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1、第三章一元积分学第四节定积分的应用及广义积分一定积分的应用积分有着广泛的应用。在这里我们要掌握（ 1）直接用公式计算（主要是面积、弧长、体积的公式）（2）用元素法计算。遇到具体问题时，如能直接用公式，我们就用公式去做，如没有现成的公式可用或公式忘了， 我们可用元素法去解。 元素法同样适用于重积分的应用问题，还可以用元素法建立微分方程，所以说掌握了元素法就可以做到以不变应万变。例（ 1）曲线 y2ex sin x (x0) 与 x 轴所围成的图形的面积为_（）曲线 yxsin t dt (0 x) 的弧长为 _0A| 2e x sin x | dx(k1)x| sin x | dx解：（）所求的
2、面积为2e0k 0k( k 1)x | sin x | dx2e ke t sin tdt e k (1e)而2ek0A(1 e)ek1ee11ee1k 0（）弧长为 l01 f ( x) 2 dx4例过点 (4,0)作曲线 y( x1)(3x) 的切线，（）求切线方程；（）求由这切线与该曲线及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积解：（） y2x( x1)(3x)设切点为 ( x0 , y0 ) ，则有2 x0y00( x0 1)(3 x0 )( x01)(3 x0 )x04x0 4x051解得，那么切线的斜率为k23切线方程为y1( x4) ，即 x3y403（）旋转体的体积为V
3、41( x 4) 2 dx35 5 ( x 1)(3x) dx6232下面介绍一下元素法我们先看一个例子例求曲线y2xx 2 与直线 y0 围成的图形绕直线x3旋转一周的旋转体的体积Page - 1 - of 8分析： 求旋转体的体积是我们熟悉的问题但本题没有现成的公式好用，应考虑用元素法将所求的体积化为一个积分，然后计算积分得结果在学习定积分概念时，讲过将曲边梯形的面积化为一个定积分的几个步骤：分割、近似、求和、取极限用元素法将所求的量化为一个定积分的步骤稍微简化一点：分割、近似后得元素、积分（以得到的元素为被积表达式在相应区间上积分）得结果先要选好积分变量并确定积分区间，本题中可选x 也可
4、选 y 若选 y 为积分变量，则积分区间为 0,1 ，分割：在 0,1上任取一个小区间 y, ydy ，近似：该 小 区 间 对 应 的 一 小 片 绕 直 线 x3 旋 转 一 周 的 旋 转 体 的 体 积V 近 似 为V( 21y )2(21 y )2 dy81ydy，从而得 体 积 元 素dV81ydy ，积分得结果： V111 ydy16dV83若选 x 为积分变量，00则积分区间为 0,2，分割：在0,2上任取一个小区间 x, xdx ，近似：该小区间对应的小 曲 边 梯 形 绕 直 线 x3 旋 转 一 周 的 旋 转 体 的 体 积V 近 似 为Vy( 3x)2(3x dx)
5、2 2 ( x35x26 x)dxy(dx) 22 ( x35x26x)dx ，从而得体积元素dV2( x 35x 26x)dx ，积分得结果：V21( x35x26x)dx16dV2解答过程自己完成003总结：用元素法求某个量U 的一般步骤：（）建立坐标系，选取积分变量，比如x 确定该变量的变化区间即为积分区间，比如 a, b （）在区间 a,b 上任取一个小区间 x, xdx ，对应该小区间的部分量记为U ，找出该部分量的近似值Uf ( x) dx ，那么得到量 U 的元素dUf ( x)dx （）以元素 dUf (x)dx 为积分表达式在区间a, b 上积分便得欲求的量UUbdUbaf
6、(x)dxa这里关键是找出元素dUf (x) dx ，找元素的思想是：以直代曲，以常代变例设有半径为R 的密度不均匀的圆盘已知其面密度为arb ，其中为所考虑的点到圆盘中心的距离，a, b 为正常数，求圆盘的质量解：以圆盘上的点到圆心的距离r 为积分工变量，则r0, R ，任取 0, R 上的一个小区间 r , rdr ，该小区间对应的小圆环的质量近似为M(rdr ) 2r 2 ( arb)2r ( arb)drPage - 2 - of 8于是质量元素为dM2r ( arb)dr ，所以圆盘质量为22)RaRbM2 r (ar b)drR (03注：本题可用二重积分计算。二广义积分本节主要介
7、绍广义积分的计算及敛散性判定。广义积分的计算也有基本方法和特殊方法，基本方法与定积分差不多但要分清瑕点。广义积分的敛散性判定主要是两个方法（）用定义，（）比较法，这一方法适用于被积函数在瑕点附近或无穷远点附近非负（若非正，则加一负号可变为非负），并且与正项级数的比较审敛法相似若被积函数在瑕点附近或无穷远点附近变号，可考虑是否绝对收敛这里先要熟悉几个简单广义积分的收敛性：a1dx ，（ a0 ）， p1时收敛， p1时发散对于xp01p dx ，（ a对于0 ）， p1时收敛， p1时发散ax对于1dx，（ a1 ）， p1时收敛， p1时发散x(ln x)pa例 求下列积分（）3f(x) dx
8、 ,其中 f ( x)( x1)2( x1), (2)x ln xdx11 f 2 ( x)x3 ( x 2)0 (1x 2 )21bdx(3)| xa |2dx (b0) ,(4)( n1)221(xa)bx(1x)( nx)解 :(1) ( 分析 :注意这里有两个瑕点:0, 2 )3f( x)dx0f(x)dx2f( x) dx3f( x)dx1 1f 2 (x)1 1f 2 (x)0 1f 2 (x)2 1f 2 ( x)arctan f ( x) |01 arctan f ( x) |02arctan f ( x) |23(0)(22)(arctan322)arctan 3222272
9、7注 :本题的计算很容易出错:3f ( x)dxarctan f (x) |31 arctan 320arctan 32, 错1 1f 2 (x)2727误的根源在于没注意到积分区间内有两个瑕点 ,由此可看出计算这类积分时一定要把瑕点找出来然后按本题的做法那样去处理 ,还要注意极限的单侧性（）（分析：首先容易想到用分部法去求：x ln x110 (1 x2 )2 dx2 0ln x d 1x2Page - 3 - of 81 ln x2|001dx ，至此问题出来了，由于 limln x，这就没法做2 1x2)1 x2x(1 xx 0下去了，但我们不能由此说该积分发散，也不能说分部法不能用事实
10、上很容易判断该积分是收敛的（实际上 x 0不能算是假点） ，用分部法计算广义积分时要求分部积分公式右边两项均收敛（上述做法中右边两项均发散） 本题用分部法可以这样做：x ln x2 dx1x ln x2 dxx ln x2 dx0(1 x2)0(1 x2)1(1 x2)111112 0 ln xd (11x 2 )2 1ln xd1 x 2往下计算请同学完成，下面有一种更简便方法（称之为分段相消法）x ln xdx1xln x2 dxxln x2 dx2)20 (1 x2)2)0 (1 x1(1 x111xln x0tln11t ln t对后一积分作换元x2 dxt()dtdtt，得1(1 x
11、2)11t20(1 t2)22(1t 2 )所以x ln x2 dx00(1x2)（）（分析：初一看此题比较复杂，我们试着先换元简化问题，令txa ，则积分变为11bb | t |2| xa |2dxdt( xa)2b 2t 2b 2再利用奇偶性有b | t |dt2btdtt2b2t220b再换元ut，则b | t |dt2btdt4bu 24 dubt2b20t2b20 1u但积分u 2du 仍不好算，我们可用配对法计算此积分：01u4设 Iu 2du ， J1du01u 401u 4令11uv ，则 I01v2dvJ1u 2111111又IJu2duarctan(u) |02()01u
12、4 du02(u1222u2 (2)uPage - 4 - of 8，故Iu 2du01 u42221b所以| xa |2dx4bIb，这是分析，解答请同学们完成）(xa) 2b 22（）（分析：被积函数是有理函数，我们总可以将它分拆成最简分式的和1A0A1An，而且可以求出x( x 1) (x n)xx 1x nAk1(1)k(1) k C nk(k )(k1)( 1)1(nk)k! (nk )!n!，nAk0 。k 0dxnbAkn从而 I nlimdxlimAk (ln( bk )ln(1k)1x(1 x) (n x)1x kbk 0bk 0nnk )n0 00而 limAk ln(bk
13、 )limAkln(1limAk ln b，故bk 0bk 0bbk0I ndx1 n(1)k1kl n1(k) 这是分析，解答请同学们完成）1x(1 x) ( n x)n! kCn0例 求下列积分（）已知(1) n12xdxn 2，求1exn 1120（）已知e x 2dx0（）计算I ( m,n)(x21 )，求ex 2 dx201xn (ln x) m dx0（）arctanaxarctanbx dx ( a0,b0)0x解：（）xdxx1xnnx0 1 ex0xe1 e x dx0xen 0 ( 1) e dx( 1)n(n 1) xdx(1) n2xe2n 00n0 ( n1)12e
14、 ( x21e ( x211（）令 Ix2 )dx ， J0x 2 )dx0x2Page - 5 - of 8212121则 J0e (xx 2 ) 12 dx0e (xx2 ) d 10e (tt 2 ) dtIxx( x21)12 )dx( x1 )2 21) e 2( x1 )2 21 ) ，x2I Je(1exd ( xexd( x0x0x0x1121令 u x，则e( xx)2d (xt2t20)e dt 20e dtxx( x21 )故 I0ex2dx22e（）对 m 建立递推式I (m, n)11(ln t )mdtn 1m1tn 1(ln t )m 1dtmI (m1,n)n1 0n1 0n 1(1)m m!I (0, n)(1)m m!( n1) m(n1) m 1（5）（利用二重积分）arctan axarctan bxa12 dyxb 12yxarctan axarctan bxdxa12 dydxa(1dx )dyaxb 1 x2y2y2dy00b01 xb 2 yaln2barctanx例 广义积分dx 收敛的充要条件是满足 _（0 为常数）0x分析：首先可以看出本题答案与大于零还是小于零无关，考虑大于零，这个积分有瑕点x0和无穷点 x，这两点都要考虑：arctanx1 arctanxarctanxdx0xdx0xdxx1