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1、【物理】高考必备物理万有引力定律的应用技巧全解及练习题( 含答案 ) 及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1“天宫一号 ”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形2013 年 6 月，“神舟十号 ”与 “天宫一号 ”成功对接， 6 月 20 日 3 位航天员为全国中学生上了一节生动的物理课已知 “天宫一号 ”飞行器运行周期T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g， “天宫一号 ”环绕地球做匀速圆周运动，万有引力常量为G求：(1)地球的密度；(2)地球的第一宇宙速度v；(3) 天“宫一号 ”距离地球表面的高度【答案】 (1)3g(2)vgR (3)h3gT2 R2R4 G
2、R42【解析】（1）在地球表面重力与万有引力相等：Mmmg ，GR2MM地球密度：V4 R33解得：3g4 GR（2）第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，mgm v2RvgR（3）天宫一号的轨道半径 rRh，Mmh 42据万有引力提供圆周运动向心力有：G2 m R2，R hT解得： h3gT 2 R2R242 一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为常量为 G，行星半径为求：r，周期为T，引力(1)行星的质量M；(2)行星表面的重力加速度g ；(3)行星的第一宇宙速度v【答案】 （1）（ 2）（ 3）【解析】【详解】(1)设宇宙飞船的质量为m，根据万有引力定律求出行星质量(2)
3、在行星表面求出 :(3)在行星表面求出 :【点睛】本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力3 对某行星的一颗卫星进行观测，运行的轨迹是半径为r 的圆周，周期为T，已知万有引力常量为G求：（ 1）该行星的质量（ 2）测得行星的半径为卫星轨道半径的十分之一，则此行星的表面重力加速度有多大？4 2 r 34002 r【答案】（ 1） M2（2） g2GTT【解析】（1）卫星围绕地球做匀速圆周运动，由地球对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力则有：Mm4 2，可得4 2r 3Gr 2m T 2rMGT 2（2）由GMmmg，则得： gGM400 2 r(1 2100T 2r )
4、r2104 宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示设这三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G， 则 :（ 1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少?（ 2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?L3（ 2）3Gm【答案】（ 1） 4L35Gm【解析】【分析】（ 1）两侧的星由另外两个星的
5、万有引力的合力提供向心力，列式求解周期；（ 2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度；【详解】（ 1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：Gm2(2 L)2Gm2L2m( 2T2) LL3T45Gm（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗L星，满足：Gm222L2 cos30m (cos30)解得：3Gm=L35 我国科学家正在研究设计返回式月球软着陆器，计划在2030 年前后实现航天员登月，对月球进行科学探测。宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度 v0 水平抛出小球，测量出小球的水平射
6、程为L(这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R，万有引力常量为 G。(1)试求月球表面处的重力加速度g.(2)试求月球的质量M(3)字航员着陆后，发射了一颗绕月球表面做匀速圆周运动的卫星，周期为T，试求月球的平均密度 .【答案】（ 1）g2hv02 （ 2）M2hv02R2 （ 3）3L2GL2GT 2【解析】【详解】（1）根据题目可得小球做平抛运动,水平位移 : v0t=L1gt2竖直位移 :h=2联立可得 : g2hv02L2（2）根据万有引力黄金代换式G mM mg ，R2gR22hv02 R2可得 MGL2G（3）根据万有引力公式G mM m 42R ；可得 M4 2R3，R
7、2T 2GT 2而星球密度M , V4 R3V3联立可得3GT 26 一名宇航员抵达一半径为R 的星球表面后，为了测定该星球的质量，做下实验：将一个小球从该星球表面某位置以初速度v 竖直向上抛出，小球在空中运动一间后又落回原抛出位置，测得小球在空中运动的时间为t，已知万有引力恒量为G，不计阻力，试根据题中所提供的条件和测量结果，求：（1）该星球表面的“重力”加速度g 的大小；（2）该星球的质量M；（3）如果在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行周期T 为多大？【答案】 （1） g2v2vR2Rt（ 2） Mt（ 3） T 2Gt2v【解析】【详解】（1）由运动学公式得：
8、t 2vg解得该星球表面的“” 2v重力 加速度的大小gt（2）质量为m 的物体在该星球表面上受到的万有引力近似等于物体受到的重力，则对该星球表面上的物体，由牛顿第二定律和万有引力定律得：mg G mMR2解得该星球的质量为2vR2MGt（3）当某个质量为m的卫星做匀速圆周运动的半径等于该星球的半径R 时，该卫星运行的周期 T 最小，则由牛顿第二定律和万有引力定律m M4 2 m RG 22RT解得该卫星运行的最小周期RtT22v【点睛】重力加速度 g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由万
9、有引力提供7 侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高为h ,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来,卫星在通过赤道上空时,卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为 R ,地面处的重力加速度为 g ,地球自转的周期为 T 4 2( h R) 3【答案】 lgT【解析】【分析】【详解】设卫星周期为 T1 ,那么 :Mm4 2m( R h), G2T12( R h)又MmGR2mg , 由得2( h R) 3T1.Rg设卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长为l ,地球自转周期为T ,要使卫星在一天(地球自转周期)
10、的时间内将赤道各处的情况全都拍摄下来,则Tl2R .T1所以2 RT4 2(h R)3l1.TTg【点睛】摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星周期；由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间内，地球转过的圆心角，再根据弧长与圆心角的关系求解8 我国航天事业的了令世界瞩目的成就，其中嫦娥三号探测器与2013 年 12 月 2 日凌晨 1点 30 分在四川省西昌卫星发射中心发射， 2013 年 12 月 6 日傍晚 17 点 53 分，嫦娥三号成功实施近月制动顺利进入环月轨道，它绕月球运行的轨道可近似看作圆周，如图所示，设嫦娥三
11、号运行的轨道半径为r，周期为 T，月球半径为 R(1)嫦娥三号做匀速圆周运动的速度大小(2)月球表面的重力加速度(3)月球的第一宇宙速度多大2 r； (2)4 2r 3； (3)4 2 r 3【答案】 (1)T 2 R2T 2 RT【解析】【详解】(1)嫦娥三号做匀速圆周运动线速度：2rvrT(2)由重力等于万有引力：GMmR2对于嫦娥三号由万有引力等于向心力：mgGMmm4 2rr 2T 2联立可得：4 2r 3gT 2 R2(3)第一宇宙速度为沿月表运动的速度：GMmmv2R2mgR可得月球的第一宇宙速度：42 r 3vgR2 RT9 我国预计于2022 年建成自己的空间站。假设未来我国空
12、间站绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。求：(1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。【答案】 (1)(2)【解析】【详解】(1) 卫星在地球表面时，可知：空间站做匀速圆周运动时：其中联立解得线速度为：(2) 设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为T1 和 T2，则由开普勒第三定律有：其中：，解得：【点睛】本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动的参量。10 今年 6 月 13 日，我国首
13、颗地球同步轨道高分辨率对地观测卫星高分四号正式投入使用，这也是世界上地球同步轨道分辨率最高的对地观测卫星如图所示，A 是地球的同步卫星，已知地球半径为R，地球自转的周期为T，地球表面的重力加速度为g,求：（ 1）同步卫星离地面高度 h（ 2）地球的密度 (已知引力常量为 G)223g【答案】（ 1） 3 gR TR （ 2）4 24 GR【解析】【分析】【详解】（ 1）设地球质量为 M，卫星质量为 m，地球同步卫星到地面的高度为 h，同步卫星所受万有引力等于向心力为G mM4 2 R hm( R h)2T2在地球表面上引力等于重力为MmGR2mg故地球同步卫星离地面的高度为h3gR2T242R（2）根据在地球表面上引力等于重力MmGR2mg结合密度公式为gR2MG3gV 4 R34 GR3