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1、广东省肇庆市封开县江口中学 2014 年高三上学期期末考试数学（理）试卷注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的所在县（市、区） 、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置， 再用 2B 铅笔将准考证号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效 .参考公式： 1、锥体的体积
2、公式 V1 Sh ，其中 S 为锥体的底面积， h 为锥体的高。3一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1已知集合 M x | x23x0 ，集合 N x | x2n1,nZ ，则 MN()A.3B. 0C.0,3D. 32设复数 z3i （ i 是虚数单位），则复数 z 的共轭复数z1iA 12iB.12iC. 2iD.2i3下列四个函数中 ,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A. f ( x)ln xB. f ( x) 2xsin xC. f (x)x1D. f ( x)exexxxy2，4x，yxy，则z2x3
3、y的最大值是 ()满足2已知实数0x，1A.6B.1C. 4D. 65执行如图 1 所示的程序框图 , 输出的 z 值为（）A 3B 4C 5D 66 某几何体的三视图如图2 所示 (单位： cm), 则其体积和表面积分别是（）A. 6cm3 和 12(1) cm2B. 6cm3 和 12cm2C. 12cm3 和 12(1) cm2D. 12cm3 和 12cm27平面内有4 个红点 ,6 个蓝点 ,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任三点不共线, 过这十个点中的任两点所确定的直线中, 至少过一红点的直线的条数是()A.28B.29C.30D.27已知集合 An 1,3,7, ,(2 n1
4、)( n N ) ，若从集合n 中任取k (k 1,2,3, , n)个数，8A其 所 有 可 能 的 k 个 数 的 乘 积 的 和 为 Tk （ 若 只 取 一 个 数 ， 规 定 乘 积 为此 数 本 身 ）， 记SnT1 T2 T3Tn 例 如 当 n1 时 ， A11 ， T11,S1 1 ； 当 n2 时 ，A21 , 3 T,1 T3 ,1 S3 1 3 1 3 7.则Sn（）12， 2n (n1)A. 2n1B.22n 11C. 2n( n 1) 1 1D. 2 21二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分 .（一）必做题（9 13 题）9函数
5、 f (x)x22x 3的定义域为10若等比数列 an 满足 a2a420,a3a5 40 ，则 a31011在x41的展开式中常数项是_. （用数字作答）x12曲线 yx33x26x 1的切线中 ,斜率最小的切线方程为 _.13在平面直角坐标系xoy 中，已知点 A 是半圆 x2y24x0 (2x 4)上的一个动点，点 C 在线段 OA 的延长线上当 OAOC20 时，则点 C 的纵坐标的取值范围是（）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线极坐标为.(0) 与4cos的交点的415.（几何证明选讲选做题）如图 3，在ABC 中，ACB90o ，CEAB 于点 E , 以 AE 为直
6、径的圆与AC 交于点 D ，若 BE2 AE4 ， CD3 ，则 AC_三、解答题 : 本大题共6 小题，满分80 分 .解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x)A sin x, ( A0, xR) 的最大值为 2.6(1) 求 f的值；(2) 若 sin3,0 ,求 f2,52617.（本小题满分12 分）一次考试中，5 名同学的语文、英语成绩如下表所示：学生S1S2S3S4S5语文（ x 分）8790919295英语（ y 分）8689899294（ 1）根据表中数据，求英语分y 对语文分 x 的线性回归方程；（ 2）要从 4 名语文成绩在
7、 90分（含 90 分）以上的同学中选出2 名参加一项活动，以表示选中的同学的英语成绩高于90 分的人数，求随机变量的分布列及数学期望E .n（附 :线性回归方程 y bx a 中， b( xix )( yi y )y bx, 其中 x, y 为样本平均i 1, ani 1( xi x)2值， ? ?.）b, a 的值的结果保留二位小数18. （本题满分14 分）如图 4 ，在四棱锥P ABCD ， PA平面ABCD ， PA AB BC1AD ，四边形2ABCD 是直角梯形中，ABCBAD90 （ 1）求证 : CD 平面 PAC ；（2）求二面角 APD C 的余弦值19.（本小题满分14
8、 分）已知数列 an满足 a11,anan 1n , nNan 1（ 1）求数列an 的通项公式；（2）设 bn2n，数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，求 Tn .an(3) 证明： a12a22a32an22 .20. （本小题满分 14 分）已知椭圆 C : x2y21(a b 0) 的离心率为1 , 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成a2b22的三角形的面积为3 ，过椭圆 C 的右焦点的动直线l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点 .(1) 求椭圆 C 的方程 ;(2) 若线段 AB 中点的横坐标为 1 , 求直线 l 的方程 ;2DP(3)若线段 AB 的垂直平分线与x 轴相交于点
9、D . 设弦 AB 的中点为 P , 试求的取AB值范围 .21（本小题满分14 分）已知函数f ( x)ln xax2（2a1)x ( 其中常数a0).(1) 当 a 1 时，求 f ( x) 的单调区间；(2)若 f ( x) 在x1处取得极值，且在0,e 上的最大值为 1 ，求 a 的值 .肇庆市中小学教学质量评估2014 年第一学期统一检测题高三数学（理科）参考答案一、选择题：题号12345678答案AC BDD ABD二、填空题：9 (,31,)10. 811. 4512.3xy2013.5,514.(0,0), 22815.431【解析】 M0,3， N,1,1,3, , MN32
10、【解析】3i(3i)(1i )32ii 242i2i ,z2 i .zi(1i )(1i )1 i 2213【解析】 f ( x)2 xsin x2cosx 0 , f (x)2xsin(x)f ( x)4【解析】画图可知，四个角点分别是A(0,2), B(1,1),C (1,1),D (0,2)，可知 zmaxzA 65【解析】 S1: s1,a1; S2: s2; a2; S3: s8, a3 ， S4 : s64, a4zlog 2 266，结束。6【解析】几何体是个“半”圆锥，其体积为V11324611231表面积为 SS1S2S332324236412(1)2227【解析】 (1)红
11、点连蓝点有 C 41C 611=23 条 ;(2) 红点连红点有 C 42=6 条 ,所以共有 29条 .8 【 解 析 】 当 n3 时 ， A31, 3 ,7， T11 3711,T21317 3731 ，T31 3721， 所 以S311312163。 由 于S1211,S2231 ，2621 23nn(n1)S3641，所以猜想 Sn1221 .9【解析】由 x22x30 得 x3或 x1，故填 (, 31,)10【解析】由a1q a1q320a12a3 8a1q2a1q440q 210的通项为 Tr+1 = C10r x 4(10 r ) ( 1 ) r11【解析】x41C10r x
12、 405r，令 40-5r=0, 解得 r=8 ，代入xx得常数项为 C108C102=45.12【解析】 y3x26x63( x1)233 .当 x 1时, ymin3 ,当 x1时, y5 .切线方程为 y53( x1),即 3xy20.13【解析】如图，半圆x2y24x0 (2x4) 即 (x2) 2y24 (2x4) ，设点 C ( a, b) ，由于OA 与 OC 的方向相同，故OC =OA ，且 0，当点 A 在点 M（ 2， 2）时， OAOC =2a+2b=20，且 a=b，解得 b=5当点 A 在点 N （ 2， 2）时， OAOC=2a+（ 2b） =20 ，且 a= b，
13、解得 b= 5综上可得，则点C 的纵坐标的取值范围是 5,5 .14【解析】将代入4cos得2 2 ，又 (0,0) 在两曲线上，所以交点的极坐标4为 (0,0), 22415 【 解 析 】 在ABC 中 ， 有 CE 2BEAE ， 由 切 割 线 定理 有 CE 2CD AC ， 所 以8BE AECD AC ，可得 AC3三、解答题 :16【解析】函数 f ( x)A sinx的最大值为2 , A 26f ( x)2 s i nx(2 分 )6(1) f ( )2sin2sin11(4 分 )62622（ 2） sin3,2,0 ， cos1sin 2134(6 分)555s i n
14、22 s i n c o s342 4(7 分 )252 552cos22cos212417(8 分 )525 f262sin232sin 2cos2cos 2sin(10 分 )3322412737324(12 分 )2522252517【解析】 (1)879091929591,（ 1 分）x5y8 68 98 99 29 459 0 , （ 2 分）524)21)20242( xix )(134,i15( xix )( yiy)(4)(4)(1)(1)0( 1)1244 35,i 1351.03,?yb x 9 01. 0 39 13. 7 3ba34故回归直线方程为y1.03x3.73(
15、6 分)(2) 随机变量的可能取值为 0,1,2.2P(0) C2 1 ; C42 62C21故 X 的分布列为0（ 7 分）P( 1)C21C212 ; （ 8 分）C423（ 9 分）12P121636E0121（ 12 分）121.63618（ 1）证明：PA 平面 ABCD ， CDPA （ 1 分）又 ABBC ,ABC90o ， AC2AB（ 2 分）过 C 作 CE / AB ，交 AD 于 E，则 CE AB BCDE , CED 90o （ 3 分） CD2 AB ，（ 4 分）在 ACD 中， AC 2CD 24AB 2AD 2 ， CDAC （5 分）又 PAAC A ，
16、 CD平面PAC （ 6 分）2AD , CEPA ，CE平面PAD（7分）（ ）（方法一） CE过 E 作 EFPD 于 F ，连结 CF ，可知 CFPD （ 8 分） GHC 是二面角 APDC 的平面角（ 9 分）设 AD2 ，则 PA ABCEDE1， DP5 PAD DEF ，EFDEEF1（ 11 分）PA，5DP CFCE 2EF 21130，（ 12分）56 cosCFEEF6即二面角 APDC 的余弦值为6 （ 14 分）CF66（方法二）如图建立空间直角坐标系，设AD2 ，则 AB PA 1 A(0,0,0),B(1,0,0), P(0,0,1), D (0,2,0),C
17、 (1,1,0) ，（ 7 分）CP( 1,1,1),CD( 1,1,0) ，（ 8 分）设平面PCD 的法向量为 n( x, y, z) ，nCP0，即xyz0xy则xy0化简得zxynCD0令 x1 ，得 y1,z2, ，所以 n(1,1,2) 是平面PCD 的一个法向量 .（ 10 分）又平面 ACD 的一个法向量 m (1,0,0)（ 11 分） 向量 n 和 m 所成角 ， cosn m16n m6（ 13 分）6即二面角 A PD C 的余弦 6 （ 14 分）6anan1n 得 (n1)an 1 nanan1n，(2分)19【解析】（ 1）由,即nan 1an1a2 a3 a4a
18、n 1an1 2 3n 2 n 1a1 a2 a3an 2 an 12 3 4n 1n(4 分)即 an1 a1 ， a11,所以 an1(5 分 )nn（2） bn2nn 2n（ 6分）an Tn1 2 2 223 23n 2n2Tn23342n (nn12 （7分）1 22 21 ) n2得Tn222232nn 2n 1（8分） Tn(n1) 2n 12（ 10分）(3) 明：1111（11分）k 2k(k1)k1,k=2,3,4 ,n.k22221111 a1a2a3an122232n21111.（12分）11 223(n1)n1(1 1) ( 1 1)( 11 )（ 13 分）1122
19、3n1n212（ 14分）n20【解析】 (1)依题意，有 ec1，1b 2c3(1分 )a22即 a 2c ， b3，又 a2b2c2c解得 a24, b23,c1(3 分 )则椭圆方程为 x2y21(4分 )4 3(2) 由（ 1）知 c 1，所以设过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 的方程为 y k( x 1)将其代入x2y24k2)x28k2x4k2120 ，41中得， (33144( k21) ，设 A( x1 , y1) ,B( x2 , y2 ) ,则 x8k 2， x1x28k 2， x1 x24k2121,22(34k 2 )34k 234k2因为 AB 中点的横坐标为1 ，所
20、以4k 21 ，解得k3234k 222所以，直线 l的方程 y3 ( x1)(828k 2, x1x24k212（ 3）由（ 2）知 x1 x24k 234k23所以 AB 的中点为 P(4k 2,3k2 )4k24k33所以 AB(x1 x2 )2( y1y2 )2(k21)( x1x2 ) 24x1 x2 ( k2 1)64k 44(4k212)12(k 21)(10(3 4k 2 )23 4k 24k23(5分)(6分)(7分 )分 )分 )直线 PD 的方程为 y3k31 ( x4k 2) ,由 y0, 得 xk2,4k 2k4k 234k 23则 D (k 2,0) ,所以DP3k 2 ( k21)(12分 )4k24k233DP3k 2 ( k21)k 2所以4k231111AB12( k 21)4 k214k214k23又因为 k211, 所以0111.所以011111 .k 24k24DP0, 1(14分)所以的取值范围是AB421【解析】解：（1）当 a1 时，因为 f (x)ln xx23x, 所以 x0（1 分）f12x32x23x1( x)xx令 f( x)0，解得 x11 , x21（ 2 分）2当0x1时， f( x)0 ，所以函数f ( x) 在0, 1上单调递增；22当 1x1时， f( x)