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1、怎样证明是一个无理数是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设是一个有理数，即可以表示为一个分数的形式=.其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则.由于完全平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，
2、因此的尾数只能是0、2、8中的一个.因为，所以与的尾数都是0，因此的尾数只能是0或5，因此a与b有公因数5，与(a,b)=1矛盾！因此是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.证法2：奇偶分析法.假设=.其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则.可知a是偶数，设a=2c,则，可知b也是偶数，因此a、b都是偶数，这与(a,b)=1矛盾！因此是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到，易见b1，否则b=1，则=a
3、是一个整数,这是不行的.改写成.因为b1，因此b有素因子p，因此p整除或a，总之，p整除a，因此p同时整除a与b，这与(a,b)=1矛盾.证法4：仿上，得到，等式变形为，因为b1，因此存在素因子p，p整除a+b或a-b之一，则同时整除a+b与a-b，因此p整除a，因此p是a、b的公因数，与(a,b)=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此，其中与都是素数，与都是正整数，因此=2，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此是无理数.证法6：假设=，其中右边是最简分数，即在所有等于的分数中，a是最小的正整数分子，在的两边减去ab有，即，右边的分子2b-aa，这与a是最小的分子矛盾，因此是无理数.证法7：连分数法.因为=1，因此，将分母中的用代替，有，不断重复这个过程，得=，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是1分母为正整数的有限连分数，因此是无理数.证法8：构图法。以上诸多证法的关键之处在于，证明没有正整数解。若不然，可以b、a为边构造正方形(ba),因为，因此图中空白部分的面积等于中间黑色阴影部分的面积，它们都是正方形，这就找到了一组更小的正整数(a,b)满足，无穷递降下去，这个过程可以无限进行，矛盾！