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1、第 7章 向量代数与空间解析几何,1 空间直角坐标系,1.空间直角坐标系,x,z,y,O,空间直角坐标系 Oxyz,坐标原点 O,坐标轴 Ox , Oy , Oz,右手系,坐标平面 xOy , yOz , xOz,I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII,卦限,2. 点的投影,空间一点M在直线(或轴上)的投影,空间一点M在平面上的投影,3.点的直角坐标,x,y,M,O,z,P,R,Q,M (x, y, z),有序数组(x, y, z)称为点M的坐标，记为M(x, y, z),x, y, z 分别称为点 M 的横、纵、立坐标.,原点O的坐标,坐标轴上的点的坐标,坐标面上的点的坐标,各卦
2、限中的点的坐标 的符号,討論题,4. 两点间距离,设空间中两点M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), 是否应有,数轴上两点 M1=x1, M2=x2, 有,平面上两点 M1 (x1, y1), M2 (x2, y2), 有,d=| M1 M2|=| x2 x1|,由勾股定理,M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2),特别地，点O (0, 0, 0) 与 M (x, y, z)之间的距离,例1. 在Oz轴上求与A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.,解： 设所求的点为M(0,0,z).,由|AM|=|BM|，得,化简求得,作图要点,坐标
3、系. Oy轴与Oy轴垂直，单位等长； Ox轴与Oy轴 交角120(或135)，单位长为Oy轴上的单位长的 倍 (或 倍) ；,直线. 空间中本来相互平行的直线在图中依然要保持 平行；,作图： 作点 P(2,1,3), Q(1,2,-1), R(-2,-1,-1),2 向量的概念及其表示,1. 向量,向量：既有大小又有方向的量,单位向量：模等于1的向量,零向量：模等于0的向量(方向任意) ，记0.,向量相等：模相等, 方向相同，记 a=b,负向量：与a的模相等而方向相反的向量， 记 a.,所有向量的共性：大小、方向，因此定义,模：向量的大小，记| a |,2. 向量的加法,c=a+b,平行四边形
4、法则,三角形法则,a1+a2+an,运算规律：,(1) a+b=b+a (交换律),(2) (a+b)+c=a+(b+c) (结合律),(3) a+0=a,(4) a+(a)=0,3. 向量减法,ab= a+(b),4. 数与向量的乘法,a=,0,=0: a=0,模：|a|=| |a|,方向：,0: 与a相同,0: 与a相反,运算律：,(1) (a)=()a= (a) 结合律,(2) (+)a=a+a,分配律,(a+b)=a+ b,(3) 1a=a, (1)a= a,定理1 b/a R , 使 b= a.,于是,a 0，设 a与a方向相同的一个单位向量，,由 |a| 0，故 |a|a 也与 a
5、 方向相同，且,| |a|a | = |a|a |= |a|,而同时有,称 a 为 a 的单位向量. (常被用来表示向量 a 的方向.),5. 向量在轴上的投影,向量间的夹角, =a, b= b, a,限定 0a, b,向量在轴 u 上的投影,数值,u,O,M1,u1,M2,= |a| cosa, u,a,(1),(2),5. 向量的分解和向量的坐标,例1. 设P1与P2为u轴上的两点，坐标分别为u1和u2；又 e为与u轴正向一致的单位向量，则,事实上, 若u1u2, 有,且 与e 同向，故,若u1u2, 有,且 与e 反向，故,若u1=u2, 有,0；,又 0,故也有,但,称 为 在Ox,O
6、y,Oz轴上的分向量 .,令 i, j, k 分别为沿Ox, Oy, Oz 坐标轴正向的基本单 位向量.,记点P1, P2的坐标为x=x1, x= x2；,点Q1, Q2的坐标为y=y1, y= y2；,点R1, R2的坐标为 z=z1, z= z2.,由例1知,故有,即,这是向量 a 在三个坐标轴上的分解式.,记,则显然 ax,ay,az 便是向量 a 在三个坐标轴上的投影.,由于 a ( ax, ay, az ),称 ( ax, ay, az ) 为 a 的坐标；记,a = ( ax, ay, az ),显然 0=(0, 0, 0),设 M ( x, y, z )，,6. 向量运算的坐标表
7、示式,设 a=( ax, ay, az )， b=( bx, by, bz )， R,ab = (axi+ay j+azk ) ( bxi+by j+bzk ),= (axbx)i +(ayby) j+(azbz)k,=( axbx , ayby , azbz ),a=(axi +ay j+azk ),=(ax)i+(ay) j+(az)k,=(ax, ay, az ),例1. 已知a= (4, -1, 3)，b= (5, 2, -2)，求2a +3b.,解. 2a +3b=2(4, -1, 3)+3(5, 2, -2)=(23, 4, 0),例2. 设点A(x1, y1, z1) 和B(x2
8、, y2, z2)，求线段AB的定比 分点(定比为 -1) 的坐标.,解. 设分点为M(x, y, z)，作AM和MB .依题意,而,故有,于是,特别地当=1时，便是中点,7. 向量的模与方向余弦,向量的模：由两点间距离公式立得,向量的方向：与三坐标轴正向间夹角, , .,称, , 为 a 的方向角 (规定 0, , ),向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，故,ax=Prjxa=|a|cos,ay=Prjya=|a|cos,ax=Prjza=|a|cos,称 cos, cos, cos 为 a 的方向余弦，,显然， cos2+cos2+cos2,a 的单位向量：,a 的方向余弦 cos, co
9、s, cos 就是 a 的坐标.,= cos i+cos j+cos k,= (cos ,cos ,cos ),解.,例3. 已知a与三坐标轴的夹角相等，求a 的方向余弦.,解： 由 cos2+cos2+cos2 =1，且 = = ，有,3cos2=3cos2=3cos2 =1，从而,得,由 cos2+cos2+cos2 =1，有,设P2的坐标为(x, y, z)，则,同理有, P2的坐标为(2, , 4)，或(2, , 2),例5.,解：设此求向量为a，则,故,3 向量的数量积与向量积,1. 向量的数量积,一个物体在力 F 作用下沿直线产生一段位移 r， 则力F 所作的功为,W=|F|cos
10、 |r|,定义1 对于向量a, b，数量,这里0a, b . 数量积亦称点积或内积.,称为向量a与b的数量积；记为ab.,W = Fr,由于|b|cosa, b=Prjab，于是,ab =|a|Prjab,=|b|Prjba,运算律：,(1) a2=aa =|a|2.,证 aa =|a|a|cos0=|a|2.,(2) ab ab =0.,证 a,b0，ab,a 或 b为 0时，方向任意，可认为与另一垂直.,a, b=, cosa, b=0, ab =0.,(3) ab =ba. (交换律 ),(5) (ab)= (a)b = a(b). (结合律),证 0, (ab)=|a|b|cosa,
11、b,(a)b=|a|b|cosa, b,显然, a, b= a, b，故 (ab)= (a)b,其他情形类似可证.,(6) i i= j j = k k =1； i j= j k = k i =0,(4) (a+b)c= a c +b c (分配律),证 (a+b)c = |c|Prjc(a+b),=|c|(Prjca+ Prjcb),=|c|Prjca+ |c|Prjcb,= a c +b c,设 a=( ax, ay, az )， b=( bx, by, bz )，,ab = (axi+ay j+azk ) ( bxi+by j+bzk ),= axbxii+axby ij+axbz ik
12、,+ aybx ji+ayby jj+aybz jk,+ azbx ki+azby kj+azbz kk,= axbx +ayby +azbz,特别地 aa = ax2 +ay2 +az2，,此外立刻有 ab axbx +ayby +azbz =0.,而 a2=|a|2， 于是,又,从而,例2. ABC中，CB=a, CA=b, AB=c, BCA=. 求证余 弦定理： c2=a2+b2 2abcos.,证 设 CB=a, CA=b, AB=c，则,c = AB=CBCA=ab,cc =(ab)(ab)=aa+bb2ab,即 c2=a2+b2 2abcos.,例3. 在xOy平面上求一垂直于
13、a=(4,3,7) 的单位向量.,解 设所求向量为 e=(x, y, z)，,因为它在xOy平面上，所以 z=0；,又因为它与 a 垂直，所以 4x+3y=0；,再 e 为单位向量，有 x2+y2=1；,联立解得：,从而,討論题,下面结论是否成立？,(ab)2=a2b2 ；,ab =ac b=c (消去律)；,(ab)c =a(bc) (结合律).,2. 向量的向量积,一根杠杆L一端 O固定为支点， 另一端P受到力F的作用，力F与OP的夹角为. 我们用力矩表示F对杠杆L转动作用的大小和方向. 力矩是一向量，记为 M，其量值(大小)为,其方向垂直于OP与 F 所决定的平面, 指向符合右手规则.,
14、定义2 对于向量a, b，由a和b可确定一个新向量,这里0a, b . 向量积亦称 叉积或外积.,称为向量a与b的向量积；记为ab.,ab=,模：,方向：同时垂直于a和b且按右手规则,以向量a和b为邻边作平行四边形OABC，,于是其面积 S=|a|h=|a|b|sina, b =|ab|.,则高 h=|b|sina, b,运算律：,(1) aa = 0.,证 |aa| =|a|2sin0= 0.,(2) a/b ab =0.,证 a,b0， a/b,a 或 b为 0时，方向任意，可认为与另一平行.,a, b=0或, sina, b=0, ab =0.,(3) ab = ba. (交换律不成立
15、),证 a / b时， ab=0，ba=0，结论成立；,(4) (ab) = (a)b =a (b) (分配律),证 =0 或 a/b, 上式两端均为 0 ,自然成立；,不妨设 0,则,|(ab)|=|ab|=|a|b|sina, b,|(a)b|= |a|b|sina, b=|a|b|sina, b,且 0时 (ab)和(a)b方向相同，故等式成立；,同理0时可证；后一等式亦然.,(5) (a+b)c =ac+bc,a(b+c) =ab+ ac (分配律),(6) ii =jj=kk = 0;,ij=k ,jk=i,ki=j,向量积的坐标式： 设,ab =(axi+ay j+azk )( b
16、xi+by j+bzk ),a=( ax, ay, az )， b=( bx, by, bz )，,=(aybzazby)i+(azbx axbz)j+(axby aybx) k,= axbxii+axby ij+axbz ik,+aybx ji+ayby jj+aybz jk,+azbx ki+azby kj+azbz kk,= axbyk axbz j aybxk +aybzi +azbx j azbyi,=( aybzazby，azbx axbz，axby aybx ),ab =(aybzazby)i+(azbx axbz)j+(axby aybx) k,为便于记忆,a/b aybzaz
17、by=0，azbx axbz=0，axby aybx=0,例4. a=(2,1, 1) , b=(1, 1, 2), 计算ab和ba.,= i 5j 3k,= i +5j +3k,解,例5.求一垂直于a=(2, 2, 1) 和 b=(4, 5, 3) 的单位向量.,解 显然 ab 是垂直于 a 和 b 的. 而,= i 2j +2k，,所以,例6. 已知 OA= i+3k, OB= j+3k, 求OAB 的面积.,解 平行四边形OABC的面积=|OAOB|, 从而,3. 向量的混合积,(ab)c 称为向量 a, b, c 的混合积, 记作abc .,设 a=( ax, ay, az )，b=(
18、 bx, by, bz )，c=( cx, cy, cz )，,混合积有“轮序置换”性质：,(ab)c = (bc)a = (ca)b，,或 abc = bca = cab .,| (ab)c |是以向量 a, b, c 为棱的平行六面体的体积.,这平行六面体的底面积为 |ab|, 高为h=|c|cos |.其 中为 ab 与 c 之夹角. 故,V= |ab|h,= |ab|c|cos |=| (ab)c |,容易知道： 向量 a, b, c 共面 abc=0.,討論题,下面结论是否成立？,(ab)c =a(bc) ； (三重向量积，结合律),ab =ac b=c . (消去律),i+j+k
19、是单位向量吗？,若a, b是任一单位向量，则 ab 是单位向量？,4 平面及其方程,空间的几何图形均视为空间“动点”的轨迹. 于是动点坐标所满足的数量关系 (方程)称为该图形的方程.,1. 平面的点法式方程,垂直于平面 的非零向量 n 称为 的一个法向量.,给定了法向量 n 便确定了平面 的方向.,法向量的特征：垂直于平面上的任一向量.,若再给定平面上的一点M0便可完全确该平面的位置.,平面方程的建立：,已知法向量 n= (A, B, C)，,点 M0(x0, y0, z0)，,设平面上任一点(动点)为 M (x, y, z) ，,即 A(xx0)+B(yy0)+C(z z0) =0.,称为平
20、面 的点法式方程.,A(xx0)+B(yy0)+C(z z0) =0. (1),2. 平面的一般方程,从方程(1)有,Ax+By+Cz (Ax0+By0+Cz0) =0.,令 D= (Ax0+By0+Cz0), 则,Ax+By+Cz +D =0. (2),这是三元一次方程，其中A,B,C,D为常数且不全为零.,由于(2)与(1)同解，故三元一次方程总表示一张平面：,Ax+By+Cz +D =0 平面,因此称方程(2)为平面的一般方程.,显然，这里系数 A,B,C为法向量 n 的坐标.,例1. 求过点M (1, 1, 3), 且与平面x2y+3z =5平行的平面方程.,解. 已知平面的法向量 n
21、= (1, 2, 3),将所求平面的法向量也取作 n，则,(x1) 2(y+1)+3(z3) =0，,即 x2y+3z12 =0.,例2. xOy坐标面的方程.,解. xOy平面上动点坐标总满足z=0，故其方程为z=0.,另解. 取法向量k=(0,0,1)，和原点(0, 0, 0)，则,0(x0)+0(y0)+1(z0) =0，, z =0.,类似地，xOz平面方程为y=0； yOz平面方程为x=0.,例3.求过三点M1(2, 1, 4), M2(1, 3, 2) 和M3(0, 2, 3)的平面方程.,解1.,取法向量,再取点M1得平面的方程 14(x2)+9(y+1) 1(z4) =0，,或
22、 14x +9y z 15=0.,一般地，不共线的三点可确定一个平面.,例3.求过三点M1(2, 1, 4), M2(1, 3, 2) 和M3(0, 2, 3)的平面方程.,解2：设所求平面方程为,Ax+By+Cz+D=0 (其中A, B, C, D待定.),将点M1, M2, M3代入，得,联立解得：,故,由 D0，得,3. 平面一般方程的讨论,Ax+By+Cz +D =0.,(1) D=0：,(2) A=0： 有n=(0, B, C), ni=0, ni ；故方程,By+Cz +D =0为平行(或通过)Ox轴的平面；,(3) A=B=0： 有n=(0, 0, C), n=Ck, n/k；故
23、方程,Cz +D =0为平行(或重合) xOy坐标面的平面；,B=0，或C=0：,Ax+By+Cz =0为过原点(0, 0, 0)的平面；,A=C =0，或B=C =0 ；,例4.设一平面通过Ox轴并过点M0(4, 3, 1), 求这平面.,解1. 因为所求平面过Ox轴，故 A=0, D=0，,故设其方程为 By+Cz =0，,将点M0 代入得 3B C =0，,C = 3B，,于是得平面方程 y 3z =0.,解2. 因为原点、 Ox轴及点M0都在所求平面上，故,ni 且 nOM0,于是取 n= i OM0,= i (4i 3j k)= j 3k,点法式方程为 1(y+3) 3(z+1)=0
24、,即 y 3z =0.,例5. 一平面在Ox,Oy,Oz轴上的截距分别为 a,b,c，求该平面的方程 (a0,b 0,c 0).,解1. 平面过三点 M1(a, 0, 0), M2(0, b, 0) 和M3(0, 0, c).,将点M1, M2, M3代入, 确定A,B,C,D，得,设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0 (其中 D0 ),解2.,这称为平面的截距式方程.,5 空间直线及其方程,1. 直线的标准式方程,平行于直线L 的非零向量 s 称为 L 的一个方向向量.,给定了方向向量 s ，便确定了直线 L 的方向.,若再给定直线L上的一点M0便可完全确定该直线的位置.,直线方程的建立：
25、,已知方向向量 s= (m, n, p)，,点 M0(x0, y0, z0)，,设直线 L 上任一点(动点)为 M (x, y, z) ，,由于 M0M 在 L上，故 M0M / s，,于是,称为直线 L 的标准式方程 (点向式、对称式）.,令,则有,x = x0+mt，,y = y0+nt，,z = z0+pt.,称为直线的参数方程 ( t 为参数 ),例1. 求过点 M0(4,1, 3) 且平行于Ox轴的直线.,解. 取 i=(1,0, 0) 为所求直线的方向向量. 从而,化为参数方程 x = 4+t，y = 1，z = 3.,例2. 求过点 M1(x1,y1,z1) 和M2(x2,y2,
26、z2) 的直线方程.,解： M1M2 在所求直线上，故取M1M2为方向向量，,于是,这称为直线的两点式方程.,例3. 求过点M0(1, 0, 4)且与平面x2y+3z+5=0垂直的直线方程.,解：取 s = n =(1, 2, 3),则,化为参数方程 x = 1+t，y = 2t，z = 4+3t.,2. 直线的一般方程,一般地，直线可视为两张平面的交线,L：,A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0,称为直线的一般方程.,其中A1,B1,C1与A2,B2,C2不成比例.,由于平面的交线与这两张平面的法向量n1和n2都垂直，,n2,n1,故可取 n1n2为该交线的方向
27、向量.,例如,x=0 y=0,表示Oz轴所在直线,y=0 z=0,表示Ox轴所在直线,x=0 z=0,表示Oy轴所在直线,例4. 将直线的一般方程,化为标准式方程.,解：先找出直线上的一点：取x0=1，代入方程组解得,y0=0，z0=2,即得到直线上一点(1,0,2).,再找出直线的方向向量，取,故得,对称式化为一般式？,对称式化为一般式，例如上例,有,得,容易理解，通过一直线 L的平面可以有无限多，故 L的一般方程不是唯一的.,例5. 求过点M0(3, 2, 5)且与两平面2x y 5z=1, x 4z =3平行的直线方程.,解：可取 s= n1n2,=2, 1, 5 1, 0, 4,=4,
28、 3, 1,故所求直线为,例6. 求通过x轴和点M0(3, 2, 5)的平面与另一平面3x y 7z+9=0相交的交线方程.,解：先求通过x轴和点M0的平面,取 n=i,故 5(y2)+2(z+5)=0,即 5y+2z=0,所求直线,5y+2z=0 3x y 7z+9=0,3. 平面和直线间的位置关系,(1). 两平面之间的相互位置.,法向量之间的夹角(锐角)定义为两平面之间的夹角.,设平面为 1： A1x+B1y+C1z+D1=0, 2： A2x+B2y+C2z+D2=0,那么平面1和2的夹角 可由,确定.,两平面垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0,两平面平行 ,例7 求两平面 x-y+
29、2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角.,n1=(1, -1, 2), n2=(2, 1, 1).,解,(2). 两直线之间的相互位置.,方向向量之间的夹角定义为两直线之间的夹角.,设直线为,则直线L1和L2的夹角 可由,确定.,两直线垂直 /平行的充分必要条件？,两直线垂直 m1m2+n1n2+p1p2=0,两直线平行 ,(3). 直线与平面之间的相互位置.,直线和它在平面上的投影直线的夹角j定义为该直线与该平面之间的夹角. 并规定0j /2.,设,： Ax+By+Cz+D=0,因为 n =(A,B,C)与 s =(m,n, p)的夹角为 ，,而 ,所以,直线与平面平行 Am+Bn+Cp=
30、0,直线与平面垂直 ,例8 一平面过M1(1, 1, 1)和M2(0, 1,1) 且垂直于x+y+z=0，求它的方程.,解1 设平面为 Ax+By+Cz+D=0,M1代入： A+B+C+D=0,M2代入： BC+D=0,与已知平面垂直： A+B+C=0,联立解得 D=0, B=C, A=2B,故 2Bx+By+Bz=0,约去B (0)得 2xyz=0.,例8 一平面过M1(1, 1, 1)和M2(0, 1,1) 且垂直于x+y+z=0，求它的方程.,解2 向量M1M2=(1,0, 2)在所求平面上；而已知平面的法向量n1=(1,1,1)平行于所求平面；故取,n2= M1M2 n1=(2, 1,
31、 1) 为所求平面法向量.,于是得到 2(x1) (y1)(z1)=0,即 2xyz=0.,例9. 求由平行线,和,决定的平面.,解1：由两直线方程知 s=(3, 2, 1),M1(3,2,0),M2(3,4,1),取 n = s ,= (3, 2, 1) (0, 2, 1),=(4, 3, 6), 所求平面为,4(x+3)+3(y+2)6z=0,即 4x+3y 6z+18=0,例9. 求由平行线,和,决定的平面.,解2. 设平面为 Ax+By+Cz+D=0,M1(3,2,0)在平面上,代入： 3A2B+D=0,M2(3,4,1)在平面上,代入： 3A4BC+D=0,又平面法向量 ns ： 3
32、A2B+C=0,联立解得 C=2B, D=6B, A= B,故有 Bx+By2Bz+6B= 0,即 4x+3y 6z+18=0,例10. 求直线,与平面2x+y+z6=0,的夹角和交点.,解：因为 s=(1,1,2)，n=(2,1,1)，所以,已知直线的参数方程为,代入平面方程中得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)6=0,解得t = 1, 再代入直线参数方程便得交点,x=1，y=2，z=2,例11. 设 P0(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D=0 的外一点，求P0到这平面的距离.,解. 设 P0到平面的垂足为P1(x1,y1,z1)，则,而P0P1/n P0P1=n，即,x
33、1x0=A, y1y0=B, z1z0=C,因P1在平面上，故,A(A+x0)+B(B+y0)+C(C+z0)+D =0.,解得,代入,例12. 求 P0(1,2,1)到直线 的距离.,解. 显然 P0为直线外一点.以直线的方向向量为法向量作过点P0的平面，则该平面与直线垂直，而直线与平面的交点(垂足) P1到P0的距离便是所求.,P1点的坐标如何求？,见例10,例13. 求直线L： 在平面 ：x+y+z=0上投影直线的方程.,思路. 因为直线L向平面投影，所以先求出通过直线L且与平面垂直的平面方程，则所求平面与的交线便是L在平面上的投影.,解1. 因为L在所求平面上，故nsL, 又所求平面垂
34、直 ，故nn,于是取n=sLn.,sL=(1,1,1)(1,1,1)=(0,2,2) ，,故 n =(0,2,2)(1,1,1)=(0,2, 2).,再取L上一点，令x=0, 可得y=1, z=0,故所求平面为 (2)(y1)+2(z0)=0 ，,即 yz1=0 ，,从而投影直线为,例13. 求直线L： 在平面 ：x+y+z=0上投影直线的方程.,思路. 因为直线L向平面投影，所以先求出通过直线L且与平面垂直的平面方程，则所求平面与的交线便是L在平面上的投影.,解2. 设所求平面为 Ax+By+Cz+D=0,因为它与垂直： A+B+C=0,又因它过L,则过L上任两点, 在L上取两点(0,0,1),(0,1,0)，代入：,C+D=0,B+D=0,联立解得 A=0, B=D, C=D,得方程 Dy+Dz+D=0 ，,即 yz1=0 .,例13. 求直线L： 在平面 ：x+y+z=0上投影直线的方程.,思路. 因为直线L向平面投影，所以先求出通过直线L且与平面垂直的平面方程，则所求平面与的交线便是L在平面上的投影.,解3. 设所求平面为,(x+yz1)+(x y+z+1)=0, (待定),过L的平面束方程,即 (1+)x+(1)y+(1+)z+(1+ )=0,它与垂直，故： (1+)1+(1)1+(1)1=0,得 = 1,故所求平面 yz1=0 .,