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1、例 3、（2008 福建福州）如图 4，在反比例函数 y2（ x0 ） y的图象上，x2有点 P1， P2， P3， P4 ，它们的横坐标依次为1，2，3，4分y别过这些点xP1作 x 轴与 y 轴的垂线，图中所构成的P2P34阴 影 部 分 的 面 积 从 左 到 右 依 次 为 S1， S2， S3 ， 则POx1234S1S2 S3图 4评析：根据函数图象性质以及利用整体思想容易求得S1S2 S32-0.5=1.5,本题也可以分别直接计算 S1， S2， S3 再求和 .y例 4、（ 2007 福建福州）如图5，已知直线 y1 x 与双曲线A2yk (k 0) 交于 A，B 两点，且点
2、A 的横坐标为 4 OxxB（1）求 k 的值；（2）若双曲线 yk ( k 0) 上一点 C 的纵坐标为 8，图 5x求 AOC 的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线yk (k0)于 ，Q两点（P点在第一象限），若由点， ， ，xPA B P Q为顶点组成的四边形面积为24 ，求点 P 的坐标评析：这是一道压轴题，它以双曲线与三角形、四边形的面积主线。（1）k=8（2）思路一：如图51，补成矩形 DMON点 C 在双曲线上，当 y 8 时， x 1点 C 的坐标为 (18)， 过点 A，C 分别做 x 轴， y 轴的垂线，垂足为 M ， N ，图 5-1S矩形 ONDM32 ， S
3、ONC 4， SCDA9 ， SOAM4 yCS AOCS矩形ONDMSONCSCDASOAM32 49 415 A思路二：如图 5 2，O E Fx过点 C，A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E，F ，B则 S AOFS EOC1 k 4所以 S AOCS梯形 CEFA图 52解答如下 :2点 C 在双曲线 y8 上，当 y 8 时， x1x点 C 的坐标为 (18)， 点 C ， A 都在双曲线 y8 上，xS COES AOF 4S COES梯形 CEFASCOAS AOF SCOAS梯形 CEFA S梯形CEFA115 ，SCOA 15(2 8) 32（3）只要将以 A 、B、P、Q
4、为顶点平行四边形面积转化为三角形AOP 的面积即可，同时注意 P 点的位置，因此需要分类讨论。反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形，OP OQ ， OA OB 四边形 APBQ 是平行四边形y11AS POAS平行四边形 APBQ246 P44，得 P(m，8 ) 设点 P 横坐标为 m(m 0且 m 4)O E FxmB过点 P，A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E，F ，Q点 P，A 在双曲线上，S PQESAOF 4图 53若 0 m 4 ，如图 53，S POES梯形 PEFAS POASAOF ，S梯形PEFA S POA6 128 (4m)62my解得 m2 ， m8 （舍
5、去）P(2，4)A若 m 4，如图 54，S AOFS梯形 AFEPS AOP SPOE ，PO F E xQS梯形PEFAS POA6 128(m4)6，B2m图 5 4解得 m8 ， m2 （舍去）P(81)， 点 P 的坐标是 P(2，4) 或 P(81)， 例 5 （08 浙江湖州）已知：在矩形 AOBC 中，OB4 ，OB， OA 所在直线为 x 轴和 y 轴，建立如图 6-1 所示的系F 是边 BC 上的一个动点（不与 B， C 重合），过 FOA3 分别以平 面 直 角 坐 标点的反比例函数y k (k 0) 的图象与 AC 边交于点 E x（ 1 ） 求 证 ： AOE与 BO
6、F 的 面 积 相 等 ；图 6-1（ 2）记S，求当 k 为何值时， S 有最大值，最大值为S OEFS ECF多少？（3）请探索：是否存在这样的点 F ，使得将 CEF 沿 EF 对折后， C 点恰好落在 OB 上？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由评析：本题命题思路与例四类似，主要考查反比例函数yk( k0) 的图象性质与图形的面积等。x（1）证明：设 E( x1， y1 ) ， F (x2， y2 ) ， AOE 与 FOB 的面积分别为 S1 ， S2 ，由题意得 y1k ， y2k x1x2S11 x1 y11 k ， S21 x2 y21 k 2222S1S2 ，即
7、 AOE 与 FOB 的面积相等（2）由题意知： E， F 两点坐标分别为 Ek，3， Fk，34，4S ECF1 EC CF1 41 k 31 k，2234S EOFS矩形 AOBCS AOES BOFS ECF121 k1 kSECF12 k S ECF22S SOEFS ECF12 k2S ECF12k21 41 k31 k234S1 k 2k 12当 k16 时， S 有最大值1212S最大值131412（3）如图 6-2 ，存在符合条件的点 F ，它的坐标为21图 6-24，32例 6 （08 山东滨州）（1）探究新知：如图 7-1 ，已知 ABC与 ABD的面积相等，试判断 AB与
8、 CD的位置关系，并说明理由 .（2）结论应用：如图7-2 ，点M、N 在反比例函数y= k(k0) 的图象上，过点M作MEy轴，过x点 N 作 NFx 轴，垂足分别为E，F.试应用（ 1）中得到的结论证明：若中的其他条件不变，只改变点M，N 的位置MN与 EF 是否平行 .MNEF.如图7-3所示，请判断评析：这是一道设计新颖、培养学生探究能力的好题。（1）证明：分别过点C、 D 作 CGAB、DHAB.垂足为G 、H ，则CGADHB900.图 7-1CGDHABC与ABD 的面积相等CG=DH四边形 CGHD为平行四边形AB CD.（2）证明：连结 MF，NE设点 M 的坐标为 (x1,
9、 y1 ) ，点 N 的坐标为点 M，N 在反比例函数 y k k 0 的图象x x1 y1k ， x2 y2kMEy轴， NFx轴OE=yx21, OFS1 x y1 kEFM2 112S EFN1 x2 y21 k22S EFMS EFN由（ 1）中的结论可知： MNEF。MN EF。图 7-3三、反比例函数中的面积问题【例 3】（眉山市）如图 3，已知双曲线 yk (k0)经过直角x三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D，且与直角边 AB 相的坐标为（6 ，4），则 AOC 的面积为（）AA 12B9C 6D4C【解析】由 A（-6,4），可得 ABO 的面积为 1 6412 ，B2时由
10、于 D 为 OA 的中点，所以 D（ -3,2），可得反比例函数解析式为 y6，设 C（a，b），则 b6 ，xa( x2 , y2 ) ，上，图 7-2交于点C若点AyDOx同图 3 ab=-6，则 BO BC=6， CBO 的面积为 3，所以 AOC 的面积为 12-3=9【思路感悟 】过双曲线 yk 上任意一点分别作 x 轴、 y 轴的垂线，所得矩形的面积均为 k ，相应对角x线所分成的两个三角形的面积均为k 。2【迁移训练 】（泉州南安市）如图4 ，已知点 A 在双曲线 y= 6 上，且xOA=4 ，过 A 作 AC x 轴于 C，OA 的垂直平分线交OC 于 B（1）则 AOC 的面
11、积 =，（2）ABC 的周长为【迁移训练 】（河北省）如图 7，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 A， C 分别在坐标轴上，顶点 B 的坐标为（ 4，2）过点 D（ 0， 3）和 E（ 6，0）的直线分别与 AB， BC 交于点 M， N（1）求直线 DE 的解析式和点 M 的坐标；（2）若反比例函数ym （ x 0）的图象经过点 M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断x点 N 是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数 ym （x0）的图象与 MNB 有公共点，请直接写出 m 的取值范围xyDMABNOCEx14如图，双曲线 yk(k 0)经过矩形图 7OA
12、BC 的边 BC 的中点xE，交 AB 于点 D。若梯形 ODBC 的面积为 3，则双曲线的解析式为 ()17已知：如图，正比例函数yax 的图象与反比例函数yk 的图象交于点 A(3，2)x(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；(3)M(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中 0m3，过点 M 作直线 MB x 轴，交 y 轴于点B；过点 A 作直线 ACy 轴交于点 C，交直线 MB 于点 D当四边形 OADM 的面积为 6 时，请判断线段 BM 与 DM 的大小关系，并说明理由18如图，已知点A，B在双曲线yk( x0) 上， AC x 轴于点C，BD y 轴于点D，AC与BD交于x点 P，P 是 AC 的中点，若 ABP 的面积为 3，求 k 的值