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1、院 系 班级 姓 名 作业编号 1 第九章 曲线积分与曲面积分 作业作业 13 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 1计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界d L xs Lyx 2 yx 解：可以分解为及L 1: ,1,0,1Lyx yx 2 2: ,2 ,0,1Lyxyx x 12 11 2 2 00 ddd1 1 d12d L LL xsxsxsxxxxx 1 1 113 2 222 2 00 0 0 121 225 51 2d14d 1414 828 321212 x xxxxx 2，其中为星形线在第一象限内的弧 44 33 d L xys L 33 cos,sinxat yat
2、0 2 t 解：为L 33 cos,sin,0, 2 xat yat t 22 3 cossin ,3 sincos ,3 sin cos dxdy attatt dsattdt dtdt 原式 47 22 4422 33 00 31 cossin3 sin cos1sin 2sin2 22 attattdtattdt 7772 2 23 333 0 0 331 1 cos 2cos2cos2cos 2 883 at dtatta 3计算，其中折线 ABC，这里 A，B，C 依次为点dxyz s )3 , 4 , 1 (),3 , 2 , 1 (),0 , 0 , 0( 解：:,2 ,3 ,0
3、,1 ,14 123 xyz ABxt yt zt tdsdt :1,3,2,4 ,BC xzyt tdsdt :,4 ,3 ,0,1 ,26 143 xyz CAxt yt zt tdsdt 14 02 3 ddd2 314131418 2 ABBC xyz sxyz sxyz stttdttdt 高等数学同步作业册 2 院 系 班级 姓 名 作业编号 3 4，其中为螺线上相应于 从变到 22 dxyz s cos ,sin ,xtt ytt zt t0 的一段弧1 解：为 2 cos ,sin ,0,1 ,2xtt ytt zt tdst dt 11 2222222 00 1 d2(22)
4、 22 2 xyz sttt dttt d t 1 53 22 22 0 1 229 34 26 34 28 23 222 2 5353155 tt 5计算，其中 L： 22d L xys A 0, 22 aaxyx 解：将 L 参数化， 22 cos ,sincos ,cos ,cos,xrt yrtrart rat xat cos sin ,sin2,cos2, 2 2 yatt tdxatdt dyatdt dsadt 22 22222222 0 0 2 dcos2cos2sin2 L xysatadtatdtata A 6计算，其中 L 为圆周，直线及轴在第一象限 22 ed xy L
5、 s A 222 ayxxy x 内所围成的扇形的整个边界 解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分 12 :0,0,;:sin ,cos ,0,; 4 Lyxadsdx Lxat yat tdsadt 2123 2 :,0,2; 2 a Lyx xdsdt LLLL 从而 22 2 422 2 22 0 0 000 ed2 4 a a a a xyxaxxax L a se dxeadtedxeee A 1122 44 aaaaa aa eeeee 高等数学同步作业册 4 作业作业 14 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 1计算下列第二型曲线积分： (1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；d
6、d L xyxxyy A L 22 22 1 xy ab 解：为Lcos ,sin , :02xat ybt t 原式 2 0 sincossincoscossinat atbtbt atbtdt 2 2 2222 0 0 sin2 cos2sin2cos20 224 ababtab abtt dtt (2) ，其中是从点到点的一段直线；dd1 dx xy yxyz 1,1,12,3,4 解：是 111, 1,12 ,1 3 , :01 2 13 14 1 xyz xt yt zt t 原式 1 0 12 123 1121ttttdt 1 1 2 0 0 6 146713t dttt (3)，
7、其中是圆柱螺线从到 dddy xx yz 2cos ,2sin ,3 xt yt zt0t 的一段弧；2t 解：是2cos ,2sin ,3 , :02xt yt zt t 原式 2 0 2sin2sin2cos2cos3ttttdt 2 2 0 0 432dtt (4) 计算曲线积分,其中为由点 A (-1, 1)沿抛物线(12e )d(cose )d yy L xyxyxy L 到点 O (0, 0), 再沿 x 轴到点 B (2, 0)的弧段 2 yx 解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分 ； 2 :, : 10AO yxx :0, :02OB yx 院 系 班级 姓 名 作业编号
8、 5 原式 22 02 220 10 (12e )d(cose )2 dx(e )d xx xxxxxxx 22 02 322 10 (12e2 cos2e )dd xx xxxxxx 222 00 00 42 11 11 3sine dde21 sin1sin11 xxx xxxxxee 2 设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为Fy 的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功m 2 1xy1,00,1F 解： 222 0, 10,:1,:01Fxxdsdx dyL xyy 1 1 35 224 0 0 28 1 2 3515 LL yy WFdsxdyyydyy 3
9、把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中 ,d,d L P x yxQ x yy L 为： (1) 在平面内沿直线从点到点；xOy0,0 1,1 (2) 沿抛物线从点到点 2 yx0,0 1,1 解：（1） 2 :, :01,0;1 12L yx xdxdsdxdx , ,d,d,dds 2 LLL P x xQ x x P x yxQ x yyP x xQ x xx （2） 22 :, :01,0;14L yxxdxdsx dx 22 2 ,2, ,d,d,2,dds 14 LLL P x xxQ x x P x yxQ x yyP x xxQ x xx x 高等数学同步作业册 6 作业
10、作业 15 格林公式及其应用格林公式及其应用 1填空题 (1) 设是三顶点(0, 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向边界, L 12 (24)d(536)d L xyxyxy A (2) 设曲线是以为顶点的正方形边界，L) 1, 0(),0 , 1(),1 , 0(),0 , 1 (DCBA 不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_ dd L xy xy A （3）相应于曲线积分的第一型的曲线( , , )d( , , )d( , , )d L P x y zxQ x y zyR x y zz 积分是 其中为从点(1, 1 ,1)到点(1, 2, 3)的直线 ( ,
11、 , )3 ( , , ) ds 5 L P x y zR x y z L 段 2计算,其中 L 是沿半圆周 33 (e sin)d(e cos)d xx L Iyyxyxy 从点到点的弧 22 xay ), 0(aA), 0(aB 解：L 加上构成区域边界的负向:0, :BA xx aa 3322 (e sin)d(e cos)d3cos a xx L Da Iyyxyxyxydydy 3 42 3 0 2 3 3cos2sin 4 aa a a dr drydya 3计算,其中为椭圆e31 de33 d xyxy L yxyxxxyy A L 正向一周 22 22 1 xy ab 解：原式
12、e33e31 xyxy D xxyyxydxdy xy 44 D dxdyab 院 系 班级 姓 名 作业编号 7 4计算曲线积分 其中为连续( )sind( )cosd , L Ifxy xf xyxy )(x f 函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点L 222 (1)()1xy (2,2)A 的一段弧)0 , 0(O 解：令 1: , :02Lyx x 则，原式 111 ( )sind( )cosd L LLL D Idxdyfxy xf xyxy 2 22 0 1( )sin( )cosd 2 fxxf xxxx 2 224 2222 0 3 1( )sin12 22222 x f xx
13、5计算,其中为 22 dd L x yy x xy A L （1）圆周（按反时针方向） ； 22 111xy 解：，而且原点不在 2222 222222 2222 2xxyxxyxy xxyyxy xyxy 该圆域内部，从而由格林公式，原式0 （2）闭曲线（按反时针方向） 1xy 解：，但所围区域内 2222 222222 2222 2xxyxxyxy xxyyxy xyxy 部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周 （也按反时针方向） ，在圆环域上用格林公式得， 22 0.01xy 1 L 原式 11 22 dddd 1001 12 0.01 LL D x yy xx yy
14、 x dxdy xy AA 6证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：xOy （1）； , 0,0 ecos dsin d a b x y xy y 解：由于在全平面连续，从而该曲线积e sine sine cos xxx yyy xy 分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，xOy0,00,ba b 高等数学同步作业册 8 原式 00 sine cos dcos11 coscos1 ba xaa y dyb xbebeb （2）； 2,1 423 1,0 23 d4dxyyxxxyy 解：由于在全平面连续，从而该曲 2334 42423xxyxyxyy xy 线积分在平面内与路径无关
15、，沿直线积分也xOy 10 ,1, :12 2 11 0 xy yxx 可， 原式 2 43 2 1 211341dx xxxx xx 2 43 2 1 3235141dxxxxx 2 54 32 1 3115xxxxx （3） ,2 0,0 e cosde sind yy xmxxmyy 解：由于在全平面连续，从而该e sine cose cos yyy xmyxxm xy 曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，xOy0,0,0,2 原式 2 0 00 cose sind y exm dxmyy 2 2 0 0 sin 2 my xmx 2mm 7设在上具有连续导数，计算 f x, ，
16、 2 2 2 1 d1 d L y f xyx xy f xyy yy 其中 L 为从点到点的直线段 2 3, 3 1,2 解：由于在 2 2 22 11 1 y f xyx y f xyf xyxyfxy xyyyy 右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线 院 系 班级 姓 名 作业编号 9 积分即可， 1 2 :2, :31Lxyyx x 原式 2 1 2 22 3 2 421 12 2d d 2 2 xf f x x x x x x x 1 3 xdx 1 2 3 2 x 1 9 4 2 8验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求,d,dP x yxQ x yyxO
17、y 出它的一个原函数： （1）；eede1 ed xyxy xyxxy 解：由于在全平面连续，从而e1 eee xyxyxy xeexy xy 该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，xOy,u x y 则,e1 e ,ee xyxy uuuu dudxdyxxy xyyx 从而 e1 ee1 e xyxy uxdyyxg x eeee= e xyxyx u xyygxgxx x ， =ex xxxx g xxdxee dxxeec 1 e1 e xy uxyxc （2）； 2232 38d812 ed y x yxyxxx yyy 解：由于在全平面连续， 32222 812 e3
18、1638 y xx yyxxyx yxy xy 从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，xOy,u x y 则原式 322322 4d412 e d y ydxyxx dyx dyyy 332222 4d412 deyydxx dyyxx dydy 322 41212e d yy d yxdx ydyey 322 41212e yy d yxx yye 可取 322 41212e yy uyxx yye （3） 22 2 coscosd2 sinsindxyyxxyxxyy 解：可取折线作曲线积分0,0,0,xx y 高等数学同步作业册 10 222 00 2d2 sinsin
19、dsincos yx uxxyxxyyyxxy 9设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力 2, 28Xxy Yxy 场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关 证：， 2,2 8Fxyxy 质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为L 2 28 L wxydxxydy 由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时， 2 282xyyxy xy 场力所作的功与路径无关 院 系 班级 姓 名 作业编号 11 作业作业 16 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 1计算下列对面积的曲面积分： (1) ,其中为锥面被柱面所截得()dxyyzzxS 22 zxy 22 2xyax 的有限部分；
20、 解：为 22 2222 , xy xy zxyzz xyxy ， 22 12 xy dSzz dxdydxdy:02 cos , 22 Dra 原式 2 cos 2 223 0 2 d2d d = 2cos a D zx Sx xyx ydrdr 4 422 424 0 2 2 cos64 2 = 2cos=8 21 2sinsinsin 415 aa dad （2）,其中为球面 222 dxyzS 222 2xyzax 解：为两块 222 222222 , yy yz xaayzxx ayzayz ， 22 222 1 xy a dSzz dxdydxdy ayz :0,02Dra 原式
21、12 2222 222 2 2d2d D aaayz ax Sax Sdxdy ayz 2222 222 2 D aaayz dxdy ayz 2 33 22222 00 2 4=4 2 a D dxdyrdr aad ayzar 22 33224 22 0 0 =888 2 a ad ar aaara ar 2计算，是平面被圆柱面截出的有限部分dy S 4zyx1 22 yx 解：为两块，4,1,1 xy zxy zz 1 1 13dSdxdydxdy :01,02Dr 高等数学同步作业册 12 原式3 D ydxdy 1 2 3 2 2 0 00 0 3sin3cos0 3 a r dr
22、dr （或由，而积分微元反号推出）, ,x y zxy z 3求球面含在圆柱面内部的那部分面积 2222 azyxaxyx 22 解：为两块 222 222222 , xy xy zaxyzz axyaxy ， 22 222 1 xy a dSzz dxdydxdy ayz :0,02Dra 原式 12 222 d2 D adxdy SdS axy cos 2 22 0 2 2 =2 2 a rdr ad ar cos 22 22 22 00 2 2 =2=4sin4124 2 2 a rdr adaaadaa ar 4设圆锥面 ,其质量均匀分布, 22 h zxy a ah为圆锥面的底面半径
23、，为高 求它的重心位置 解：设密度为单位 1，由对称性可设重点坐标为 0 0,0,z 222 2222 22 1 DD hhh ah zdSxydxdyxy dxdy aaa 2 2222 2 2 00 2 3 a h ahah ah dr dr a 222 2 1 DD hah dSdxdydxdy aa 2 22 22 00 a ah drdra ah a ，故重点坐标为 22 0 22 22 3 3 ah ahh z a ah 2 0,0, 3 h 5求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变 22 1 2 zxy01zz 更 解： 2222 1 1 2 D mdSxyxydxdy 22 3
24、2 00 1 1 2 drrdr 院 系 班级 姓 名 作业编号 13 2 2 53 22 00 224 32 (1 1)111 22 53515 ttdttt 高等数学同步作业册 14 作业作业 17 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 1，其中是柱面被平面及所d dd dd dz x yx y zy z x 22 1xy0z 3z 截得的在第一卦限内的部分前侧 解： 2 2 1,:01,03,cos0,0 1 yzyz y xyDyzxx y 原式= 22 d dd dd d01d d1d d yzzx DD z x yx y zy z xyy zxz x 131 222 000 3 21d
25、 d2161 2 yz D yy zdyy dzy dz 2计算曲面积分，其中为旋转抛物面下 2 ()d dd dzxy zz x y 22 1 () 2 zxy 侧介于平面及之间的部分0z 2z 解： 2222 1 (),:4; 2 xyxy zxyzx zy Dxy 2 2,:02,22 . yz xzyDzzyz 原式= 11 22 ()d d()d dd dzxy zzxy zz x y 222222 1 2d d2d d()d d 2 yzyzzx DDD zzyy zzzyy zxyz x 2222 22223 0002 11 22d d()d d22 22 yzzx z DDz
26、zyy zxyz xdzzy dydr dr 22 4 2 32 0 00 22 28 24 z dzr drz 3计算 d dd dd dxy y zyz z xxz x y A 其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面1, 0, 0, 0zyxzyx 的外侧 解：分片积分。 123 :0,cos0;:cos0,0;:0,cos0;xyz 4 1 :1,coscoscos0 3 zxy 院 系 班级 姓 名 作业编号 15 原式=（由轮换对称性） 12344 00031d d yz D yz y y z 1 234 111 000 0 11131 313 22348 y yyy dyyyz
27、dzydy 4把对坐标的曲面积分 ( , , )d d( , , )d d( , , )d dP x y zy zQ x y zz xR x y zx y 化为对面积的曲面积分： （1）是平面在第一卦限的部分的上侧；322 36xyz （2）是抛物面在面上方的部分的上侧 22 8()zxy 解：（1） 3 2 2 3 cos0,3,2,2 3 , 5 55 nn 原式= 3 ( , , )2 ( , , )2 3 ( , , ) dS 5 P x y zQ x y zR x y z （2） 22 2 ,2 ,1 cos0,2 ,2 ,1 , 144 xy nxyn xy 原式= 22 2( ,
28、 , )2( , , )( , , ) dS 144 xP x y zyQ x y zR x y z xy 5计算曲面积分,其中为旋转抛物面 2 ()d dd dIzxy zz x y 下侧介于平面 z=0 及 z=2 之间的部分 22 1 () 2 zxy 解： 22 22 , , 1 cos0, , 1 ,:4 1 x y nx ynD xy xy 原式=（两类曲面积分的互化） 2 22 22 ()() dS()1 d d 1 x zxz xzxzx y xy （第二类曲面积分投影法计算） 222222 11 ()()1 d d 42 xy D xxyxxyx y 高等数学同步作业册 16
29、 （用了重积分的对称性） 22 ()d d xy D xyx y 22 4 3 00 2 28 4 dr dr 6 已知速度场，求流体在单位时间内通过上半锥面( , , ), ,v x y zx y z 与平面所围成锥体表面向外流出的流量 22 zxy1z 解： 2222 1 2222 :,cos0, 1 ,:4 xy zxynD xy xyxy 同样。 2222 1 , 1 ; 2 xy n xyxy 2: 1,cos0,0,0,1 ,znD 1212 d dd dd dd dd dd dd dx y zy z xz x yx y zy z xz x yx y 11 222222 22 dS
30、dS 222 2 xyxyxyz xy 院 系 班级 姓 名 作业编号 17 作业作业 18 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式 1利用高斯公式计算曲面积分： (1) ，其中是平面，及 222 d dd dd dxy zyz xzx y A 0 x 0y 0z 所围成的立体的表面外侧；1xyz 解：原式 2 11 00 1 222666 2 z D z xyz dvzdvzdzdxdyzdz 1 1 2334 00 11111 31131103 34344 zzdzzz （2），其中为柱面及平面，()d d()d dx yzy zxyx y A 22 1xy0z 所围成的立体的表面外
31、侧；3z 解：原式 33 2 00 01 z D yzdvzdvzdzdxdyzdz 3 2 0 19 22 z (3) 计算 , 2 (81) d d2(1)d d4d dyx y zyz xyz x y 其中，是由曲面绕 y 轴旋转一周所成的曲面,它的法向 1(1 3) 0 zy y x 量与 y 轴正向的夹角恒大于 2 解：加上右侧，构成封闭区域的外侧。 22 1: 3,2yxz 原式 1111 3 1 ( 16)16 y DD dvdzdxdydzdxdzdx 3 2 1 1 13234 2 y 高等数学同步作业册 18 2设函数有一阶连续导数，利用高斯公式计算曲面积分( )f ，式中
32、是 22223 211 ()d d()d d()d d 3 If xyy zf xyz xx zy zzx y yx 下半球面的上侧 222 1(0)xyzz 解：加上下侧，构成封闭区域的内侧。 22 1: 0,1zxy 原式 11 21 2224 000 0sinxyzdvddd 1 5 0 0 14 2cos 55 3利用斯托克斯公式计算曲面积分： （1） 式中是圆周，从轴正向看去, 2 3 ddd ,y xxz yyzz A 22 2 2 xyz z Oz 取逆时针方向 解：原式 111 2 2 35520 z D zdxdyzx dydzdxdydxdy （2），其中为圆周,从d3 d
33、2 dy xz yx z A 222 4xyz0 xyz 轴的正向看去， 取逆时针方向 Oy 解：原式 1 2 1 326 0 1030228 3 33 dxdydydzdzdxdxdy 院 系 班级 姓 名 作业编号 19 作业作业 19 场论初步场论初步 1求下列向量场通过曲面指定一侧的通量：A （1），为由平面与，所zyxAijk632zyx0 x0y0z 围成立体的表面，流向外侧； 解： 1 d dd dd d0 1 03 2 66 6 z y zy z xx x ydv （2），为以点(3,-1,2)为球心，半径 2 23y2xyxzyzAijk 的球面，流向外侧3R 解： 2 23
34、d dd d2d d2 12xyy zxzyz xyzx ydv 3 4 33108 3 2 求向量场沿闭曲线的环流量(从 z 轴正向看 32 ()()3Axz ixyz jxy k 依逆时针的方向),其中为圆周 22 2,2zxyz 解： 32 dd3dzAdlxzxxyzyxy AA 2 222 6d d1 3d d30 d d3d d z xyyy zyz xxx yxx y 24 2234 00 331 d d34192 224 xyx ydr dr 3求向量场在点 M (1, -1, 2)处的散度和旋度 22 4,Axyzxyx yz 解： 2 42,82 17 M divAyzxy
35、x y divA 22 ,42,4,2,0, 9 M rotAx zxyxyzyxyCrotA 4证明向量场为平面调和场，并求势函数2 , 2Ayx 解：由于 220,0,0,220,divAyxrotAxy xyxy 因此是无源场且为无旋场从而为调和场A 高等数学同步作业册 20 由为势函数 2 ,22,0,2 xy uy uxuxyg ygyuxyc 5验证下列向量场为保守场，并求其势函数：A （1）；yzzxxyAijk 解：由于 ,0,rotAxyzxyzxyzxyz yzzxxy 因此为无旋场从而为有势场A 由 ,0,0 xyzy uyz uzx uxyuxyzg y zguxyzh
36、 zh 为势函数uxyzc （2） 2226xyxzyzAijk 解：由于 26222622 ,0, yzxzxyyzxzxy rotA yzzxxy 因此为无旋场从而为有势场A 由 2 2,2 ,26,2 , xyzy uxy uxz uyzuxxyg y zgz 为势函数 2 2,6uxxyyzh zhz 22 23uxxyyzzc 6设具有二阶连续偏导数，计算zyxuu,urot grad 解：由于 uuu u, xyz grad 从而 urot grad, uuuuuu yzzyzxxzxyyx 222222 , uuuuuu y zz yz xx zx yy x 由于具有二阶连续偏导
37、数，从而zyxuu,0u rot grad 院 系 班级 姓 名 作业编号 21 第九章第九章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分测试题测试题 1填空题 （1）对坐标的曲线积分化成第一类曲线积分是dddP xQ yR z ，其中为有向曲线弧在点处coscoscosdsPQ , ( , , )x y z 的 切向量 的方向角； （2）设为取正向的圆周则曲线积分L9 22 yx ； 2 (22 )d(4 )d L xyyxxxy A 18 （3）设曲线积分.与积分路径无关，其中( )esin d( )cos d x L f xy xf xy y 一阶连续可导，且，则；)(xf0)0(f)(xf 2
38、 xx ee （4）=_0_，其中为单位球面 222 ()d d()d d()d dyzy zxzz xyxx y 的外侧；1 222 zyx （5）设，则 0 ， 22 e sin(2) x Ayxyzxzyijk (1,0,1) div |A (1,0,1) rot |A1,0, 1 2计算下列曲线积分： （1）计算，其中为球面与平面的相交部 2d L zs A L 2222 xyza0 xyz 分0a 解：由轮换对称性 2222222 11 ddddd 33 LLLLL zsxsysxyzsas AAAAA 22 3 2 d2 333 L aa saa A （2），其中是， 222 d
39、L y s xyz L 2222 22 4 2 xyza xyax 0,0za 解：用球坐标表达是L 2222 22 4 2 ,cossin 2 xyza a xyax 2 2 cos,2 sincos ,2 sin ,0,xayaza 高等数学同步作业册 22 原式 0 2 2 2 01 2 d2sincos1 cos12 21 43 L y sdtdt a （3）其中为椭圆由点经点到点 2 (2)d , L xxyy L, 1 2 2 2 2 b y a x ) 0 , (aA), 0(bC 的弧段；) 0 , ( aB 解：参数表达是Lcos ,sin ,:0 xayb 原式 22 0
40、(cos2sincos ) cosaabbd 222222 00 24 1 sinsin2coscos01 1 33 a bdabdabab （4），其中是与 222 d()d()d L x y xxyyxyzz A L11 222 zyx 的交线，其方向与轴正向成右手系；1 22 yxzz 解：参数表达是L2cos ,2sin ,3 :02xyz 原式 22 22 00 cos41 ( 4sincos2 2cos )(2 2cos ) 2 dd （5），其中为上半圆周(e sin2 )d(e cos2)d xx L yyxyy L ，沿逆时针方向； 222 (),0 xayay 解：加上形成
41、半圆区域的正向边界 1: 0, :02Lyxa 原式 22 2 (e sin2 )d(e cos2)d20 xx L LL D yyxyyda （6），其中是以点为定点， dd | L xy xy A L(1,0)A(0,1)B( 1,0)C 的正方形的整个边界（取正向） (0, 1)D 解：正向:1Lxy 原式dd00 LD xyd 院 系 班级 姓 名 作业编号 23 3计算下列曲面积分： （1）,为锥面介于之间的部分 22 e d z S xy 22 zxy12z 解：原式 22 22 2 22 01 ee 2d =22 2 xyr D drdree r xy （2）计算 2222 2
42、22 d , xyzR S hR xyzh 其中 解：为两片 222 zRxy 222222 , x xRd zdS RxyRxy 令 22222 22 , rdr tRxyRrdt Rr 原式 2222222 11 22 D Rd RhhtRhhtRxy 2 22222 00 11 22 R Rrdr d RhhtRhhtRr 2222 0 112 2 22 R R RdtRhRh h RhhtRhht （3）其中错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。是上半球面d d2d d ,yz z xx y 的上侧； 22 4yxz 解：为 2222 222 , , 4,
43、cos0;:4, x y z zxyD xyn xyz 原式 2 cos 2 cos2 cos yzdSydxdy 22 2223 00 11 28812 22 D ydxdyxy dxdydr dr （4），其中为锥面 222 ()d d()d d()d dyzy zzxz xxyx y 22 zxy 的外侧；(0)zh 高等数学同步作业册 24 解：加上上侧，构成封闭区域的外侧。 222 1: ,zh xyh 原式 111 22 0000 D dvxy dxdyxy dxdy 2 22234 00 11 0 224 h D D xy dxdyxy dxdydr drh （5），其中是圆周，
44、若正对着轴正 2 2 d3 ddy xx yzz A 222 9 0 xyz z Oz 向看去，取逆时针方向； 解：由 STOCHS 公式，原式9 D dxdydxdy （6），其中是曲线绕轴旋转所得d dd dd dx y zy z xz x y ) 1( , 0 2 z x yz z 旋转曲面的上侧 解：加上下侧，构成封闭区域的内侧。 22 1: 1,1zxy 原式 2 111 211 00 1 1 131 D r dvdxdydrdr dzdxdy 1 1 24 2 0 0 616 242 rr rrdr 4设曲线积分与路径无关，其中，且 2d ( )d L xyxyxy 0)0( 求
45、(1,1) 2 (0,0) d( )dxyxyxy 解：曲线积分与路径无关，连续可导 2d ( )d L xyxyxy )(x 从而，又 2 2( ),( )2 , ( ),xyyxxxxxc 2 (0)00, ( )cxx 故 1,1 22 (1,1)(1,1)(1,1) 222 (0,0)(0,0)(0,0) 0,0 1 d( )ddd 22 x y xyxyxyxyxyxyd 5设具有连续的导数，且使表达式是( )f x(0)0f e( ) d( )d x xf x y xf xy 某函数的全微分，求，并求一个( , )x y( )f x( , )x y 解：由已知，是某函数的全微分， e( ) d( )d x xf x y xf xy( , )x y 从而，e( )( ),e