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1、高中物理万有引力定律的应用及其解题技巧及练习题( 含答案 )一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1 如图轨道为地球同步卫星轨道，发射同步卫星的过程可以筒化为以下模型：先让卫星进入一个近地圆轨道（离地高度可忽略不计），经过轨道上P 点时点火加速，进入椭圆形转移轨道该椭圆轨道的近地点为圆轨道上的P 点，远地点为同步圆轨道上的Q 点到达远地点 Q 时再次点火加速，进入同步轨道已知引力常量为G ，地球质量为M ，地球半径为 R ，飞船质量为 m ，同步轨道距地面高度为h 当卫星距离地心的距离为 r 时，地球与卫星组成的系统的引力势能为EpGMm（取无穷远处的引力势能为r零），忽略地球自转和喷气后
2、飞船质量的変化，问：（ 1）在近地轨道上运行时，飞船的动能是多少？（ 2）若飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化已知飞船在椭圆轨道上运行中，经过P 点时的速率为v1 ，则经过 Q 点时的速率v2 多大？（ 3）若在近地圆轨道上运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器可以到达离地心无穷远处），则探测器离开飞船时的速度v3 （相对于地心）至少是多少？（探测器离开地球的过程中只有引力做功，动能转化为引力势能）【答案】（ 1） GMm （ 2） v122GM2GM （ 3）2GM2RR hRR【解析】【分析】（ 1）万有引力提供向
3、心力，求出速度，然后根据动能公式进行求解；（ 2）根据能量守恒进行求解即可；（ 3）将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围，动能全部用来克服引力做功转化为势能；【详解】（ 1）在近地轨道（离地高度忽略不计） 上运行时，在万有引力作用下做匀速圆周运动即： G mMm v2R2R则飞船的动能为Ek1mv2GMm ；22R（2）飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化由能量守恒可知动能的减少量等于势能的増加量：1mv121mv22GMm(GMm )22R hR若飞船在椭圆轨道上运行，经过P 点时速率为 v1 ，则经过 Q 点时速率为：v2v122GM2GM ；R hR（ 3
4、）若近地圆轨道运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器离地心的距离无穷远），动能全部用来克服引力做功转化为势能即： G Mm1 mv32R2则探测器离开飞船时的速度（相对于地心）至少是：v32GM R【点睛】本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，同时注意应用能量守恒定律进行求解2 土星是太阳系最大的行星，也是一个气态巨行星。图示为2017 年 7 月 13 日朱诺号飞行器近距离拍摄的土星表面的气体涡旋( 大红斑 ) ，假设朱诺号绕土星做匀速圆周运动，距离土星表面高度为h。土星视为球体，已知土星质量为M，半径为R，万有引力常量为G. 求
5、：1 土星表面的重力加速度 g；2 朱诺号的运行速度v；3 朱诺号的运行周期T。【答案】GMGMR h1 ?2 ?3 ?2 R hR2R hGM【解析】【分析】土星表面的重力等于万有引力可求得重力加速度；由万有引力提供向心力并分别用速度与周期表示向心力可求得速度与周期。【详解】Mm（1）土星表面的重力等于万有引力：G R2mgGM可得gR2（2）由万有引力提供向心力：Mmmv2G ( Rh)2RhGM可得： vhR（3）由万有引力提供向心力：GMmm Rh (2)2( Rh) 2T可得： T 2RhR hGM3天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星双星系统在银河系中很普
6、遍利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为 r，试推算这个双星系统的总质量（引力常量为G）【答案】【解析】设两颗恒星的质量分别为m1 、m2，做圆周运动的半径分别为r1、 r2，角速度分别为w ,w根据题意有12w =w （1 分）12r +r =r （ 1 分）12根据万有引力定律和牛顿定律，有G （ 3分）G（ 3 分）联立以上各式解得（ 2 分）根据解速度与周期的关系知（ 2 分）联立 式解得（3 分）本题考查天体运动中的双星问题，两星球间的相互作用力提供向心力，周期和角速度
7、相同，由万有引力提供向心力列式求解4 一颗在赤道平面内飞行的人造地球卫星，其轨道半径为3R已知 R 为地球半径，地球表面处重力加速度为（ 1）求该卫星的运行周期（ 2）若卫星在运动方向与地球自转方向相同，且卫星角速度大于地球自转的角速度0某时刻该卫星出现在赤道上某建筑物的正上方，问：至少经过多长时间，它会再一次出现在该建筑物的正上方？【答案】（ 1） T63RVt21g（2）g33R0【解析】【分析】【详解】（1）对卫星运用万有引力定律和牛顿运动定律可得G Mm2 m 4 23R3RT2地球表面的物体受到重力等于万有引力mg GMm2R3R；联立解得 T6g（ 2）以地面为参照物，卫星再次出现
8、在建筑物上方时，建筑物随地球转过的弧度比卫星转过弧度少 21t -0t=2，V 222t21g；所以10T0033R5 某课外小组经长期观测，发现靠近某行星周围有众多卫星，且相对均匀地分布于行星周围，假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离行星最近的一颗卫星的运动半径为R1，周期为T1，已知万有引力常量为G。求：(1)行星的质量；(2)若行星的半径为R，行星的第一宇宙速度大小；(3)研究某一个离行星很远的该行星卫星时，可以把该行星的其它卫星与行星整体作为中心天体处理。现通过天文观测，发现离该行星很远处还有一颗卫星，其运动半径为R2，周期为 T2，试估算靠近行星周围众多卫
9、星的总质量。【答案】 （1）（ 2）（ 3）【解析】 （1）根据万有引力提供向心力得：解得行星质量为：M=（2）由得第一宇宙速度为：（ 3）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体，根据万有引力提供向心力得：所以行星和其他卫星的总质量M 总所以靠近该行星周围的众多卫星的总质量为：M 点睛：根据万有引力提供向心力，列出等式只能求出中心体的质量要求出行星的质量，我们可以在行星周围找一颗卫星研究，即把行星当成中心体6 经过逾 6 个月的飞行，质量为 40kg 的洞察号火星探测器终于在北京时间2018 年 11 月27 日 03： 56 在火星安全着陆。着陆器到达距
10、火星表面高度800m 时速度为60m/s ，在着陆器底部的火箭助推器作用下开始做匀减速直线运动；当高度下降到距火星表面100m 时速度减为 10m/s 。该过程探测器沿竖直方向运动，不计探测器质量的变化及火星表面的大气阻力，已知火星的质量和半径分别为地球的十分之一和二分之一，地球表面的重力加速度为 g = 10m/s2。求：(1)火星表面重力加速度的大小；(2)火箭助推器对洞察号作用力的大小.【答案】 (1) g火 =4m/s2(2)F=260N【解析】【分析】火星表面或地球表面的万有引力等于重力，列式可求解火星表面的重力加速度；根据运动公式求解下落的加速度，然后根据牛顿第二定律求解火箭助推器
11、对洞察号作用力.【详解】（1）设火星表面的重力加速度为g 火 ，则 GM 火m=mg火r火2GM 地 m=mgr地2解得 g 火=0.4g=4m/s 2（2）着陆下降的高度： h=h 1-h2=700m，设该过程的加速度为av22-v1 2=2ah，则由牛顿第二定律：mg 火 -F=ma解得 F=260N7 用弹簧秤可以称量一个相对于地球静止的小物体m 所受的重力，称量结果随地理位置的变化可能会有所不同。已知地球质量为M ，自转周期为T，万有引力常量为G将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。（1）求在地球北极地面称量时弹簧秤的读数F0，及在北极上空高出地面0.1R 处称量时弹簧秤的读数F1；
12、（2）求在赤道地面称量时弹簧秤的读数F2；（3）事实上地球更接近一个椭球体，如图所示。如果把小物体放在北纬40的地球表面上，请定性画出小物体的受力分析图，并画出合力。MmF1GMmG Mmm 42R【答案】（ 1） F0G22 （ 2） F2T 2RR 0.1RR2（ 3）【解析】【详解】（1）在地球北极，不考虑地球自转，则弹簧秤称得的重力则为其万有引力，有：GmMF0R2在北极上空高处地面0.1R 处弹簧秤的读数为： F1GmM2 ；0.1R)( R（2）在赤道地面上，重力向向心力之和等于万有引力，故称量时弹簧秤的读数为：GmM4 2 RmF2T 2R2（3）如图所示8 侦察卫星在通过地球两
13、极上空的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高为h ,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来,卫星在通过赤道上空时,卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为,R 地面处的重力加速度为 g ,地球自转的周期为 T 4 2( h R) 3【答案】 lgT【解析】【分析】【详解】设卫星周期为 T1 ,那么 :Mm4 2m( R h), G2T12( R h)又G Mmmg , R2由得T12( h R) 3R.g设卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长为l ,地球自转周期为T ,要使卫星在一天(地球自转周期)的时间内将赤道各处的情况全都拍摄下
14、来,则TT1所以l2R .2 RT14 2(h R)3lT.Tg【点睛】摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星周期；由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间内，地球转过的圆心角，再根据弧长与圆心角的关系求解9“天宫一号 ”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形，2017 年 6 月，“神舟十号 ”与 “太空一号 ”成功对接现已知 “太空一号 ”飞行器在轨运行周期为 To，运行速度为 v0 ，地球半径为 R，引力常量为 G.假设 “天宫一号 ”环绕地球做匀速圖周运动，求：1 “天宫号 ”的轨道高度h2 地球的质量
15、M 【答案】 (1)v0T0Rv03T0h(2) M22 G【解析】【详解】(1) 设“天宫一号”的轨道半径为r，则有：2r“天宫一号”的轨道高度为：h r Rv0T0即为：hv0T0R2GMm4 2r(2) 对“天宫一号”有：r 2m T02所以有：Mv03T02 G【点睛】万有引力应用问题主要从以下两点入手：一是星表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力10 阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题(1)以下是地球和太阳的有关数据(2)己知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为v 7.9km/s ，万有引力常量G6.67 l0113 1 28 1s，光速 C 3 ；m kg1
16、0ms(3)大约 200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球，直径为太阳250倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它，其逃逸速度大于真空中的光速（逃逸速度为第一宇宙速度的2 倍），这一奇怪的星体就叫作黑洞在下列问题中，把星体（包括黑洞）看作是一个质量分布均匀的球体（的计算结果用科学计数法表达，且保留一位有效数字；的推导结论用字母表达）试估算地球的质量；试估算太阳表面的重力加速度；己知某星体演变为黑洞时的质量为M，求该星体演变为黑洞时的临界半径R241032（3）2GM【答案】 （1） 610 kg（ 2） 3m / sC2【解析】GM 地 m2(1)物体绕地球表面做匀速圆周运动R地2m vR解得： MR地 v2 6 1024kgG(2)在地球表面GM 地 mmg地R地2解得： g地GM 地R地2同理在太阳表面GM日g日R日22g日M 日R地2 g地3 103 m / s2M 地 R日(3)第一宇宙速度 GMmm v12R2R第二宇宙速度 v2c2v12GM解得：RC 2【点睛 】本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速