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1、如何做几何证明题【知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题 ,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型 :一是平面图形的数量关系 ;二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化 ,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法 :(1 综合法 (由因导果 ,从已知条件出发 ,通过有关定义、定理、公理的应用 ,逐步向前推进 ,直到问题的解决 ; (2 分析法 (执果索因从命题的结论考虑 ,推敲使其成立需要具备的条件 ,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲 ,如此逐步往上逆求 ,直到已知事实为止 ;(3 两头凑法 :
2、将分析与综合法合并使用 ,比较起来 ,分析法利于思考 ,综合法易于表达 ,因此 ,在实际思考问题时 ,可合并使用 ,灵活处理 ,以利于缩短题设与结论的距离 , 最后达到证明目的。3. 掌握构造基本图形的方法 :复杂的图形都是由基本图形组成的 ,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形 ,在构造基本图形时往往需要添加辅助线 ,以达到集中条件、转化问题的目的。 【分类解析】 1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质 ,其它如线段中
3、垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例 1. 已知 :如图 1 所示 ,?ABC 中 ,=? =C AC BC AD DB AE CF 90, 。求证 :DE =DFCF B A ED图 1例2. 已知 :如图2所示 ,AB =CD ,AD =BC ,AE =CF 。求证 :E = FDBCF E A图 22、证明直线平行或垂直 :在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行 ,可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证 ,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直 ,可转化为证一个角等于 90,或利用两个锐角互余 ,或等腰三角形 “
4、三线合一 ”来证。例 3. 如图 3 所示 ,设 BP 、 CQ 是?ABC 的内角平分线 ,AH 、 AK 分别为 A 到BP 、 CQ 的垂线。求证 :KH BCABC MNQ PKH 图 3例 4. 已知 :如图 4 所示 ,AB =AC , ,A AE BF BD DC = ? =90。求证 :FD EDB C A F E D 321 图 43、证明一线段和的问题 (一在较长线段上截取一线段等一较短线段 ,证明其余部分等于另一较短线段。 (截长法 例 5. 已知 :如图 6 所示在 ?ABC 中,=? B 60,BAC 、 BCA 的角平分线 AD 、CE 相交于 O 。 求证 :AC
5、 =AE +CD图 6BCAEDF O 142356(二延长一较短线段 ,使延长部分等于另一较短线段 ,则两较短线段成为一条线段 , 证明该线段等于较长线段。 (补短法 例 6. 已知 :如图 7 所示 ,正方形 ABCD 中,F 在 DC 上 ,E 在 BC 上,=? EAF 45。求证 :EF =BE +DFGB EC A FD123 图 74、中考题 : 例 7、 如图 8 所示 ,已知 ?ABC 为等边三角形 ,延长 BC 到 D ,延长 BA 到 E ,并且使 AE =BD , 连结 CE 、DE 。 求证 :EC =EDE BDF AC 图 8题型展示 :证明几何不等式 : 例 8
6、、 例题 :已知 :如图 9 所示 ,=12,AB AC 。求证 :BD DC D BA1C 2E图 9【实战模拟】 1. 已知 :如图 11 所示 ,?ABC 中 ,=? C 90,D 是 AB 上一点 ,DE CD 于 D ,交 BC 于 E ,且有 AC AD CE = 。求证 :DE CD = 12C图 11ABD E2. 已知 :如图 12 所示 ,在?ABC 中, = A B 2,CD 是 C 的平分线。求证 :BC =AC +ADA CBD图 123. 已知 :如图 13 所示 ,过?ABC 的顶点 A , 在 A 内任引一射线 ,过 B 、C 作此射线的垂线 BP 和 CQ 。
7、设 M 为 BC 的中点。 求证 :MP =MQBP MQCA 图 134. ?ABC 中,=? BAC AD BC 90, 于 D ,求证 :(AD AB AC BC +14参考答案例 1、分析 :由?ABC 是等腰直角三角形可知 ,=? A B 45, 由 D 是 AB 中点 , 可考虑连结 CD ,易得 CD AD =,=? DCF 45。从而不难发现 ? DCF DAE ?证明 :连结 CDAC BC A BACB AD DBCD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD= = =? = = = = = =90,? =?A D E CDFDE DF说明 :在直角三
8、角形中 ,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中 ,作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然,在等腰直角三角形中 ,更应该连结 CD ,因为 CD 既是斜边上的中线 ,又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ,使 DG =DE ,连结 BG ,证 ?EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。例2、证明 :连结 AC 在 ?ABC 和 ?CDA 中,AB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CFBE DF=? =,?(在?BCE 和?DAF 中,BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F=? ? =?(说明
9、 :利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线 ,制造全等三角形 ,这时应注意 : (1 制造的全等三角形应分别包括求证中一量 ; (2 添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。例 3、分析 :由已知 ,BH 平分 ABC , 又 BH AH , 延长 AH 交 BC 于 N ,则 BA =BN ,AH =HN 。同理 ,延长 AK 交 BC 于 M , 则 CA =CM ,AK =KM 。从而由三角形的中位线定理 ,知 KH BC 。 证明 :延长 AH 交 BC 于 N ,延长 AK 交 BC 于 M BH 平分 ABC = ABH NBH又 BH，同理， CA CM ，AK 是的中位线即
10、 KH/BC 说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。例 4、证明一：连结， ， DAE 在和B D F 中， DAE ，说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。证明二：如图5 所示，延长ED 到M ，使DM ED，连结FE，FM ，BM例 5、 分 析 ： 在AC上 截取 AF AE。 易 知，。 由，知，。，得：，证明：在 AC上截取 AF，又- 6 -即CD 例 6、 分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不
11、妨延长 CB 至 G，使 BGDF。 证明：延长 CB 至 G，使 BGDF 在正方形 ABCD中，AF，又即 GAE 例 7、 证明：作 DF/AC 交BE 于是正三角形是正三角形 又 AE 即 EF证明一：延长 AC 到 E，使 AE AB ，连结 DE 在和中，DC，- 7 -【试题答案】 1. 证明：取 CD 的中点 F，连结又，分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用 “截长补短 ”的手法。 “截长 ”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短 ”即将一 条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。E A D BC 证明：延长 CA 至 E，使 CECB，连结 ED 在和中，又，证明：延长PM 交 CQ 于 R A Q B P M R C - 8 -，又，是斜边上的中线取 BC 中点 E，连结，- 9 -