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1、最新 料推荐圆锥曲线一、知识结构1. 方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹) 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 . 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 .点与曲线的关系若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x 0,y 0) 在曲线 C上f(x 0,y 0)=0 ；点 P0(x 0,y 0) 不在曲线C 上f(x 0,y 0) 0两条曲线的交点若曲线 C1， C2 的方程分别为f 1(x,y)=0,f2(x,y
2、)=0,则f1(x 0,y 0)=0点 P0(x 0,y 0) 是 C1， C2 的交点f2(x ,y) =000方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点 .- 1 -最新 料推荐2. 圆圆的定义：点集： M OM =r ，其中定点O为圆心，定长r 为半径 .圆的方程：(1) 标准方程圆心在 c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b) 2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x2+y2=r 2(2) 一般方程当 D2+E2-4F 0 时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆 的一 般方 程，圆心为 (- D
3、,-E ），半 径是D 2E2 - 4F . 配方 ，将 方程222x2+y2+Dx+Ey+F=0化为D2E 2 D 2E2 - 4F(x+) +(y+) =4222 2当 D +E -4F=0 时，方程表示一个点(-D ,- E );22当 D2+E2-4F 0 时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为 r, 点 M的坐标为 (x 0,y 0) ，则MC r点 M在圆 C 内， MC =r点 M在圆 C 上， MC r点 M在圆 C内，其中 MC=(x 0 - a)2(y 0 - b)2 .(3) 直线和圆的位置关系直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相
4、交有两个公共点直线与圆相切有一个公共点直线与圆相离 没有公共点直线和圆的位置关系的判定(i) 判别式法AaBbC(ii)利用圆心 C(a,b) 到直线 Ax+By+C=0的距离 d=与半径 r 的大小关系来判A2B 2定 .- 2 -最新 料推荐3. 椭圆、双曲线和抛物线基本知识曲线性椭圆双曲线质轨迹条件M MF1 + MF2 M MF1 - MF2 .=2a, F1F2 2a=2a, F2F2 2a.圆形抛物线M MF =点 M 到直线 l 的距离 .x2y 2=1(a b 0)标准方程+a2b2A1(-a,0),A 2(a,0);顶点(0,b)B (0,-b),B12对称轴 x=0,y=0
5、轴长轴长： 2a短轴长： 2b焦点F1(-c,0),F 2(c,0)x2y 2a2-b2 =1(a 0,b 0)A1 (0,-a),A2(0,a)对称轴 x=0,y=0实轴长： 2a 虚轴长： 2bF1 (-c,0),F2(c,0)y2 =2px(p 0)O(0,0)对称轴 y=0F( P ，0)2焦点在长轴上焦点在实轴上 F1F2 =2c， F1F2=2c,焦距c= a2 b2c= a2 - b2焦点对称轴上a2a 2x=-px=x=cc准线准线垂直于长轴，且在准线垂直于实轴，且在两椭圆外 .顶点的内侧 .离心率e= c ,0 e 1e= c ,e 1aa2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的
6、距离相等 .e=1- 3 -最新 料推荐4. 圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点F(c,0) 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率 .当 0 e 1 时，轨迹为椭圆，当e=1 时，轨迹为抛物线当e1 时，轨迹为双曲线5. 坐标变换坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换( 如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换 . 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程 .坐标轴的平移坐标轴的
7、方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴 .坐标轴的平移公式设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy 中的坐标是 9x,y)，在新坐标系 x Oy中的坐标是(x ,y ). 设新坐标系的原点O在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k) ，则x=x+hx=x-h(1)或 (2)y=y+ky=y-k公式 (1) 或 (2) 叫做平移 ( 或移轴 ) 公式 .中心或顶点在 (h,k)的圆锥曲线方程见下表 .方程焦点焦线对称轴(x - h)2+ (y - k)2x= a2x=h=1( c+h,k)+hy=ka 2b 2c椭圆222(x - h)+ (y - k)y
8、= ax=h=1(h, c+k)+kb2a2cy=k(x - h)2- (y - k)2= a2+kx=h=1( c+h,k)a 2b 2cy=k双曲线222(y - k)- (x - h)y= ax=h=1(h,c+h)+ka2b2cy=k(y-k)2=2p(x-h)( p +h,k)x=-p +hy=k22(-px=p+h(y-k)2+h,k)y=k=-2p(x-h)22抛物线p +k)p +k(x-h)2=2p(y-k)(h,y=-x=h22(x-h)2=-2p(y-k)(h,-py=p+kx=h+k)22- 4 -最新 料推荐二、知识点、能力点提示( 一) 曲线和方程，由已知条件列出曲
9、线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简. 特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误. 另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. (3)掌握抛物线
10、的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. (4)了解圆锥曲线的初步应用。四对考试大纲的理解高考圆锥曲线试题一般有 3 题 (1 个选择题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 ), 共计 22 分左右 , 考查的知识点约为 20 个左右 . 其命题一般紧扣课本 , 突出重点 , 全面考查 . 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主 , 难度在中等以下， 一般较容易得分， 解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结
11、合平面向量进行求解，在复习应充分重视。- 5 -最新 料推荐求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量 ”的步骤 .定形 指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式 根据 “形 ”设方程的形式， 注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，
12、可设方程为mx2+ny2=1( m 0,n 0).定量 由题设中的条件找到“式 ”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.【例题】【例 1】 双曲线 x22y 2 =1( b N )的两个焦点 F 1、 F2， P 为双曲线上一点，4b|OP| 5,|PF1 |,|F1 F2 |,|PF 2|成等比数列，则b2=_.解：设 F 1( c,0）、 F 2(c,0)、 P(x,y),则|PF 1|2+|PF2|2=2(| PO|2+|F 1O|2) 2(52+c2),即 |PF 1|2+|PF 2|2 50+2c2,222又 |PF 1| +|PF2| =(|PF 1| |PF2|) +2|
13、PF1| |PF 2|,依双曲线定义，有|PF 1| |PF2|=4,依已知条件有|PF1| |PF2|=|F 1F 2|2=4c2 16+8c250+2 c2, c2 17 ,3又 c2=4+ b2 17 ,b2 5 , b2=1.33【例 2】 已知圆 C1 的方程为 x2 2y 1 2 20 ，椭圆 C2 的方程为3x 2y 21ab0，C2 的离心率为2 ，如果 C1 与 C2 相交于 A、 B 两点，且线段AB 恰a 2b22为圆 C1 的直径，求直线AB 的方程和椭圆C2 的方程。解：由2c2 2222ye, 得,a2,bc.a2c2设椭圆方程为x2y21.A2b 2b 2设 A(
14、x , y ).B(x2, y ).由圆心为 (2,1).C1112x1x24, y1y22.FOF1x又 x12y121, x22y222B1,2b2b 22b 2b2- 6 -最新 料推荐两式相减，得x12x22y12y 220.2b2b2(x1x2 )( x1 x2 ) 2( y1 y2 )( y1y2 ) 0,又 x1x24.y1 y22.得 y1y21.x1x2直线 AB的方程为y1( x2).即 yx3将 yx 3代入 x 2y 21,得2b2b 23x 212 x 18 2b20.直线 AB与椭圆 C2 相交 .24b 2720.由 AB2 x1x22 ( x1x2 )24x1
15、x220 .3得224b 27220 .33解得b 28.故所有椭圆方程x2y21.168【例 3】 过点 (1， 0)的直线 l与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为2 的椭圆 C2相交于 A、B 两点，直线 y= 1x 过线段 AB 的中点，同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于2直线 l 对称，试求直线l 与椭圆 C 的方程 .解法一：由 e= c2 ,得 a 2b 21 ,从而 a2=2 b2,c=b.a2a 22设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2) 在椭圆上 .则 x12+2 y1 2=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12 x22)+2
16、( y12 y22)=0, y1y2x1x2.x1x22( y1y2 )设 AB 中点为 (x0,y0),则 kAB= x0,y2 y0111y=xB2又 (x0,y0)在直线 y= x 上， y0= x0,22于是x0 = 1,kAB=1,2y0F2oF 1x设 l 的方程为 y= x+1.A右焦点 (b,0)关于 l 的对称点设为 (x,y),- 7 -最新 料推荐y1则 x bx1解得yx by1 b212由点 (1,1 b)在椭圆上，得 1+2(1 b)2=2 b2,b2=9 ,a 29.168所求椭圆 C 的方程为8x 216y 2 =1,l 的方程为 y= x+1.99解法二：由
17、e= c2, 得 a 2b 21 ,从而 a2=2 b2 ,c=b.a2a 22设椭圆 C 的方程为 x2+2 y2=2 b2,l 的方程为y=k(x 1),将 l 的方程代入 C 的方程，得 (1+2k2)x2 4k2 x+2k22b2=0,则 x1+x2=4k 2,y1+y2=k(x1 1)+k(x2 1)= k(x1+x2) 2k=2k.2212k12k直线 l ： y=1x1x2 y1y2k12k 22x 过 AB 的中点 (2,2),则12k 2212k 2,解得 k=0，或 k= 1.若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是F 点本身，不能
18、在椭圆 C 上，所以 k=0 舍去，从而 k= 1，直线 l 的方程为 y= (x 1),即 y= x+1, 以下同解法一 .解法 3：设椭圆方程为x2y21(a b0) (1)a2b 2直线 l不平行于 y 轴，否则 AB 中点在 x 轴上与直线 y1 x过 AB 中点矛盾。2故可设直线 l 的方程为 y k( x1) ( 2)(2)代入 (1)消 y整理得： (k 2a 2b 2 )x 22k 2 a 2 xa2 k 2a 2b 20 (3)设A(x1，y1 ) B(x2，y2 ) ， 知： x1x22k 2a 2k 2 a 2b 2又y1y 2k (x1x 2 )2k代入上式得：k2k1
19、，kk 2a 2b 21，k kb21， 又 e2x222k2k 2 a 22ka222x1k2b 22(a 2c 2 )22e21 ，直线 l的方程为 y1x ，a 2a 2此时 a 22b 2 ， 方程 (3)化为 3x24x22b 20 ，1624 (1b 2 )8(3b 21) 0b3，椭圆 C的方程可写成： x 22 y 22b 2 ( 4)，又 c 2a 2b 2b 2 ，3右焦点 F (b，0) ， 设点 F关于直线 l 的对称点 ( x0， y0 ) ，- 8 -最新 料推荐y01x0b则x0， y01b ，y0x0 b1122又点 (1，1b)在椭圆上，代入(4)得：2(1
20、b) 2b2，33，1b34b 29 ，a 29168所以所求的椭圆方程为：x2y219 98 16【例 4】 如图，已知 P1 OP2 的面积为27 ， P 为线段 P1P2 的一个三等分点，求以直4线 OP1、 OP2 为渐近线且过点P 的离心率为13 的双曲线方程 .2解：以 O 为原点， P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系 .设双曲线方程为x 2y 2=1( a 0,b 0)ya 2b 2P 22 c21 (b2(13)2，得b3.由 e =2)2a2aa两渐近线 OP1、 OP2 方程分别为 y= 3x 和 y= 3xP22设点 P1(x1,3x1),P2(x2
21、, 3 x2)(x1 0,x20),ox22P 1则由点 P 分 P1 P2 所成的比 = P1P =2,PP2得 P 点坐标为 (x12x2,x12 x2),3224 y 2=1 上，又点 P 在双曲线 x 29a2a所以 ( x12x2 )2(x12x2 ) 2=1,9a29a 2即 (x1+2x2)2 (x1 2x2)2 =9a2,整理得 8x1x2=9 a2又2921329213x14 x12x1,| OP |x24 x22x2| OP1 |2 tan P Ox23122sin P1OP211tan2 P1Ox19134S P OP1 | OP1 | | OP2 | sin P1OP2
22、113 x1 x21227 ,122241349即 x1x2=2- 9 -最新 料推荐由、得 a2=4,b2=9故双曲线方程为x2y24=1.9【例 5】 过椭圆 C： y2x 2 1(a b 0)上一动点 P 引圆 O： x2 +y2 =b2 的两条切线a2b 2PA、 PB，A、B 为切点，直线AB 与 x 轴， y 轴分别交于 M 、N 两点。 (1) 已知 P 点坐标为(x0，y0 )并且 x0y0 0，试求直线 AB 方程； (2)若椭圆的短轴长为8，并且a 2b225，求椭圆 C 的方程； (3) 椭圆 C 上| OM |2|ON |2 16是否存在点P，由 P 向圆 O 所引两条
23、切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。解： (1) 设 A(x1，y1)， B(x2， y2)切线 PA： x1 x y1 yb 2 ，PB： x 2 x y2 y b2 P 点在切线 PA、 PB 上， x1x0y1 y 0b2x2 x0y2 y 0b2直线 AB 的方程为 x0 xy0 yb 2 (x0 y 00)(2)在直线 AB 方程中，令 y=0，则 M( b 2， 0)；令 x=0，则 N(0， b 2)x0y 0a 2b2a 2y 02x02a225| OM |2|ON |2b 2 ( a 2b2 )b216 2b=8 b=4 代入得 a2 =25, b2 =16椭圆 C 方程： y2x21( xy0)（注：不剔除xy 0，