宁波中考数学第一轮复习第十讲：图形变换.docx

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1、第十讲：图形变换知识梳理知识点 1、平移变换重点：掌握平移的概念及性质难点：平移性质的运用1. 平移的概念：平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离， 这种图形变换称为平移注：平移变换的两个要素：移动的方向、距离2. 平移变换的性质（ 1）平移前后的图形全等即：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小：（ 2）对应线段平行（或共线）且相等；（ 3）对应点所连的线段平行（或共线）且相等如图所示，且共线，且3. 用坐标表示平移：（ 1）在平面直角坐标系中，将点：向右或向左平移a 个单位点或向上或向下平移b 个单位点或（ 2）对一个图形进行平移，相当于将图形上的各个点的横纵坐标都按（1）中的方式

2、作出改变例 1.下列各组图形，可经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是（）A.B.C.D.解题思路： 根据平移的概念可知，平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置 选项 B 的两个图形不是全等形；选项C、 D中两个图形的方向发生了改变解答： 选 A例 2如图 1，修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分作为耕地，若要使耕地的面1积为 540 米 2，则道路的宽应是米？20m20-x32m图 132解题思路： 尝试把道路平移一下，化不规则图形为有序规则图形，问题就迎刃而解了解答： 将横向道路位置平移至最下方，将纵向道路位置平移至最左方，设道路宽为x 米，则有32 x (20 x)x32 20

3、 540 ，整理，得x252 x 1000 ， ( x 50)( x2)0 ， x1 50（不合题意，舍去） ， x22道路宽应为2 米练习：如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，若每个小长方形的面积都是1，则图中阴影部分的面积是答案为 5知识点 2、轴对称变换重点：掌握轴对称的概念及性质难点：轴对称的性质的运用1. 轴对称的概念： 把一个图形沿一条直线翻折过去， 如果它能够与另一个图形重合， 那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称 这条直线就是对称轴 两个图形中的对应点 （即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点如图所示，关于直线 l 对称， l 为对称轴2. 轴对称图形： 把一个图形沿

4、一条直线对折， 对折的两部分能够完全重合， 那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴2一个图形的对称轴可以有1 条，也可以有多条3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别联系轴对称轴对称是指两个图形的对称关系把轴对称的两个图形看成一个“整体”（一个图形），则称为轴对称图形；把轴对称图形轴对称轴对称图形是指具有某种对称特性的的互相对称的两个部分看成图形一个图形“两个图形”，则它们成轴对称4. 轴对称的性质：（ 1）关于某条直线对称的两个图形全等；（ 2）对称点的连线段被对称轴垂直平分；（ 3）对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上；（ 4）轴对称图形的重心在对称轴上

5、如图被直线 l 垂直平分5. 轴对称变换的作图：举例说明：已知四边形 ABCD和直线 l ，求作四边形 ABCD关于直线 l 的对称图形作法：（ 1）过点 A 作l 于 E，延长 AE到 A，使，则得到点A的对称点；（2）同理作B、 C、D 的对称点；（ 3）顺次连结则四边形为四边形ABCD关于直线l 的对称图形6. 用坐标表示轴对称：点关于 x 轴对称的点为；点关于 y 轴对称的点为；3点关于直线的对称点为；点关于直线的对称点为；点关于直线的对称点为点关于直线的对称点为例 1.下列图形中，是轴对称图形的为（）A .B.C.D.解题思路： 根据定义，如果一个图形是轴对称图形，那么沿对称轴折叠后

6、两部分应该能完全重合； 或者根据轴对称的性质， 对称点的连线段应该被对称轴垂直平分 所以解决此题的关键是看能否找到满足上述条件的对称轴解答： 选 D例 2.如图所示，关于直线l对称，将向右平移得到由此得出下列判断：；其中正确的是（）A. B. C.D.解题思路： 由于是从平移得来的，故，但与关于 l 成轴对称，不一定有，故不一定正确；平移和轴对称变换都是全等变换，故和正确解答： 选 B练习 1.如图所示， 半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点O，其直径 CD、EF 均和 x 轴垂直， 以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、 E 和点 D、 F，则图中阴影部分的面积是_42.已知 AOB 3

7、0，点 P 在 AOB内部，与 P 关于 OB对称，与 P 关于 OA对称，则等于（）A. 45 B. 50 C. 60 D. 70 答案： 1.2. 60 知识点 3、旋转变换重点：掌握旋转的概念及性质难点：旋转的性质的运用1. 旋转变换的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点 O沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定的角度， 这样的图形变换叫做旋转 这个定点 O叫旋转中心， 转动的角称为旋转角注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角2. 旋转变换的性质：（ 1）旋转前、后的图形全等（ 2）对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上）（ 3）对应点与旋转中心

8、所连线段的夹角等于旋转角3. 旋转变换的作图：（ 1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；（ 2）找出能确定图形的关键点；（ 3）连结 图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此关键点的对应点；（ 4）按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形5.旋转对称性：如果某图形绕着某一定点转动一定角度（小于360）后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形6. 中心对称：把一个图形绕着某个定点旋转180，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称 这个定点叫做对称中心， 两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点7. 中心对称的性质：5中

9、心对称是一种特殊的旋转，因此，它具有旋转的一切性质，另外，还有自己特殊的性质（ 1）关于中心对称的两个图形全等；（ 2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（即：对称中心是两个对称点连线的中点）；（ 3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）；（ 4）中心对称图形的重心在其对称中心；且过对称中心的直线平分该图形的面积如 图 所 示 ， 若关 于 点O 中 心 对 称 ， 则 对 称 中 心O 是 线 段共同的中点，且，且；反过来，若线段都经过点O 且 O是它们的中点，那么关于点 O中心对称8. 中心对称的作图：以上图为例，作关于点 O的对称图形：（ 1

10、）找出能确定原图形的关键点，如顶点A、 B、 C；（ 2）分别作出原图形的关键点的对称点如：连结AO，并在AO 的延长 线上截取，则点 A为点 A 关于点 O的对称点；（ 3）按原图形的连结方式顺次连结各关键点的对应点，即点所得的图形即为求作的对称图形9.中心对称图形：一个图形绕着一个定点旋转180后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形这个定点叫做该图形的对称中心中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形（旋转角等于180）10. 中心对称与中心对称图形的区别与联系区别联系中心对称是指两个图形的对称把中心对称的两个图形看成一个“整中心对称关系体”（一个图形），则称为中心对称图形；把中心对称图形的互

11、相对称的中心对称图中心对称图形是指具有某种对两个部分看成“两个图形”，则它们形称特性的一个图形成中心对称11. 关于原点对称的点的坐标6点关于原点对称的点的坐标为例 1.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，构成的图形是中心对称图形（ 1）画出此中心对称图形的对称中心；（ 2）画出将沿直线 DE方向向上平移5 格得到的；（ 3）要使重合，则绕点顺时针方向旋转；至少要旋转多少度？（不要求证明）解题思路： （ 1）在中心对称的问题中，可根据“对称中心为对称点连线段的中点”来确定对称中心；（ 3）可根据“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”来确定旋转角的大小 画出图形后， 可以看出，

12、 点与点是旋转变换的一组对应点，则等于旋转角解答（ 1）如图，画出对称中心点O（ 2）画出（ 3）至少需要旋转907例 2 . 如图所示，是绕某点逆时针旋转后得到的图形，请确定旋转中心，并测量出旋转角的大小解题思路： 可根据旋转变换中对应点与旋转中心的特殊位置关系来确定旋转中心解答： 如图，连结、，分别作和的垂直平分线，交于点O则点 O即为旋转中心连结、，测量得， 故旋转角等于练习 1.如图所示，均为等腰直角三角形， BAF EAC 90，那么以点 A 为旋转中心逆时针旋转90之后与 _ 重合，其中点 F 与点 _对应，点 C 与点 _对应2. 如图两个全等的正六边形 ABCDEF， PQRS

13、TU，其中点 P 位于正六边形 ABCDEF的中心，如果它们的面积均为3，那么阴影部分的面积是（）答案： 1.， B， E 2.1知识点 4、位似变换重点：掌握位似的概念及性质难点：位似的性质的运用（ 1）如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心8（ 2）如果两图形F 与是位似图形，它们的位似中心是点O，相似比为k，那么：设 A 与是一双对应点，则直线过位似中心O点，并且设 A 与，B 与是任意两双对应点，则；若直线 AB、不通过位似中心 O，则（ 3）利用位似，可以将一个图形放大或缩小（ 4）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为

14、位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或例 已知等边ABC ，画一个与之相似且它们的相似比为2 的A B C 。解题思路： 已知一个等边 ABC ，要求画一个三 角形，使这两个三角形相似，并且相似比为 2。根据题意可知，已知三角形与要画的三角形之间的边的比值是不确定的，即题中没有说明是原三角形与新三角形相似，还是新三角形与原三角形相似，这样形成的对应边的关系有两种，因此是不确定的，再者由于有相似比的值 2，那么要画的三角形边与原三角形的边是对应边， 要满足比值为 2 的情况也有两种， 而实现这两种情况只能借助位似形的知识。根据位似形的知识可知，位似中心存在的情况有两种，即在

15、已知图形内或已知图形外，它们都可以实现放大或缩小的作用。解： 如图 1，当设位似中心在ABC 的形内时，取内心O作为位似中心。（ 1）在 AO、 BO、 CO上 分别取中点A 、B 、 C，连结 AB、 BC、 AC，则ABC A B C ，且有 A B ： AB1： 2 ；（ 2）取C 的内心 O，连接 OA、 OB、 OC 且延长，使 AA AO ， B BBO ，C C CO ，连结 A B 、 B C 、 C A ，则有 ABC A B C ，且 AB ：A B1： 2 。9如图 2，设位似中心在BC 的外部时（ 1）在ABC 外任取一点O，过O 点作射线OA、 OB、 OC，并截取A

16、A OA ，cCOC，B BBO，连结 A B 、B C 、C A ，则可证ABC A B C ， 且AB ： A B1：2 。（ 2）在C 外任取一点，过O 作直线OA， OB， OC，在OA、 OB、 OC 的另一侧取A ，B ， C ，使 A O1 AO ， B O 1 OB ，C O 1 OC 。连结 A B 、 BC 、C A ，222则可证ABC A B C ，且 A B ：AB1：2 。练习下列说法正确的是（）A 分别在 ABC的边 AB、AC的反向延长线上取点 D、E，使 DEBC，?则 ADE?是 ABC放大后的图形；B 两个位似图形的面积比等于位似比；C 位似多边形中对应对

17、角线之比等于位似比；D 位似图形的周长之比等于位似比的平方答案： C最新考题中考要求及命题趋势1 理解轴对称及轴对称图形的联系和区别；2 掌握轴对称的性质；根据要求正确地作出轴对称图形。3 理解图形的平移性质；4 会 按要求画出平移图形；5 会利用平移进行图案设计。106 理解图形旋转的有关性质；7 掌握基本中心对称图形；8 会运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计2010 年将继续考查图形的轴对称，图形的平移，要求画出平移后图形，设计图案是考查的重点。图形的旋转的性质及应用是考试的重点。应试对策1 要掌握轴对称问题的特征及其规律，熟练掌握基本图形的轴对称性，能结合实际图形予以辨认轴对称图形

18、，并能按要求作图。2 要理解图形平移的性质，掌握平移图形图案设计，对实际中平移图形要后会灵活运用。3 要理解图形旋转的性质，掌握基本图形旋转形成过程，能运用轴对称、平移和旋转的有关知识进行图案设计。考查目标一、平移变换问题例 1(09.盐城 )在 55 方格纸中， 将图 1 中的图形N 平移后的位置如图2 中所示，那么正确的平移方法是().A. 先向下移动1 格，再向左移动1 格B. 先向下移动1 格，再向左移动2 格C. 先向下移动2 格，再向左移动1 格D. 先向下移动2 格，再向左移动2 格解题思路：利用方格很容易判断图形的平移过程，先向下平移2 格，再向左平移 1 格或先向左平移1 格

19、，再向下平移2 格均可 . 选 C.例 2(2009 扬州 ) 如图在 AOB中，AO=AB.在直角坐标系中， 点 A 的坐标是 (2,2) ，点 O的坐标是 (0,0) ，将 AOB平移得到 AOB， 使得点 A在 y 轴上 . 点 O、B在 x 轴上 . 则点 B的坐标是 _.11解题思路： AOB 是等腰三角形，容易得到B 点坐标为 (4,0) ，将 AOB平移得到AOB，使得点A在 y 轴上是将图形向左平移2 个单位长度 . 根据平移特点，平移后对应线段相等，因此点B 也向左平移2 个单位长度，所以点B的坐标为 (2,0).考查目标二、旋转变换问题例 1（ 08 徐州）如图所示，在图甲

20、中，RtOAB 绕其直角顶点O 每 次旋转 90，旋转三次得到右边的图形.在图乙中，四边形OAB 绕 O 点每次旋转120，旋转二次得到右边的图形 .下列图形中，不能通过上述方式得到的是().解题思路： (A) 、图 (B) 、图 (C) 都可以用一个基本图形绕中心旋转一定角度、一定次数得到，而图 (D) 不能由旋转得到 . 故选 (D).例 2 （ 09. 宿迁）如图 5 所示，把一个直角三角形尺ABC绕着 30角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 与 CB的延长线上的点E 重合 .(1) 三角尺旋转了多少度？(2) 连结 CD，试判断 CBD 的形状；(3) 求 BDC的度数 .解题思路： (

21、1) 顶点 A 顺时针旋转后与点 E重合，ABE和 CBD都等于旋转角 . ABC=30，所以 ABE=180 - 30=150，所以三角尺旋转了 150.12(2)BC 和 BD是对应边， BC=BD，所以 CBD是等腰三角形.(3) CBD是等腰三角形， CBD=150，所以.考查目标三、折叠问题例 1 如图 6，梯形纸片 ABCD，B=60，ADBC，AB=AD=2，BC=6.将纸片折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为AE，则 CE=_.解题思路：折叠后点B 与点 D 重合， BAE=DAE. B=60， BAE=60. ABE 是等边三角形 CE=CB-BE=6-2=4.例 2（ 09

22、 苏州）在矩形 ABCD 中，如图， AB3 ， BCA 重合，求折痕 EF 的长解题思路：连结CE ，则 CE = AEA设 AE =x ，则 DE =4 x在 Rt CDE中， CE 2DE 2DC 2所以 x2(4 x)232B解得25即 CE25x88在 Rt ABC 中， ACAB2AC 232425由题意知： AOAC5CO22所以，在 Rt CEO 中， EOCE 2CO 2158又因为AOE EOC所以，OE OF.BE=AB=2，4 ，将矩形折叠，使点C 与点EDOCF所以， EF2OE154综合练习 . ： 如图所示，直线分别与 x 轴、 y 轴交于 B、 A 两点13（

23、1）求 B、 A 两点的坐标；（ 2）把以直线 AB为轴翻折，点O落在平面上的点C 处，以 BC为一边作等边求 D点的坐标答案： （1）令，由，令点的坐标为， A 点的坐标为（0， 1）（ 2）由（ 1）知，过点 C作轴于 M，则在中，C 点坐标为连结 OC，为等边三角形过点 C作轴，并截取CE BC，则 BCE6014连结 BE，则为等边三角形作轴于 F，则点 D 的坐标为（ 0， 0）或15过关测试一、选择题1. 下列图形中，是中心对称图形的是-（）A.菱形B.等腰梯形C.等边三角形D.等腰直角三角形2下列图案中，不是中心对称图形的是（）ABCD3下列图案中，不是轴对称图形的是（）ABCD

24、4下列图形中，旋转600 后可以和原图形重合的是（）A.正六边形B.正五边形C.正方形D.正三角形5在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（）6下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）等边三角形正方形正六边形圆7下列轴对称图形中，对称轴的条数最少的图形是（）A圆B正六边形C正方形D等边三角形8下面四个图案中，是旋转对称图形的是（）9下列图案属于轴对称图形的是（）16ABCD10下列 形中，是 称 形但不是中心 称 形的是（）A. 正三角形B. 菱形C. 直角梯形D. 正六 形11下列 形中， 称 形的是（）12下列 形中既是 称 形又是中心 称 形的是（）正六 形

25、正五 形平行四 形等腰三角形二、填空 1如 1，小亮从 A 点出 ，沿直 前 10 米后向左 30，再沿直 前 10 米，又向左 30，照 走下去，他第一次回到出 地A 点 ，一共走了米。303030A图 1第8题图 22. 如 2 用等腰直角三角板画 AOB 45 ，并将三角板沿OB 方向平移到如 所示的虚 后 点 M 逆 方向旋 22 ， 三角板的斜 与射 OA 的 角为 _ 3. 如 3，已知 Rt ABC中， C=90 ， AC=4cm， BC=3cm， 将 ABC 行折叠，使 点A、B 重合， 折痕 DE=cm。4如 4，直角梯形 ABCD 中， AD BC ，ABBC ，AD2 ，

26、BC3， BCD 45，将 腰 CD 以 点 D 为 中心 逆 时 针 旋 转 90 至 ED ， 连 结 AE， CE ， 则 ADE 的 面 积是175如图5，在 22 的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 ABC ，请你找出格纸中所有与 ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有EADBC图 3（图 4）6如图 6，Rt ABC中， B 90， AB 3cm， AC 5cm，将 ABC折叠，使点 C 与 A 重合，得折痕 DE，则ABE的周长等于 _cm.三、解答题1. 如图 , 已知 O是坐标原点， B、C 两点的坐标分别为(3 ，-1) 、(2,1)个图 5（图 6）

27、(1) 以 0 点为位似中心在 y 轴的左侧将 OBC放大到两倍 ( 即新图与原图的相似比为 2) ，画出图形；(2) 分别写出 B、 C 两点的对应点 B、 C的坐标；(3) 如果 OBC内部一点 M的坐标为 (x ， y), 写出 M的对应点 M的坐标2如图是规格为8 8 的正方形网格, 请在所给网格中按下列要求操作： 请在网格中建立平面直角坐标系,使 A 点坐标为 ( 2， 4) ， B 点坐标为 ( ， 2) ； 在第二象限内的格点上画一点 C, 使点 C与线段 AB组成一个以AB为底的等腰三角形,且腰长是无理数 ,则 C点坐标是， ABC的周长是(结果保留根号 ) ； 画出 ABC

28、以点 C 为旋转中心、 旋转 180后的 ABC, 连结AB和 AB, 试说出四18边形 ABAB是何特殊四边形,并说明理由 .3. 在平面直角坐标系中，直线l 过点 M(3,0)，且平行于y 轴 .(1) 如果 ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-l,O),C(-1,2)， ABC关 于 y 轴 的对称图形是A1 B1 C1 ， A1 B1 C1 关 于 直线 l 的对称图形是A2 B2 C1 ， 写出 A2 B2 C1 的三个顶点的坐标；(2) 如果点 P 的 坐 标 是 (a ,0) ， 其 中 a0 ， 点 P关 于y 轴 的对称点是P ，点 P 关 于 直线 l 的对称点

29、是 P ，112求 PP2 的长 .194如图， ABC 中 A( 2，3) ， B(31)， ， C (1，2) y（1）将 ABC 向右平移 4 个单位长度，A画出平移后的 A1B1C1 ；CBOx（2）画出 ABC 关于 x 轴对称的 A2B2C2 ；（3）将 ABC 绕原点 O 旋转 180，画出旋转后的 A B C；333（ 4）在 A1 B1C1 ， A2 B2C2 ， A3B3 C3 中， _与 _成轴对称，对称轴是 _； _与 _成中心对称，对称中心的坐标是_5如图，在平面直角坐标系中，点A， B， C， P 的坐标分别为(0，2)，(3，2)，(2，3) (11)， （ 1）

30、请在图中画出 A B C ，使得 A B C 与 ABC 关于点 P 成中心对称；（ 2）若一个二次函数的图象经过（1）中 A B C 的三个顶点，求此二次函数的关系式yCABPOx（第 5 题图）6在平面内，先将一个多边形以点O 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ，并且原多边形上的任一点P ，它的对应点P 在线段 OP 或其延长线上；接着将所得多边形以点O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O( k，) ，其中点 O 叫做旋转相似中心，k 叫做相似比，叫做旋转角（1）填空：如图 1，将 ABC 以点 A 为旋转相似中心，放大为原来的2 倍，再逆时针旋转60 ，20得到 ADE ，这个旋转相似变换记为A （，）；如图 2， ABC 是边长为 1cm 的等边三角形，将它作旋转相似变换A(3，90 ) ，得到 ADE ，则线段 BD 的长为cm ；（2）如图 3，分别以锐角三角形ABC 的三边 AB ， BC ， CA 为边向外作正方形ADEB ，BFGC ，CHIA ，点 O1 ，O2 ，O3 分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用 AO1O2与 ABI ，CIB 与 CAO2 之间的关系， 运用旋转相似变换的知识说明线段O1O2 与 AO2之间的关系O1DO3EEO2BBD图 3