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1、3.由同种原子组成的二维密排结构晶体，原子间距为a，作图画出其前三个 布里渊区图形，并求：(1)每个原子有一个价电子时的费米半径kF；(2)第一 布里渊区的内切圆半径k1；(3)内切圆为费 米圆时的电子浓度1 (即平均每 个原子的价电子数)；(4)每个原子有两个价电子时的费米半径，画出简约 区中近自由电子近似的费米面图形。 4.分别求出二维正方晶格简约 区中沿M和XZM轴自由电子能量函数En(k) 能 量最低的前四条曲线的表达式，画出其示意图并给出各曲线的简并度。 二度简并 思考题题 （1）对有限尺寸晶体（如量子点，量子线或量子井），你认为其晶体能带 相对于理想晶体会有什么变化？ 周期性边界条
2、件破坏，边界效应开始变得明显能带不再是准连续的。 （2）试讨论 分别同A、B两种材料组成的一维超晶格量子阱的能带变化。 *(如下图) AB a 8a 克朗尼格-朋奈模型 (基泰尔，固体物理导论，P119) 在0x 无散射； 散射 偏离平移对称性的结果，稳态Bloch态的微扰： 散射：偏离平移对称性有几种可能： 1）时间和空间都确定的缺陷，如杂质、位错、晶界； 2）随时间变化的偏离平移对称性，如晶格振动； 3）电子电子相互作用造成的散射，与上面讲到的散射 相比，通常并不显著。 4、用紧紧束缚缚近似处处理面心立方晶格s态电态电子 ，试导试导出其能带带关系，并求出能带带底的有效 质质量。 5、氢原子
3、外层只有一个电子，为何固态氢不像钾、钠等 碱金属那样呈金属性？科学家们又为何相信，只要通过高 压手段把氢原子间距压缩得足够小，就可以使固态氢转 变为金属？请通过能带模型加以解释。 解：固态氢的原子局域在氢原子周围，无法形成公有化运 动。当施加高压时，氢原子的间距减小，氢原子周围的电 子的周期性势场势垒 减小，电子形成公有化运动，从而固 态氢可以导电，变为金属。 附加题：利用二维维自由电电子气模型解释释De HaasVanAlphen效应应。 自由二维电子气具有准连续的能谱，在垂直磁场下聚集成间 隔为c的分立能级。 量子态改变，量子态的总数不变 。 朗道能级的简并度为： Landau能级简并度随
4、磁场强度B变化，使得电子气系统的 能量随磁场强度变化而变化。 德哈斯-范阿尔芬效应 能量上升能量不 变变 能量上升 至最大 能量上升后 又开始下降 五. 二维维自由电电子气模型 N为系统电 子总数。 能量增量随磁场的变化为： 其中： 为二维自由电子气费米圆的面积。 而二维自由电子气系统的磁矩为： 系统统的能量随1/B周期变变化，因此系统统的磁矩也随磁场场 做周期性震荡变荡变化。而从实验实验上测测出M随1/B变变化的周期， 定出费费米面SF，这这是十分有用的。 五. 二维维自由电电子气模型 金属的电导率、比热等物理量在低温强磁场场中也有类似 的振荡现象。 这种现象与金属费米面附近的电子在强磁场中
5、的行为有关 ，因而与金属的费米面结构有密切关系，这些现象是研究金 属费米面结构的有力工具 上面对自由电子的讨论可以推广到Bloch电子，只需要用有效 质量m*代替m 即可，因为前者已经涵盖了周期场的影 响，上式推广到Bloch电子，有： AF是垂直于磁场场的费费米面极值值截面积积，如果我们测们测出磁场场沿 不同方向给给出的截面积积，就可以绘绘出费费米面的形状。 五. 扩扩展到bloch电电子 解的物理意义：格波 原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距的 整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。 都是整数）。如： 有： 该解表明：晶体中所有原子共同 参与的振动，以波的形式在整个 晶体中传播，
6、称为格波。 从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介 质弹性波中的x 是可以连续取值的；而在格波中只能取na格点 位置这样的孤立值。 第一布里渊区里的色散关系： 分离原子集体振动形成的格波 与连续介质中的弹性波相比，色散 关系发生了变化，偏离了线性关系 ，而且具有周期性和反射对称性 从解的表达式中可以看出：把aq改变2的整数倍后，所 有原子的振动实际 上没有任何区别，因此有物理意义的q取 值范围可以限制在第一布里渊区内。 这种性质称作格波的简约性 。一维单原子链的倒格矢： 在波矢空间 这就避免了某一频率的格波有很多波长与之对应的问题 由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一
7、种振动状态，q只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与 连续介质弹性波的重大区别。 参考黄昆书p85图 由白线所代表的波不能给出比黑虚线更多的信息， 为了表示这个运动，只需要大于2a的波长。 见KittelP70图 周期性边界条件（BornKarman 边界条件） 上面求解假定原子链无限长，这是不现实的，确定何种边 界条件才既能使运动方程可解，又能使结果符合实际晶体的测 量结果呢？ BornKarman最早利用周期性边界条件解决了此问 题，成为固体理论的一个典范。 所谓周期性边界条件就是将一有限长度的晶体链看成无限长 晶体链的一个重复单元，即： n =任意整数，但考虑到 q 值的取值范围，n 取 值数目是有限的：只有布里渊区内的 N 个整数 值。 周期性边界条件并没有改变方程解的形式，只是对解提出一 定的条件，q只可取N个不同的值，每个q对应着一个格波。 引入周期性边界条件后，波数 q 不能任意取值，只能取 分 立的值。在 q 轴上，相邻两个 q 的取值相距 ， 即在 q 轴上，每一个 q 的取值所占的空间为： 所以，q 值的分布密度（单位长度上的模式数目） ： LNa 为晶体链的长度。 第一布里渊区中波数 q 的取值总数等于晶体链的原胞个数， 即：晶格振动格波的总数 =N1= 晶体链的总自由度数。 至此，我们可以有把握的说找到了原子链的全部振动模。