题得证。59. 证明：（其中）线性相关的充要条件是存在一个使得可由线性表示，且表示法唯一。证明：（充分性）因为存在一个使得可由线性表示所以，线性相关，从而线性相关。（必要性）因为线性相关，所以存在不全为零的一组常数使得在使成立的所有不为零的系数中，必有一个最小的下标，使，但。下面说明。如果，则，从而矛盾。最后证表示法唯一。若线性相关，则显然得到一组数与前面的取法矛盾。所以，线性无关。又因为线性相关，所以表示法唯一。60. 证明：向量组线性无关的充要条件是。提示：此命题是59题的逆否
21、命题。61. 设向量组线性无关，如在向量组的前面加入一个向量，证明：在向量组中至多有一个向量可经其前面的个向量线性表示。并在中做几何解释。证明：反证，设有两个向量均可经其前面的向量线性表示： （1） （2）得：因为线性无关，所以线性无关，线性无关，因此，则由（1）知可由线性表出，与线性无关矛盾。62. 证明：在维向量空间中，若向量可经向量组线性表示，则表示法唯一的充分必要条件是向量组线性无关。证明：（充分性）设有表示法两式相减得：因为线性无关，所以，即可证表示法唯一。（必要性）反证，设线性相关，则存在不全为零的一组数设为使得因为向量可经向量组线性表示，所以存在一组常数使得所以，因为不全为零，所
22、以这是异于上面的另一种表示法，从而与表示法唯一矛盾。63. 设是阶矩阵，。证明：证明：（1）因为，所以的每行向量成比例，即得此结果。(1)令即得此结果。64. 设（1）证明：若有解，则的任一组解必满足方程（2）方程组有解的充要条件是方程组无解（其中是零矩阵）。证明：（1）因为，所以。因此，对任一组，若它满足，则必有，即，即(2) 方程组有解可由的列向量组线性表出（必要性）因为可由的列向量组线性表出，所以所以，方程组无解。（充分性）因为方程组无解，所以因此，从而可由的列向量组线性表出。65. 设是一个矩阵，齐次线性方程组的一个基础解系为试求齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数，并求出一个基础
23、解系。解：齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为。66. 设矩阵的个行向量是齐次线性方程组的一个基础解系，又是一个阶可逆矩阵。证明：的行向量也是的一个基础解系。证明：设。则由已知条件：，且 线性无关。因为所以的行向量是的解。又因为可逆，的个行向量线性无关，所以的个行向量线性无关，因此的行向量也是的一个基础解系。67. 证明：若为阶矩阵（），且，则中任意两行（或列）对应元素的代数余子式成比例。证明：因为，所以，因此，即可证。68. 设是矩阵，表示中划去第列所构成的行列式。证明：（1）是的一个解；（2）若（）不全为零，则（1）中的解是的一个基础解系。证明：（1）令，构造阶矩阵，不难知道中第一行
24、元素的代数余子式分别为：。所以中的每行元素乘以均为0，因此，(2) 令，构造阶矩阵，则不难知道中第一行元素的代数余子式分别为：。因为（）不全为零，所以的伴随矩阵，即，因此，又因为显然，所以，所以，从而齐次线性方程组的基础解系中含个解向量。再由（1）及（）不全为零，此题得证。69. 若为一个阶矩阵，且，证明.证明：显然，.因为所以因为，所以，即的每个列向量均为齐次线性方程组的解，因此，即综上，70. 若为一个阶矩阵，且，证明证明：显然，.因为所以因为，所以，即的每个列向量均为齐次线性方程组的解，因此，即综上，71. 设皆为阶方阵，证明：。并问：若，上述结论是否成立？证明：给出一般情况的说明。设, .则存在可逆矩阵使得。记则所以因此，即。72. 设向量组，证明：如果 则向量组线性无关。证明：（反证法）设向量组线性相关，取，则。所以齐次线性方程组有非零解。不妨设为其一个非零解，即它满足所以设，因为为的一个非零解，所以。因此，从而有，与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以向量组线性无关。