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1、中国春秋战国时代的数学春秋战国时代，中国正经历着由奴隶社会到封建社会的巨大变革，学术思想十分活跃这一时期形成的诸子百家，对科学文化影响极大数学园地更是生机盎然，朝气勃勃值得注意的是，人们在商代甲骨文和西周金文的基础上，逐渐懂得把字写在竹片 ( 或木片 ) 上，用绳子穿成册，这就是早期的书写上字的竹片称为简，或竹简春秋战国的大批数学成果，便是通过竹简流传下来的几何与逻辑墨经中讨论的几何概念可以看作数学理论研究在中国的最初尝试墨经是以墨翟 ( 约公元前 490- 前 405) 为首的墨家学派的著作，包括光学、力学、逻辑学、几何学等各方面问题它试图把形式逻辑用于几何研究，这是该书的显著特色在这一点上
2、，它同欧几里得 (Euclid，约公元前 330前 275) 几何原本相似，一些几何定义也与原本中的定义等价下面略举几例：(1) “平，同高也” - 两线间高相等，叫平这实际是平行线的定义(2) “同长， 以正相尽也” - 如果两条线段重合， 就叫同长(3) “中，同长也” - 到线段两端的距离相同的点叫中( 点 ) 第 1页(4) “圆，一中同长也” - 到一个中心距离相同的图形叫圆墨经中依次给出点、线、面等基本几何图形的定义，这些图形的名称分别为端、尺、区在研究线的过程中，墨家明确给出“有穷”及“无穷”的定义：“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”即：用线段去量一个区域，若能达到距边缘不足一
3、线的程度，叫有穷；若永远达不到这种程度，叫无穷墨经中还有一条重要记载：“小故，有之不必然，无之必不然大故，有之必然”用现代语言说，大故是“充分条件”而小故则是“必要条件”大故和小故的区分，在哲学史和数学史上都是十分重要的事件可惜的是，随着墨家的衰落，墨家数学理论在形成体系之前便夭折了算术到公元前四、五世纪时，分数已在中国广泛应用了，有些分数还有特殊名称，如叫半，叫少半，叫大半。位值制和整数四则运算已被熟练掌握， 考工记中还有简单的分数运算，例如（原书中用汉字表示）。春秋战国时代，“九九歌”已是家喻户晓的常识了 管子等书中便记载着九九歌诀，顺序与今不同，是从“九九八十一”起，到“一一如一”止至于
4、改为“一一如一”到“九第 2页九八十一”的 序， 是宋元 代的事情了 数学中“无限”的 有限与无限的矛盾，是数学中的一 基本矛盾 一 的不断深化，推 着古今数学的 展据 国 成 的庄子 ，惠施曾提出“至大无外， 之大一；至小无内， 之小一”的 点 其中“大一”、 “小一”可理解 无 大，无 小 段 的意思是：大到没有外部，称 无 大；小到没有内部，称 无 小 中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的著名命 ，可以看作是 “小一”的 一尺 的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下那一半的一半， 如此不断地取下去， 永 也取不完。即第一天取，第二天取，第 n 天取，不管 n 多大， 不 0，其中体 了物
5、 无限可分的思想。同庄子一 ， 墨 中也 了分割物体的 但墨家反 物 的无限可分他 ，如果把一条 段分成前后两半 ( 比如以左 前，以右 后) ，保留前半而弃去后半( 图 44 中 OB)，再弃去前半的后半( 即 CO)，如此不断地分割和取舍， 剩余部分小到不能再分 两半，就是端 (A 点 ) 如果采用前后取的 法，即第一次取 段前半，第二次取前半的后半，第三次取后半的前半，取到最后，也会出 一个不可分割的端， 个端在 段中 而不在 ( 位于 CO之间 ) ， 就是墨 所云“前 中无 半，犹端也；前后第 3页取，则端中也”很明显，这种思想与近代极限理论是相符的数学分析中用区间套来限定数轴上一个
6、实数点的方法与此类似所以，我们可以把这种分割思想看作区间套原理的雏型，其中蕴含着“点是线段无限分割之极限”的思想组合数学的萌芽组合数学虽是现代数学的分支，它的思想却可以追溯到遥远的古代春秋时期成书的易经便含有组合数学的萌芽易经是中国最古老的书籍之一，书中通过阴阳卦爻预言吉凶“ - ”是阳爻，“ - ”是阴爻，合称“两仪”每次取两个，按不同顺序排列，生成“四象”；每次取三个，生成八卦 ( 图 45) ；每次取六个，则生成六十四卦四象、人卦与六十四卦的排列，相当于组合数学中的有重排列：从n种元素中每次取r 个，共有nr 种排列法例如，在两种卦爻中每次取3 个，共有 238 种排列，这就是八卦德国数
7、学家莱布尼茨(GW Leibniz ， 1646-1716)发明二进制后不久，见到了传教士白晋(J Bouvet ， 1656-1730)从中国寄去的八卦莱布尼茨认为，八卦中蕴含着二进制思想，因此惊叹不已实际上，若把“ - ”和“ - ”两种卦爻用 1 和 0 代替，八卦就可表示为000( 坤 )001( 震 )010( 坎 )011( 兑 )100( 艮 )101( 离 )110( 巽 )111( 乾 )第 4页莱布尼茨 八卦是“流 于宇宙的科学中最古老的 念物”， 明“ 于中国人民 在是 得 幸的事情”，并因此 生 中国古代文明的崇敬， 烈地希望到中国来由于种种原因，他未能如愿，便托人把自
8、己 手制造的手 算机送往中国，成 中、德关系史上的一段佳 早期的数学工具- 算筹与 、矩算筹即用于 算的小竹棍( 也有木 、骨 或金属材料的算筹 ) ，它是中国人 造的 算工具春秋 国 代，算筹的使用已相当普遍， 中多有 ，如“孟子持筹而算之”(十 ) ，“善 者不用筹策”( 老子 ) ，等等1954年在 沙的一座 国楚墓中挖出一个竹筒，内装竹棍40 根， 短一致， 12 厘米，是 算筹之 物用筹 行 算称 筹算据文献 ，筹式有 横两种：( 中第一行 式，第二行 横式) 算筹的 法是 横相 ，从右到左：个位 ，十位 横，百位 ，千位 横，遇零 空位例如2561 成， 308 成筹算加减法与今珠
9、算 似，从左到右逐位相加或相减即可筹算乘除法的步 稍微复 一些二数相乘 ( 如 4836) ， 先用筹 一数于上，一数于下，并使下数的末位和上数首位 ( 图46(1) ，按从左到右的 序用上数首位乘下数各位，把乘得的 在上下二数中 ( 图 4 6(2) ，然后将上数的首位第 5页去掉、下数向右移动一位( 图 46(3) ，再以上数第二位乘下数各位，加入中间的乘积，并去掉上数第二位( 图46(4) 直到上数各位用完，中间的数便是结果筹算除法也分三层， 上层是商； 中层是被除数， 叫实；下层是除数，叫法算筹在中国数学史上占有非常重要的地位，在长达两千年的时间里，算筹一直是中国的主要计算工具，直到元明时代才逐渐被珠算所代替筹算的优点是简便、灵活，用一些小竹木棍便可进行复杂的计算它的缺点是中间步骤不能保留，因此不便于检验另外，过分依赖于算具，也不利于数学的符号化和抽象化（第 6页