《奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式;.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式;.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 1 奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式 1、 1001abcabcabc= 2、 10101abababab= 3、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 ba 1 形式的，这里我们把较小的 数写在前面，即 ab，那么有: ) 11 ( 11 baabba = = 4、对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有： + + = + + + = +)2() 1( 1 ) 1( 1 2 1 )2() 1( 1 nnnnnnn + + = + + + = +)3()2() 1( 1 )2() 1( 1 3 1 )3()2() 1( 1 nnnnnnnnnn 5 5、 abba
2、b ba a ba ba11 += + = + += + = + 6 6、 a b b a ba b ba a ba ba += + = + += + = + 2222 7、) 1() 1( 3 1 ) 1(.433221+=+=+nnnnn 8、 ) 1() 1)(2( 4 1 ) 1()2( .543432321+=+=+nnnnnnn 9、 ) 1() 1( 3 1 )2)(1( 3 1 ) 1(+=+=+nnnnnnnn 10、 )2)(1() 1( 4 1 )3)(2)(1( 4 1 )2)(1(+=+=+nnnnnnnnnnn 11、 !)!1(!nnnn+=+= 2 1 12 2
3、. .求和：求和： 1) 1( 1 . 54 1 43 1 32 1 21 1 + = + + + + + = + = + + + + + = n n nn Sn 证： 11 1 1) 1 11 () 5 1 4 1 () 4 1 3 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1 ( + = + = + += + = + = + += n n nnn Sn 1313. .求和：求和： 12) 12)(12( 1 97 1 75 1 53 1 31 1 + = + + + + + = + = + + + + + = n n nn Sn 证： 12 ) 12 1 1 ( 2 1 ) 12 1 12
4、1 ( 2 1 ) 7 1 5 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1 ( 2 1 + = + = + += n n nnn Sn 1414. .求和：求和： 13) 13)(23( 1 107 1 74 1 41 1 + = + + + + = + = + + + + = n n nn Sn 证：) 13 1 23 1 ( 3 1 ) 10 1 7 1 ( 3 1 ) 7 1 4 1 ( 3 1 ) 4 1 1 ( 3 1 + += nn Sn 13 ) 13 1 1 ( 3 1 + = + = n n n 1515. .求和：求和：) 2 1 1 1 2 1 1 (
5、 3 1 )2( 1 64 1 53 1 42 1 31 1 + + += + + + + + = + + += + + + + + = nnnn Sn 证：) 1 1 1 1 ( 2 1 ) 6 1 4 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 4 1 2 1 ( 2 1 ) 3 1 1 ( 2 1 + += nn Sn ) 2 1 1 1 2 1 1 ( 3 1 ) 2 11 ( 2 1 + + += + + nnnn 16.求和： + = + + + + = + = + + + + = )2)(1( 1 2 1 2 1 )2)(1( 1 543 1 432 1 321 1 nn
6、nnn Sn 3 证：因为 )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 )2)(1( 1 + + = +nnnnnnn ， )2)(1( 1 2 1 2 1 )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 ) 43 1 32 1 ( 2 1 ) 32 1 21 1 ( 2 1 + = + + + + = nn nnnn Sn 17、 2 ) 1( 321 + =+ + =+ nn n 1818、 2 12311321nnnn=+）（）（ 1919、 2 127531nn=+=+）（ 2020、 6 ) 12)(1( 21 222 + =+ + =+ nnn n 2121、 3 ) 14( 3 ) 12)(
7、12( 12531 2 2222 = + =+ = + =+ nnnnn n）（ 2222、() () 4 1 2121 2 2 2 333 + =+=+ nn nn 2323、 )( 22 bababa+= 2424、 222 2)(bababa+= 【典型例题】【典型例题】 例 1. 计算： 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19941995 + + + + + + 1 19951996 1 19961997 1 1997 分析与解分析与解答：答： 1 19851986 1 1985 1 1986 1 19861987 1 1986 1 1987 1 1
8、9871988 1 1987 1 1988 1 19941995 1 1994 1 1995 = = = = 4 1 19951996 1 1995 1 1996 1 19961997 1 1996 1 1997 = = 上面 12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为 0，这 一来问题解起来就十分方便了。 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19951996 1 19961997 1 1997 + + + + + =+ += 1 1985 1 1986 1 1986 1 1987 1 1987 1 1988 1 1995 1 199
9、6 1 1996 1 1997 1 1997 1 1985 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分 分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 例 2. 计算： 1 1 1 12 1 123 1 123100 + + + + + + 公式的变式 1 12 2 1+ = nnn() 当n分别取 1，2，3，100 时，就有 1 1 2 12 1 12 2 23 1 123 2 34 1 1234 2 45 1 12100 2 100101 = + = + = + = + = 5 1 1 1 12 1 123 1 12100 2 12 2 23 2
10、 34 2 99100 2 100101 2 1 12 1 23 1 34 1 99100 1 100101 21 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 99 1 100 1 100 1 101 21 1 101 + + + + + + = + + + + = + + + + =+ = () () () = = = 2 100 101 200 101 1 99 101 例 3. 设符号（ ）、代表不同的自然数，问算式 1 6 11 =+ () 中这两个 符号所代表的数的数的积是多少？ 分析与解：分析与解：减法是加法的逆运算， 1 6 11 =+ () 就变成 1 6 11 = () ，与
11、前 面提到的等式 11 1 1 1nnn n + = +() 相联系，便可找到一组解，即 1 6 1 7 1 42 =+ 另外一种方法 设nxy、 、都是自然数，且xy，当 111 nxy =+时，利用上面的变加为减的想法， 得算式 xn nxy = 1 。 这里 1 y 是个单位分数，所以xn一定大于零，假定xnt= 0，则xnt=+，代 入上式得 t n nty()+ = 1 ，即y n t n=+ 2 。 又因为y是自然数，所以t一定能整除n2，即t是n2的约数，有n个t就有n个y， 这 一 来 我 们 便 得 到 一 个 比 11 1 1 1nnn n + = +() 更 广 泛 的
12、等 式 ， 即 当xnt=+， y n t n=+ 2 ，t是n2的约数时，一定有 111 nxy =+，即 11 nnt t n nt + = +() 6 上面指出当xnt=+，y n t n=+ 2 ，t是n2的约数时，一定有 111 nxy =+，这里 nn=636 2 ,，36 共有 1，2，3，4，6，9，12，18，36 九个约数。 当t = 1时，x = 7，y = 42 当t = 2时，x = 8，y = 24 当t = 3时，x = 9，y = 18 当t = 4时，x = 10，y = 15 当t = 6时，x = 12，y = 10 当t = 9时，x = 15，y =
13、10 当t = 12时，x = 18，y = 9 当t = 18时，x = 24，y = 8 当t = 36时，x = 42，y = 7 故（ ）和所代表的两数和分别为 49，32，27，25。 【模拟试题】【模拟试题】（答题时间：20 分钟） 二.尝试体验： 1. 计算： 1 12 1 23 1 34 1 9899 1 99100 + + + + 2. 计算： 1 3 1 6 1 10 1 15 1 21 1 28 1 36 1 45 1 55 1 66 1 78 1 91 1 105 1 120 + 3. 已知xy、是互不相等的自然数，当 1 18 11 =+ xy 时，求xy+。 【试题
14、答案】【试题答案】 1. 计算： 1 12 1 23 1 34 1 9899 1 99100 + + + + =+ = = 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 98 1 99 1 99 1 100 1 1 100 99 100 2. 计算： 1 3 1 6 1 10 1 15 1 21 1 28 1 36 1 45 1 55 1 66 1 78 1 91 1 105 1 120 + 7 =+ = + + + + + + + + + + + + + = = = 2 6 2 12 2 20 2 30 2 42 2 56 2 72 2 90 2 110 2 132 2 156 2 182
15、 2 210 2 240 2 1 23 1 34 1 45 1 56 1 67 1 78 1 89 1 910 1 1011 1 11 12 1 1213 1 1314 1 1415 1 1516 2 1 2 1 16 1 1 8 7 8 ( ) () 3. 已知xy、是互不相等的自然数，当 1 18 11 =+ xy 时，求xy+。 xy+的值为：的值为：75，81，96，121，147，200，361。 因为因为 18 的约数有的约数有 1，2，3，6，9，18，共，共 6 个，所以有个，所以有 1 18 11 1811 1 36 1 36 = + + =+ () 1 18 12 1812
16、 1 54 1 27 542781 1 18 13 1813 1 72 1 24 722496 = + + =+ += = + + =+ += () () 1 18 16 1816 1 126 1 21 21126147 = + + =+ += () 1 18 19 1819 1 180 1 20 20180200 1 18 118 18118 1 19 1 342 19342361 = + + =+ += = + + =+ += () () 1 18 23 1823 1 45 1 30 304575 1 18 29 1829 1 99 1 22 2299121 = + + =+ += = +
17、 + =+ += () () 还有别的解法。还有别的解法。 裂项法裂项法【典型例题】【典型例题】 8 例 1. 1 13 1 35 1 57 1 19931995 1 19951997 + + + + 分析与解：分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。 下面我们用 11 nnt t n nt + = +() ，现在给n、t一些具体的值，看看有什么结果。 当nt=12,时，有 2 13 1 1 1 3 = 当nt=32,时，有 2 35 1 3 1 5 = 当nt=52,时，有 2 57 1 5 1 7 = 当nt=19932,时，有 2 19931995 1 1
18、993 1 1995 = 当nt=19952,时，有 2 19951997 1 1995 1 1997 = 上面这 998 个等式左边的分数， 其分母分别与题目中各加数的分母一样， 只是分子是 2 不 是1 ， 但 是 很 容 易 将 题 目 中 各 数 的 分 子 变 为2 ， 例 如 1 13 1 2 2 13 1 35 1 2 2 35 = = ,，这样采用裂项法也能较快求出结果来。 因为 1 13 1 2 2 13 1 35 1 2 2 35 = = ,， 1 19931995 1 2 2 19931995 = ， 1 19951997 1 2 2 19951997 = 所以 1 13
19、 1 35 1 19931995 1 19951997 + + + =+ = = = 1 2 1 1 3 1 3 1 5 1 1993 1 1995 1 1995 1 1997 1 2 1 1 1997 1 2 1996 1997 998 1997 () () 例 2. 1 123 1 234 1 9899100 + + 因为 1 12 1 23 31 123 2 123 = = 所以 1 123 1 2 1 12 1 23 = () 同样可得 1 234 1 2 1 23 1 34 = () 9 1 345 1 2 1 34 1 45 = () 一般地，因为 1 1 1 12n nnn()(
20、)()+ + = + + = + nn n nn n nn 2 12 2 12 ()() ()() 1 12 1 2 1 1 1 12 n nn n nnn ()() ()()() + = + + 这里n是任意一个自然数。 利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例 2 的结果。 1 123 1 234 1 9899100 1 2 1 12 1 23 1 23 1 34 1 9899 1 99100 1 2 1 12 1 23 1 23 1 34 1 9899 1 99100 1 2 1 12 1 99100 + + = + + = + + = ()()() () () = = = 1 2 49
21、501 9900 1 2 4949 9900 4949 19800 例 3. 计算： 1 2 1 23 1 234 1 2345 1 234200 + + + + + + + + 分析与解：分析与解： 10 1 23 2 232 2 25 1 234 2 243 2 36 1 2345 2 254 2 47 1 234 1 1 2 21 2 12 2 12 2 1 12 + = + = + = + = + = + = + = + = + + = + () () () ()() ()() ()()()() n nn nn nnnn 而 1 1 1 2 21 12 3 12nn nn nnnn +
22、 = + + = + ()() ()()()() 即 1 12 1 3 1 1 1 2()() () nnnn+ = + 连续使用上面两个等式，便可求出结果来。 1 2 1 23 1 234200 1 2 2 25 2 36 2 199202 1 2 2 3 3 25 3 36 3 199202 1 2 2 3 1 2 1 5 1 3 1 6 1 4 1 7 1 5 1 8 1 7 1 10 1 199 1 202 + + + + =+ + + =+ + + =+ () () =+ 1 2 2 3 1 2 1 3 1 4 1 5 1 199 1 5 1 6 1 7 1 202 ()() 1 2
23、 2 3 1 2 1 3 1 4 1 5 1 199 1 5 1 6 1 200 1 201 1 202 1 2 2 3 1 2 1 3 1 4 1 200 1 201 1 202 1 2 2 3 99 200 66 201 99 404 1 2 33 100 44 201 33 202 1 430933 2030100 + =+ =+ =+ = ()() () () 【模拟试题】【模拟试题】（答题时间：15 分钟） 二. 尝试体验 1. 求和： 1 3 1 34 1 345 1 3456 1 34520 + + + + + + + + 2. 求和：1 1 10 3 1 40 5 1 88 7 1 154 9 1 238 11 1 340 + 11 3. 求和： 1 1234 1 2345 1 17181920 + + 12 【试题答案】【试题答案】 1. 求和： 1 3 1 34 1 345 1 3456 1 34520 + + + + + + + + 687836 841225 2. 求和：1 1 10 3 1 40 5 1 88 7 1 154 9 1 238 11 1 340 + 36 3 20 3. 求和： 1 1234 1 2345 1 17181920 + + 1139 20520