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1、吉林省汪清县第六中学2015 年高二上学期期末考试数学试卷姓名班级一、选择题（本大题包括12 小题，每小题 5 分，共60 分）（）1 已知 an 是等比数列， a2=2， a5=，则公比 q=AB 2C 2D（） 2.设数列 an 为等差数列，若 a1a3a13a15120，则a8A.60B.30C.20D.15（） 3.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1的底面ABC 中， A1C1CACB1，90 ， AA1 2 ，点 M 是 A1 B1 的中点，则BCAMB1异面直线 C1M 与 B1C 所成角的余弦值为35C.1010ACA.B.5D.6510B（） 4.中心在原点，焦点在 x 轴上
2、，长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三 等分的椭圆的方程是A. x2y21B.x2y218145819C. x2y21D. x2y2181728136（） 5不等式 3x1 1 的解集是2xA x|3 x 2B x|3 x 244C x|x 2 或 x 3D x|x 24（） 6.等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S1020, S20 30 ，则 S30A.35B.40C.45D.60（a(2 x1) dx3 ln 2 ，且 a 1，则 a 的值为） 7若x112i（） 8、复数i的虚部是A. 1B.1C . iD.i（） 9.2 1cosx dx 等于2A.B.2C.2D.2（
3、）10设 f( x) 是函数f ( x) 的导函数，将yf ( x) 和 yf (x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是。yyyyOxOxOxOxA1BCD（） 11.经过双曲线x2y 2 1( a0, b0) 的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的a2b2右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为A.3B.3C.2D.5（） 12.抛物线 y29x 与直线 2x3 y80 交于 A, B 两点，则线段AB 中点的坐标为A.(113 ,27)B. (113 , 27 )8484C.(113 ,27 )D. ( 113 , 27 )8484二、填空题 ( 本大题包括 4小题，每小题5
4、 分，共 20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.给出命题 p :x0R,x02x0 1 0 ，则p 为 _ _xy1014 若实数 x, y 满足 xy0，则 zx2 y 的最大值为 _.x015一元二次不等式21 ) ，则 a b 的值是 _。ax bx 2 0 的解集是 ( 1 ,x33x22316、函数 f ( x)5 的单调减区间是。A. 6B. 4C. 3D. 2三、解答题（本大题包括6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17、画出下列不等式组表示的平面区域，x2 y24,3x2y36,0x10,0y11.18. 已知等比数列 an 的各项均为正数
5、， a2 4, a3 a4 24（）求数列 an 的通项公式；（）设 bnlog 2 an ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .anABAD , ABBC ，侧棱 SA底面 ABCD ，点 O 为侧棱 SC的中点，且 SAABBC2, AD1 .（）求证： ODSB；（）求面 SCD 与面 SAB所成锐二面角的余弦值.SOBCAD20、已知椭圆的两焦点为 F1 (0,1) 、 F2 (0,1)，离心率为12（1）求椭圆的标准方程；（2）设点P在椭圆上，且PF1 | | PF21，求cosF PF2的值。119、如图，在四棱锥SABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，21已知直线 l1 为
6、曲线yx 2x2 在点 (0,2) 处的切线，l2 为该曲线的另一条切线，且l1 l2（ 2）在（ 1）的条件下，求 yf (x) 在 3, 1 上最大值；（ 3）若函数 yf ( x) 在区间 2, 1 上单调递增，求 b 的取值范围（）求直线 l 2的方程；（）求由直线l1 ， l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积22 函数 f ( x) x3 ax2bx c ，过曲线 yf (x) 上的点 P(1,f (1) ) 的切线方程为 y 3x 1参考答案：（ 1）若 y f ( x) 在 x2 时有极值，求 f( x) 的表达式；DBDCB ADBDD CB13.x,2x1014、 215、
7、 -1416、 0 ， 2R x18、（）由已知a24，解得a122n(5 分)a3a4q，所以 an242（）根据条件易得，bnn, bnn(7 分 )an2n于是 Tn123n222232n112n1n，以上二式相减，可得，2Tn22232n2n 111111n11nn22Tn223 +n2n12n2n 1 ，所以 Tn 22n22219、建立 如 所示空 直角坐 系，根据已知条件可有：A(0,0,0), B(0,2,0),C (2,2,0), D (1,0,0), S(0,0,2) 于是 O(1,1,1)(2 分)（）因 DO(0,1,1), SB(0,2,2) ，所以 DO SB0 ，
8、故 ODSB(6 分 )（）由已知，AD(1,0,0)是平面 SAB的一个法向量，可 平面SCD 的法向量 2222594由余弦定理 cosF1 PF2PF1PF2F1 F24 432 PF1PF2253 52221 解： 直 l1 的斜率 k1 ，直 l2 的斜率 k2 ，y 2x1 ，由 意得 k1y |x 01, 得直 l1 的方程 yx2l1l211k2k1令2 x 11,得x1 , 将 x1代入 yx2x 2, 得 y2l2 与 曲 的切点坐 A(1,2), 由直 方程的点斜式得直 l 2 的方程 ： yx 3（）由直 l1 的方程 yx2 , 令 y0得 : x=2由直 l2 的方
9、程 yx3 ，令 y0得: x=3n(a, b, c) ，由 DC可取 n(2, 1,1) 所求二面角的平面角 故所求二面角的余弦 20、 方程 y 2x2a2b2由 知 c 1,c1a2(1,2,0), DSa2b0( 1,0,2) ，可得2c，根据 个方程 ，a0(8 分 )， cosAD n6AD n，36(12 分 ).31 ( a b 0) a 2 , b2a2c23yx25由x得： y2y3 由直 l1， l 2 和 x 所 成的三角形的面 S， ： s15 2 (3)2522422 解：由 f ( x)x3ax 2bx c求导数得 : f( x)3x 22axb过 yf( x)
10、上点 P(1, f (1)的切线方程为:yf (1)f (1)( x1)即 y (abc1)(3 2a b)( x1)而过 yf ( x )上 P(1, f (1)的切线方程为: y3x132a b32ab 0(1)y 2x 2=1所求 方程 +43（ 2）由 (1) 知由 定 知PF1PF2 2a 4 ，又 PF1 | | PF2 1 PF15 ， PF23又 F F22c 2221故即( 2)a b c 2 1a b c 3yf ( x)在时有极值,故f ( 2) 0x24ab12(3)由(1)( 2)( 3)相联立解得a 2,b4, c5f ( x)x 32 x 24 x5（ 2） f
11、( x) 3x22ax b3x 24x4 (3x 2)( x2)x 3, 2) 2( 2,2 )2(2 ,1333f ( x)+00+f ( x)极大极小f( )极大f(2)(2) 32( 2) 24(2) 513xf (1)13214154f ( x)在3,1 上最大值为 13（ 3） yf ( x)在区间2,1上单调递增又f(x)3x22,(1)2b0axb 由知 a依题意f()在2,1上恒有 f(x)0,3 2bxx即 x在 xb1时 , f ( x) 小f (1)3 bb06在 xb2时, f( x) 小f ( 2) 12 2b b6f (x)3x2bxbb0在2,1 上恒成立 .b 60 b在 2b12b b21时 , f ( x) 小120 则 0 b 6.6