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1、高中物理万有引力定律的应用专题训练答案一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1 如图所示， A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h.已知地球半径为 R，地球自转角速度为 0，地球表面的重力加速度为 g，O 为地球中心(1)求卫星 B 的运行周期(2)如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、 B 两卫星相距最近(O、B、 A 在同一直线上 )，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？(R + h)3t2【答案】 (1) TB = 2p(2)gR2gR2( Rh)30【解析】【详解】Mmm 42R h ， G Mm（1）由万有引力定律和向心力公式
2、得G22mg RhTBR2R3联立解得 ： TBh2R2 g（2）由题意得0 t 2 ，由得BgR2BR3ht2R2 g代入得30Rh2 如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v0 抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为 R，万有引力常量为G，求：（1）该星球表面的重力加速度；（ 2）该星球的密度；（ 3）该星球的第一宇宙速度 v；（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T【答案】 (1) 2v0 tan； (2)3v0 tan； (3)2v0Rtana ； (4) 2t2 GRtt【解析】【分析】【详
3、解】(1) 小球落在斜面上，根据平抛运动的规律可得：y1 gt22gttanv0t2v0x解得该星球表面的重力加速度：2v0 tangt(2)物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：GMmRtv0tanR2则该星球的质量：mggR 2MG该星球的密度：M3g3v0tan4R34 GR2 GRt3(3)根据万有引力提供向心力得：Mmv2GR2m R该星球的第一宙速度为：GM2v0 RtanavgRRt(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动时，运行周期最小，则有:T所以：2 RvtRtT2 R2v0 Rtanv0tan点睛：处理平抛运动的思路就是分解重力加速度g 是天体运动研究和
4、天体表面宏观物体运动研究联系的物理量3 地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为 R，地球自转周期为T，引力常量为G，求：（ 1）地球的质量 M；（ 2）同步卫星距离地面的高度h。【答案】 (1)(2)【解析】【详解】（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G解得地球质量为：M=；（2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期T，同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：解得：；【点睛】本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力，知道同步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力提供向心力是解
5、题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题4 如图所示， A 是地球的同步卫星另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内已知地球自转角速度为 0 ，地球质量为 M ， B 离地心距离为 r ，万有引力常量为 G， O 为地球中心，不考虑 A 和 B 之间的相互作用（图中 R、h 不是已知条件）（ 1）求卫星 A 的运行周期 TA（ 2）求 B 做圆周运动的周期 TB（3）如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B 两卫星相距最近（O、 B、 A 在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？2r3t2【答案】 （1） TA（ 2） TB2（ 3）GM0GMr30【解析】【分
6、析】【详解】（1） A 的周期与地球自转周期相同TA20GMmm( 2)2 r（2）设 B 的质量为 m， 对 B 由牛顿定律 :r 2TB解得： TBr 32GM（3） A、 B 再次相距最近时B 比 A 多转了一圈，则有： ( B0 ) t2t2GM解得：0r 3点睛：本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力，向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用；第3 问是圆周运动的的追击问题，距离最近时两星转过的角度之差为2的整数倍 5 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了L
7、MCX3 双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、 B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，（如图）所示引力常量为G，由观测能够得到可见星A 的速率 v 和运行周期T（ 1）可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA 可等效为位于 O 点处质量为 m的星体（视为质点）对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为 m1、 m2，试求 m（用 m1、 m2 表示）；（2）求暗星B 的质量 m2 与可见星A 的速率 v、运行周期T 和质量 m1 之间的关系式；（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms 的2 倍，它将有可能成为黑
8、洞若可见星A 的速率v2.7 105 m/s ，运行周期T4.7 104s，质量m1 6ms，试通过估算来判断暗星 B 有可能是黑洞吗？（G 6.67 1011N?m2/kg2 ， ms 2.0 103 kg）【答案】（ 1） m m23m23v3Tm1m22m1m222 G (3)有可能是黑洞【解析】试题分析：（1）设 A、B 圆轨道的半径分别为r1、 r2 ，由题意知， A、 B 的角速度相等，为0 ，有： FAm102r1 ， FBm2 02 r2 ，又 FAFB设 A、 B 之间的距离为 r，又 rr1r2由以上各式得，rm1m2 rm21由万有引力定律得FAG m1 m2r 2将 代
9、入得 FAGm1m23m2r12m1令 FA Gm1 m ，比较可得 m m232m1m22r1（2）由牛顿第二定律有：G m1mm1 v2r12r1又可见星的轨道半径r1vT2由得m23v3Tm222 Gm1（3）将 m16ms代入 m1m23v3Tm23v3Tm222 G 得 6ms m222 G 代入数据得m233.5ms 6ms2m2m23n2 ms 3.5ms设 m2nms，（ n 0）将其代入 式得，2m1m261nm23n=2 时得可见，2 的值随 n 的增大而增大，令6msm2n2 ms0.125ms 3.5ms61n要使 式成立，则 n 必须大于 2，即暗星 B 的质量 m2
10、 必须大于2m1 ，由此得出结论，暗星 B 有可能是黑洞考点：考查了万有引力定律的应用【名师点睛】本题计算量较大，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解，在万有引力这一块，设计的公式和物理量非常多，在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算6 宇航员王亚平在 “天宫一号 ”飞船内进行了我国首次太空授课若已知飞船绕地球做匀速圆周运动的周期为 T ，地球半径为 R ，地球表面重力加速度 g ，求：（ 1）地球的第一宇宙速度 v ；（ 2）飞船离
11、地面的高度 h 【答案】 （1） vgR （2） h3gR2T 2R42【解析】【详解】（1）根据 mgm v2 得地球的第一宇宙速度为：RvgR （2）根据万有引力提供向心力有：Mmh 42G2m R2 ，(R h)T又 GMgR2 ，解得： h3gR2T242R 72019 年 4 月 20 日 22 时 41 分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号 ”乙运载火箭，成功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为r 的匀速圆周运动。卫星的质量为 m，地球的半径为 R，地球表面的重力加速度大小为g，不计地球自转的影响。求：（1）卫星进入轨道后的加速度大小gr；（2）卫星的动能Ek。【
12、答案】（ 1） gR2 （ 2） mgR2r 22r【解析】【详解】(1)设地球的质量为M，对在地球表面质量为 m 的物体，有：GMmm gR2对卫星，有： G Mmmgrr 2gR2解得： grr 2(2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有：G Mmm v2r 2r卫星的动能为：Ek1 mv22mgR2解得： Ek2r8“天宫一号 ”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形，2017 年 6 月，“神舟十号 ”与 “太空一号 ”成功对接现已知 “太空一号 ”飞行器在轨运行周期为 To，运行速度为 v0 ，地球半径为 R，引力常量为 G.假设 “天宫一号 ”环绕地球做匀速
13、圖周运动，求：1 “天宫号 ”的轨道高度h2 地球的质量 M v0T0Rv03T0【答案】 (1) h(2) M22 G【解析】【详解】(1) 设“天宫一号”的轨道半径为r，则有：2rh r Rv0“天宫一号”的轨道高度为：T0即为：hv0T0R2(2) 对“天宫一号”有： GMmm4 2rr22T0所以有：Mv03T02 G【点睛】万有引力应用问题主要从以下两点入手：一是星表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力9 我国预计于2022 年建成自己的空间站。假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的倍，地球的半
14、径为R，地球表面的重力加速度为g。求：(1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。6【答案】 (1)(2)【解析】【详解】(1) 卫星在地球表面时，可知：空间站做匀速圆周运动时：其中联立解得线速度为：(2) 设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为T1 和 T2，则由开普勒第三定律有：其中：，解得：【点睛】本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动的参量。10 根据我国航天规划，未来某个时候将会在月球上建立基地，若从该基地发射一颗绕月卫星，该卫星绕月球做匀速圆周运动时距月球表面的高度为h，绕月球做圆周运动的周期为 T，月球半径为 R，引力常量为 G求：（1）月球的密度 ；（2）在月球上发射绕月卫星所需的最小速度v【答案】（ 1） 3(Rh)3（ 2） 2RhRhGT 2 R3TR【解析】【详解】(1)万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：Mm42G ( Rh) 2m T 2（ R+h），解得月球的质量为：M4 2 (Rh)3GT 2；则月球的密度为：M3(Rh)3；VGT 2 R3（2）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G Mmm v2，R2R2 RhRh解得： v；TR