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1、广东省海珠区蓝天中学2014 年高三上学期 12 月月考数学（文）试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 i 是虚数单位， i 2013A iB iC 1D 1已知函数 f ( x)log 2 x 的定义域为 M ， N x | x 2x 20 ，则 M NA 1, 2B 2 , 1C 1D 2已知平面向量 a( 1, 2)， b(2 , m) ，若 ab ，则 mA 4B 4C 1D 1 下列函数中，偶函数是A f ( x) tan xB f ( x)2 x2 xC f ( x)xD f (x) x3 a 、 b
2、 R ，“ ab ”是“ a 2b22ab ”成立的A充要条件B充分非必要条件CC必要非充分条件D非充分非必要条件如图 1，四棱锥 P ABCD 的侧面 PAB 水平放置，DPB 平面 ABCD ， CB 平面 PAB ， AD / BC ，B且 AD BC ，则四棱锥 PABCD 的正视图是P图1AA B CD已知平面、和直线 m ，若， m，则A mB m /C mD m / 或 m已知数列an （ n N ）的前n 项和 Snn 21，则 a6A 11B 11C 13D 13在锐角 ABC 中，若 C 2B ，则 c 的取值范围是bA (0 , 2)B ( 2 , 2)C ( 2 ,3)
3、D (1 , 3) 在 平 面 向 量 上 定 义运 算： (m , n)( p , q)(mq , np) 。 任意 a(x1 , x2 ) ，b ( y, y) ， c(z, z) ，下列关于向量模长的等式中，不成立的是1212A | ba | | ab |B | ( ab ) c | | b( ca ) |C | ( ab ) c | | b( ac ) |D | ( ab ) c | | c( ab ) |二、填空题：本大题共5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分(一)必做题（ 1113 题） log 3 2l o g2 3 （填 “ ”或 “ ”）已知命题 p
4、：有的梯形是等腰梯形。则p ：经过点 P(1 ,1)且与圆 x 2( y 2) 22 相切的直线的方程是(二)选做题（ 14、15 题，考生只能从中选做一题）双曲线 x2y 21上一点 P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点 P 到另一个焦点的16距离等于如图 2 给出了 3 层的三角形，图中所有点的个数 S310 。按其规律再画下去，可以得到 n 层的三角形， Sn图 2三、解答题： 本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤（本小题满分12 分）已知函数f ( x)2 cos x(sin xcos x) ， x 求 f ( x) 的最大值，并求R 求 f (
5、x) 的最小正周期f ( x) 取最大值时自变量xT ；的集合（本小题满分14 分）如图 3，三棱柱 ABC-A 1B1C1 中，侧棱垂直底面， AC BC， D 是棱 AA 1 的中点，AA 1=2AC=2BC=2 a （ a0 ） 证明： C1D平面 BDC ；图 求三棱锥CBC1D 的体积（本小题满分14 分）已知数列an的首项a12 ，nN ，点(an, an 1 ) 都在直线x2 y10 上 证明：数列an1 是等比数列；求数列an的通项公式；求数列an的前n 项和Sn （本小题满分12 分）甲、乙两校计划周末组织学生参加敬老活动，甲校每位同学往返车费是 5 元，每人可为 3 位老人
6、服务，乙校每位同学往返车费是3元，每人可为5 位老人服务。两校都有学生参加，甲校参加活动的学生比乙校至少多1人，且两校同学往返总车费不超过45 元。如何安排甲、乙两校参加活动的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？22（本小题满分14 分）已知抛物线1 ： y1x2 的焦点 F 在椭圆 2 ： x 2y214ab（ a b 0 ）上，直线 l 与抛物线 1 相切于点 P(2 , 1) ，并经过椭圆2 的焦点 F2 求椭圆2 的方程； 设椭圆2 的另一个焦点为 F1 ，试判断直线 FF 1 与 l 的位置关系。若相交，求出交点坐标；若平行，求两直线之间的距离21（本小题满分1
7、4 分）已知函数f ( x)1 x 3x 2ax1， xR ， a 是常数3 当 a8 时，求f ( x)的单调区间； 证明，a(24 ,10) ，函数f ( x)在区间 4 , 4 上有且仅有一个零点评分参考一、 ADCBADDBCB二、填空 每个梯形都不是等腰梯形 （意思相同均 5 分） x y 0 6（填“6 或2” 3 分，其他 0 分） (n1)( n2)2cos 2x 1 2 分三、解答 解：f ( x)2 cos x(sin xcos x) sin 2x2 sin( 2x)1 4 分， T2 5 分24由知 f ( x) 的最大 M21 7 分f (x)2 1 ， sin(2x4
8、)1 8 分，所以 2x42k， xk8， kZ 11 分，（“ kZ ” 1 分）2所求自 量 x 的集合 x | xk8, kZ 12 分 明与求解：依 意，BC CC1，BC AC，ACCC 1=C，所以 BC平面 ACC 1A 11D11，所以 BCC1D4分3 分， C平面 ACC AA 1C1=A1D=AD=AC ，所以A1 DC1ADC 5 分，4所以C1 DC1分，2， C DDC 6因 BDCD=C，所以 C1D平面 BDC 7 分，三棱 C-BC1D 即三棱 C1-BCD，由知 BCCD 8 分，所以 BCD 的面 S1BCCD2a 2 10 分由知， C1是三棱 2底面2
9、上的高，其体 1-BCDBDCDCV1 Sh1 S C1 D 12 分，12 a 22a1 a 3 14 分33323 明与求解：依 意，an2an1 10 2 分，an12(an1 1) ， an 111(an1) 4 分，2a1110 5 分，所以，数列an1 是等比数列 6 分由得 an11( 1) n 1 8 分，所以 an1 21n 9 分2 Sn(1 2 0 ) (1 2 1 ) (1 2 2 )(1 21 n ) 10 分n (202 12 221 n ) 12 分12 nn21n 14 分n12 1 13 分，2解： 甲、乙两校参加活 的人数分 x 、 y 1 分，受到服 的老
10、人的人数 z3x5 y 2 分，xy1依 意， x 、 y 足的 束条件 5x3y45 6 分x ,yN *可行域 中阴影部分中的整点， 画直 l 0 ：3x5 y 0 ，并向右上方平移 l 0 到 l ，当 l 可行域的某点，且可行域内其他点都在直 l 的、包含直 l 0 的同一 ， 一点的坐 使目 函数取最大 7 分xy1解方程 3 y 8 分，5x45得 x 6 9 分， y 5M ( 6, 5) 足 束条件，因此，当x 6 ，y 5 ， z 取最大 10 分zmax 365543 11 分。答：甲、乙两校参加活 的人数分 6 和 5 ，受到服 的老人最多，最多 43 人。12 分解：抛
11、物 y1 x2 即 x24 y 的焦点 F (0 ,1) 2 分，依 意 0141，解得 b1 3 分，a 2b21 x |x切 的斜率 ky /21 4 分，切 l 方程 y 12 5 分，x 2，即 xy 1 0依 意， c010 ，解得 c 1 6 分，所以 ab2c 22 7 分，2 2 的方程 xy21 8 分2由得 F1 ( 1 , 0) 9 分，直 FF1的方程 y0x(1) 10 分，即 xy 1 0 11 分，100(1)因 kFF1k 1，且 F1 ( 1 ,0) 不在直 l 上，所以直 FF1/ l 12 分，FF1 与 l之 的距离即 F (0 , 1)到直 l 的距离
12、d1 1 |2 14 分（列式 1 分，求 1 分）| 01 21 221 解： a8 ， f / (x)x 22x8 1 分，解f/ ( ) 0得 x14 ， x22 2 分，当x ，；当 ， /x4 ，f/ ( )0；当4 x 2/(x) 02 x( x) 0xff5 分，所以， f (x) 的 减区 4 , 2 ， 增区 (,4) 和 (2 ,) 6分 （ 方 法 一 ）a( 24 ,10) ， f (134a13400 7分 ，4)33f (4 )1154a115400 8 分，33因 y f (x) 在区 4 , 4 上是 不断的曲 ，且f ( 4)f ( 4)0，所以 f (x)
13、在区 4 ,4 上有零点 9 分解 f / (x)x22xa0 （ a( 24 , 10) ）得 x111a4（舍去），x211 a(4 ,4) 10 分，当 4 x11 a ， f / ( x)0 11 分；当 11 ax4 ， f / (x)0 12 分因 f (4)0，所以 x11a , 4 ， f ( x)0， f (x) 在区 11 a , 4 上无零点 13 分f (4)f (11a )0， f ( x) 在 4 ,11a 上 减少，所以f (x) 在区 4 ,11a 上有且只有一个零点，从而在区 4 , 4 上有且只有一个零点 14分。（方法二） f / ( x)x 22xa ，
14、解 f / ( x)x22 xa0 得x111 a4 （舍去）， x211a(4 , 4) 7 分当 4 x11 a ， f / ( x)0 8 分；当 11 ax4 ， f / (x)0 9 分因 f (4)1154a115400 10 分，33所以 x 11 a , 4 ， f ( x)0 ， f (x) 在区 11a , 4 上无零点 11 分。因 f (0)10 12 分，f ( 0) f ( 11a )0，所以 f (x) 在区 0 ,11a 上有零点 13 分。因 f (x) 在 4 ,11a 上 减少，所以f ( x) 在区 4 ,11 a 上有且只有一个零点，从而在区 4 ,4 上有且只有一个零点 14 分。