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1、甘肃省高台县第一中学2014 年高二下学期3 月月考数学（理）试卷一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题4 分，共计 48 分 . 在每小题给出的四个选项中，只是一项是符合题目要求的） .1 数列 an 的首项 为 3 ， bn 为 等差 数列 且 bnan 1an (n N * ) ，若b32 ,b1 01 2，则 a8 （）A 0B3C 8D112抛物线 y212x 的准线与双曲线 x2y 21 的两条渐近线所围成的三角93形的面积等于 ()A. 3 3B.2 3C.2D.33 ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a,b, c ，若直线 bx(a c) y 1 0与直线
2、 (ab) x(ac) y 10 垂直，则角 C 的大小为（ ）AB634已知双曲线 x2y 2a2b 2为 ()A.5B.35设 x，y 满足约束条件C 2D 5361的一条渐近线方程为y 1 x，则双曲线的离心率34C.5D.33423xy60xy20 ，若目标函数 zax by （a0，x0, y0b0）的最大值为12，则 23 的最小值为 ()abA. 25B.8C.11D. 46336已知空间四边形 ABCD中，a，OBb，OCc，点 M在 OA上，且 OM=2MA，OAN 为 BC中点，则 MN =（）A 1 a2 b1 cB2 a1 b1 c232322C 1 a1 b1 cD
3、2 a2 b1 c2223327已知 a(1t ,1t, t ), b(2,t ,t ) ，则 | ab |的最小值为（）A5B 55C 3 5D 1155558 已知 a、b、 c 直线，是平面，给出下列命题：（1）若 ab, b c, 则a / c ；若 a / b,b c,则 ac ；若 a /,b, 则a / b ；若a 与 b 异面，且a / , 则b与 相交；若 a 与 b 异面，则至多有一条直线与a， b 都垂直 . 其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.49正方体 ABCD A1B1 C1D1 中直线 A1C1 与平面 A1 BD 夹角的余弦值是（）A2B 2C 3D 3
4、433210 抛物线 yx 2 上一点到直线2x y4 0 的距离最短的点的坐标是（）A（1，1）B （11）C39)D（ ， ）,(,24224y2411已知双曲线 21，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一x31 的左顶点为 A点，则 PA1PF2的最小值为（）A. 2B.81C.1D.01612设椭圆 x 2y 21 1(m0，n0) 的一个焦点与抛物线 x2=4y 的焦点相同，m 2n2离心率为： 1 则此椭圆的方程为 ()3A x 2y 21B x2y219889C x 2y 21D x 2y 2136323236二、填空题：（每小题 4 分， 6 个小题共计 24 分。请将正确答案
5、填在答题卡上。）13设 a 1, b 2,且 a, b 的夹角为 1200 ; 则 2ab 等于 _.14 在正项等比数列an 中， a1和 a19 为方程 x 210x 160 的两根，则a8 a10 a12 等于.15将边长为 2 的正 ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成直二面角 BAD C ，则三棱锥 B ACD 的外接球的表面积为 _16如图，在长方形 ABCD 中, AB3 , BC 1 , E 为线段 DC 上一动点，现将 AED 沿 AE 折起，使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上，当 E 从 D 运动到 C ，则 K 所形成轨迹的长度为.17 若过椭圆 x
6、2y21 内一点（ 2，1）的弦被该点平分，则该弦所在直线164的方程是 _18已知 a, b 都是正实数， 函数 y2aexb 的图象过 (0,1) 点，则 11 的最ab小值是.三、解答题（本大题 7 个小题共 78 分。，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案过程写在答题卡上） 。19（本题满分 10 分）已知等差数列 an 中，前5 项和前 10 项的和分别为25 和 100。数列 bn 中， b (1 2 222n 1) 1。n（ 1）求 an 、 bn ；（ 2）设 Tna1b1a2 b2anbn ，求 Tn 。20（本题 8 分）已知命题p：方程 x 2mx 1 0 有
7、两个不等的负实根，命题 q：方程 4 x24(m 2) x1 0 无实根若 p 或 q 为真， p 且 q 为假，求实数 m 的取值范围21（本题 12 分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1 中，点 D 是 BC 的中点 .B1A1C1BADC（）求证 :AD平面 BCC1 B1 ；（）求证 :A1C平面 AB1 D .（本题12 分）如图（ 1），等腰直角三角形ABC 的底边AB 4，点D在22线段 AC 上， DEAB 于 E ，现将ADE 沿 DE 折起到PDE 的位置（如图（ 2）PAEBDEBCDC图 (1)图 (2)（）求证： PBDE ；（）若 PE BE，直线 PD 与平面 P
8、BC 所成的角为 300，求 PE 长23（本题 12 分）已知数列 an 满足：Sn1an ( nN * ) ，其中 Sn 为数列 an 的前 n 项和 .（ 1）试求 an 的通项公式；（ 2）若数列 bn 满足： bnn ( n N* ) ，试求 bn 的前 n 项和 Tn .an24（本题 12 分）已知椭圆C :x2y2b 0) 的离心率为1 ，椭圆的短a2b21(a2轴端点与双曲线 y2x2 =1的焦点重合，过点P(4,0) 且不垂直于 x 轴直线 l 与椭2圆 C 相交于 A 、 B 两点 . （）求椭圆 C 的方程；（）求 OA OB 的取值范围 .25(本小题 12 分) 将
9、圆 O: x 2y 24 上各点的纵坐标变为原来的一半( 横坐标不变 ),得到曲线 C1 、抛物线 C2 的焦点是直线y x1 与 x 轴的交点 .(1) 求 C1 ， C2 的标准方程；(2) 请问是否存在直线 l 满足条件： 过 C2 的焦点 F ; 与 C1 交于不同两点 M , N , 且满足 OMON ？若存在，求出直线l 的方程 ;若不存在 , 说明理由高二数学（理）参考答案1-12 BABAABCACAAB13 2146415 5 5 / 61617 x 2y 4 0 .18 3 2 2319（ 1） bn(1 2 222n 1) 1 2n 。（ 2） Tn(2 n 1) 2n
10、12 (23242n 1) (2 n 3) 2n 16 。20 (1,23,)解：将两个命题化简，若p 真，则 m2；若 q 真，则 1m2；若 q 真01m3由题意， p， q 中有且仅有一为真，一为假m2,m2m 3当 p 假 q 真， 则1m 2；当 p 真 q 假，则或1m 3m31 m综上所述实数 m 的取值范围 (1,2 3,) 8分21解析：（ 1）根据直线平行平面的判定定理，需要在平面AEB 内找一条与CF 平行的直线 . 根1据题设，可取 AB1 的中点 G ，通过证明四边形FGEC 是平行四边形来证明CF / EG ，从而使问题得证 .（ 2）由题易得 BC面 AB1E ，
11、即 B1C1面 AB1E ， B1C1 就是三棱锥 B1ACE 的高所以求三棱锥 C AB1E 的体积可转化为求三棱锥B1ACE 的体积 .试题解析：（ 1）证明：取AB1 的中点 G ，联结 EG, FG F ,G 分别是棱 AB 、 AB1 的中点， FG / BB1 , FG1 BB12又 FG / EC , EC1 CC1, FG EC2四边形 FGEC 是平行四边形， CF / EG CF平面 AB1E ， EG平面 AB1 E CF / 平面 AB1E（ 2）解：因为 AA1 底面 ABC ，所以 CC1底面 ABC ， CC1 CB又 ACB90 ，所以 BCAC所以 BC面 A
12、CC1 A1 ，即 BC面 ACE所以点 B 到平面 AEB1 的距离为 BC 2又因为 BB1 / 平面 ACE ，所以点 B1 到平面 ACE 的距离等于点 B 到平面 ACE 的距离，即为 2所以 VC AB1 E VB1 ACE 111 2 22.32322. 解析（）要证线线垂直，可先考虑纯线面垂直，要证线面垂直，先找出图中的线线垂直，使结论得证； （）为方便利用直线PD 与平面 PBC 所成的角为 300 ，可建立空间直角坐标系，利用空间向量相关计算公式建立关于PE 长度的方程，解之即可 .试题解析：（） DEAB ，DEBE , DE PE ， BEPE E ， DE平面PEB
13、，又 PB平面 PEB ，PBDE ；（）DE BE , DEPE ， BEPE分别以 DE，BE，PE 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图）zPEB yxDC设 PEa ，则 B(0,4a,0) ， D (a,0,0)， C (2,2a,0) ， P(0,0, a)可得 PB(0, 4 a, a)， BC (2, 2,0)设平面 PBC 的法向量 n(4a) yaz01，可得 x 1, z4 a ，(x, y, z) ，2 y0，令 y2xa因此 n(1,1,4 a ) 是平面 PBC 的一个法向量，PD (a,0, a) ，PD 与平面 PBC 所成a的角为 300，sin 30cosPD , n，即a(4a)21 ，2a2(4a)22a2解之得： a4，或 a4（舍），因此可得 PE 的长为4 51( 1 )n 1( 1) n , (n N * )523（ 1）an222（ 2） Tn(n 1)2n 12, n N *24 ( ) x2y 21 ； ( )4, 1343425 (1)C1 的方程为：x2y 21， C2的方程为： y24x 。4（ 2） y 2 x2 或 y2x 2