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1、最新物理万有引力与航天易错剖析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星双星系统在银河系中很普遍利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量（引力常量为G）【答案】【解析】设两颗恒星的质量分别为m1 、m2，做圆周运动的半径分别为r1、 r2，角速度分别为w ,w根据题意有12w1=w2 （1 分）r +r =r （ 1 分）12根据万有引力定律和牛顿定律，有G （ 3分）G （ 3 分）联立以上
2、各式解得（ 2 分）根据解速度与周期的关系知（ 2 分）联立 式解得（3 分）本题考查天体运动中的双星问题，两星球间的相互作用力提供向心力，周期和角速度相同，由万有引力提供向心力列式求解2a、 b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为 3R，己知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求：（ 1） a、 b 两颗卫星周期分别是多少？（ 2） a、 b 两颗卫星速度之比是多少？（ 3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同 -点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？【答案】 （1） 2R ， 16R （ 2）速度之比为2 ；8Rgg7g【解析】【分析】根
3、据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解；解：（ 1）卫星做匀速圆周运动，F引F向 ，Mm对地面上的物体由黄金代换式GmgGMm4 2a 卫星R2m Ta2 R解得 Ta2Rgb 卫星GMm4 24R(4 R)2m2Tb解得 Tb16Rg（2）卫星做匀速圆周运动，F引F向 ，a 卫星 GMmmva2R2R解得 vGMaRb 卫星 b 卫星 G Mmm v2(4 R)24R解得 v bGM4RVa2所以Vb2 2（ 3）最远的条件 Ta Tb解得 t8R7g3 土星
4、是太阳系最大的行星，也是一个气态巨行星。图示为2017 年 7 月 13 日朱诺号飞行器近距离拍摄的土星表面的气体涡旋( 大红斑 ) ，假设朱诺号绕土星做匀速圆周运动，距离土星表面高度为h。土星视为球体，已知土星质量为M，半径为R，万有引力常量为G. 求：1 土星表面的重力加速度g；23朱诺号的运行速度v；朱诺号的运行周期T。【答案】GMGMR h1 ?2 ?3 ?2 R hR2R hGM【解析】【分析】土星表面的重力等于万有引力可求得重力加速度；由万有引力提供向心力并分别用速度与周期表示向心力可求得速度与周期。【详解】Mm（1）土星表面的重力等于万有引力：G R2mgGM可得 gR2（2）由
5、万有引力提供向心力：Mmmv2Gh)2Rh( RGM可得： vhR（3）由万有引力提供向心力：GMmm Rh ( 2 )2( Rh) 2T可得： T 2RhR hGM4 某星球半径为 R 6 106 m ，假设该星球表面上有一倾角为30 的固定斜面体，一质量为 m 1kg 的小物块在力 F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F 始终与斜面平行，如图甲所示已知小物块和斜面间的动摩擦因数3 ，力 F 随位移 x 变化的规律3如图乙所示（取沿斜面向上为正方向）已知小物块运动12m时速度恰好为零，万有引力常量 G6.6710 11 N?m 2 /kg 2 ，求（计算结果均保留一位有效数字）（1）该星球
6、表面上的重力加速度g 的大小；（2）该星球的平均密度【答案】 g 6m / s2 ，【解析】【分析】【详解】（1）对物块受力分析如图所示；假设该星球表面的重力加速度为g，根据动能定理，小物块在力F1 作用过程中有：F1s1fs1mgs1 sin1mv202N mgcosfN小物块在力 F2 作用过程中有：F2s2fs2mgs2 sin01 mv22由题图可知： F1 15N， s16?m； F23?N， s2 6?m整理可以得到：(2)根据万有引力等于重力：，则：，代入数据得5 设地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响若把一质量为m
7、 的物体放在地球表面的不同位置，由于地球自转，它对地面的压力会有所不同（1）若把物体放在北极的地表，求该物体对地表压力的大小F1；（2）若把物体放在赤道的地表，求该物体对地表压力的大小F2；（3）假设要发射一颗卫星，要求卫星定位于第（2）问所述物体的上方，且与物体间距离始终不变，请说明该卫星的轨道特点并求出卫星距地面的高度hGMm（ 2）F2GMm4 23GMT2【答案】（ 1）R2R2m2 R （ 3） h4 2RT【解析】【详解】(1) 物体放在北极的地表，根据万有引力等于重力可得：G MmmgR2物体相对地心是静止的则有：F1mg ，因此有： F1G MmR2(2)放在赤道表面的物体相对
8、地心做圆周运动，根据牛顿第二定律：GMmF2m4 2R22RT解得： F2Mm4 2RG2m2RT(3)为满足题目要求，该卫星的轨道平面必须在赤道平面内，且做圆周运动的周期等于地球自转周期 TMm4 2以卫星为研究对象，根据牛顿第二定律：G2m 2 (R h)( R h)T解得卫星距地面的高度为：h3GMT 2R426 地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为 R，地球自转周期为T，引力常量为G，求：（ 1）地球的质量 M；（ 2）同步卫星距离地面的高度h。【答案】 (1)(2)【解析】【详解】（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G
9、解得地球质量为：M=；（2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期T，同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：解得：【点睛】；本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力，知道同步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力提供向心力是解题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题7 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3 双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、 B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周
10、运动，它们之间的距离保持不变，（如图）所示引力常量为G，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T（ 1）可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA 可等效为位于 O 点处质量为 m的星体（视为质点）对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为 m1、 m2，试求 m（用 m1、 m2 表示）；（2）求暗星B 的质量 m2 与可见星A 的速率 v、运行周期T 和质量 m1 之间的关系式；（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量5见星 A 的速率 v2.7 10 m/s ，运行周期T4.7ms 的 2 倍，它将有可能成为黑洞若可4 10 s，质量 m1 6ms，试通过估算来判断暗星 B 有可能是
11、黑洞吗？（G 6.67 1011N?m2/kg2 ， ms 2.0 103 kg）【答案】（ 1） m m23m23v3Tm22m1 m222 G (3)有可能是黑洞m1【解析】试题分析：（1）设 A、B 圆轨道的半径分别为r1、 r2 ，由题意知， A、 B 的角速度相等，为0 ，有： FAm102r1 ， FBm202 r2 ，又 FAFB设 A、 B之间的距离为 r，又 rr1r2由以上各式得，rm1m2 rm21 由万有引力定律得FAG m1 m2r 2将 代入得 FAGm1m23m2 r12m1令 Fm1 m m23G，比较可得 m 2 Ar12m1m2m1mv2（2）由牛顿第二定律
12、有：G r12m1 r1又可见星的轨道半径r1vT2由得m23v3Tm1m222 G3）将 m16ms代入 m1m23v3Tm23v3T2 G 得 6ms m22 G （m222代入数据得m233.5ms 6ms2m2m23n2 ms3.5ms设 m2nms ，（ n 0）将其代入 式得，m126m21n可见，m232 的值随 n 的增大而增大，令n=2 时得6ms m2n2 ms0.125ms3.5ms61n要使 式成立，则 n 必须大于 2，即暗星 B 的质量 m2 必须大于2m1 ，由此得出结论，暗星 B 有可能是黑洞考点：考查了万有引力定律的应用【名师点睛】本题计算量较大，关键抓住双子
13、星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解，在万有引力这一块，设计的公式和物理量非常多，在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算8 某行星表面的重力加速度为g ，行星的质量为M ，现在该行星表面上有一宇航员站在地面上，以初速度v0 竖直向上扔小石子，已知万有引力常量为G 不考虑阻力和行星自转的因素，求：（ 1）行星的半径 R ；（ 2）小石子能上升的最大高度【答案】 (1)GMv02R =（ ） h2g2g【解析】GMm（1）对行星表面的某物体，有：mg
14、-2R得： R =GMg（2）小石子在行星表面作竖直上抛运动，规定竖直向下的方向为正方向，有：0v022ghv02得： h2g9“天宫一号 ”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形，2017 年 6 月，“神舟十号 ”与 “太空一号 ”成功对接现已知 “太空一号 ”飞行器在轨运行周期为 To，运行速度为 v0 ，地球半径为 R，引力常量为 G.假设 “天宫一号 ”环绕地球做匀速圖周运动，求：1 “天宫号 ”的轨道高度h2 地球的质量 M v0T0Rv03T0【答案】 (1) h(2) M22 G【解析】【详解】(1) 设“天宫一号”的轨道半径为r，则有：2 r“天宫一号”的轨道高度为： h r Rv0T0即为： hv0T0R2GMm4 2(2) 对“天宫一号”有：r 2m T02 rv03T0所以有： M2 G【点睛】万有引力应用问题主要从以下两点入手：一是星表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力10 宇航员驾驶一飞船在靠近某行星表面附近的圆形轨道上运行，已知飞船运行的周期为T，行星的平均密度为试证明（万有引力恒量G 为已知，是恒量）【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】设行星半径为R、质量为 M ，飞船在靠近行星表面附近的轨道上运行时，有即又行星密度将 代入 得证毕