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1、十字相乘法与韦达定理十字相乘法1十字相乘法的依据和具体内容一、知识准备：( xa)( xb)x2axbxabx 2(ab) xab（ 1）左边： x a 与 x b 的形式；（ 2）右边：二次项系数为 1；常数项的和 (a b) 为一次项的系数；常数项的积 ab 作为常数项；直接写出结果：(x2)( x 3)=，( x3)( x4) =，(x5)( x 2)=， ( x8)( x6) =，二、探究活动：1、 (x a)( x b) x 2(ab) x ab 反过来： x2(a b)xab也就是说， 对于二次三项式x2pxq ，如果常数 q 能分解为两个因数a ， b 的积， 并且常数 q 等于
2、两个因数 a ， b 的和时，就可以用上面的公式分解因式。(1) 对于二次项系数为 1 的二次三项式：x2(a b)xab ( xa)( xb)方法的特征是“拆常数项，凑一次项”（多试）当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；x 25x6(x2)( x3)x 28x15x211x28当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同x 2x 6 ( x 3)( x 2)x 2x 6x 24 x 12练习：解方程（用十字相乘法）x 25x 4 0x28x 12 0x25x 36 0x 2x420x252x1000
3、x219 x1200x 260 x27000x250 x5250x 22.8x4.80(2) 对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax2bx c a1a2 x2(a1c2 a2c1 )x c1c2( a1 x c1 )(a2 x c2 )它的特征是“ 拆两头，凑中间，多试验”2x25x 2 ；3x28x 35x 27 x 6（ 3）解方程： 4x 24x 15 =06 x2x 35 =010 x213x 4 =0注意： 用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母2.拓展提高1、把下列各式分解因式
4、：5a2b223ab 10x25xy 6 y2x410x292、已知：x 211x240 ，求 x 的取值范围。3、已知：长方形的长、宽为x、 y，周长为 16cm，且满足 xyx22xyy220 ，求长方形的面积。课后作业1如果 x2pxq( x a)( xb) ，那么 p 等于()A abB abC abD (a b)2如果 x2( a b)x5b x2x30 ，则 a=， b=；3多项式 x23xa 可分解为 (x 5)(x b)，则 a=， b=；4解方程：x 27 x 100x 25x 24 0x22x 35 0x 218 x450x 260x8000x 222x2400x 275
5、x12500x 28x3840x 20.9x0.3605.解方程2x215x 7 03x 28x 4 04x25x 6 05x27x606x211x1008x210x3055(1x)5(1x) 218.24040(1x)40(1x) 2132.4韦达定理及其应用一、知识要点1、若一元二次方程 ax2bxc0 a0 中，两根为 x1 ， x2 。则 x1 x2b ，ax1 ? x2c ，；补充公式x1x2aa2、以 x1， x2 为两根的方程为x 2x1x2 x x1 ? x2 03、用韦达定理分解因式 ax 2bxc a x 2b xca x x1 x x2aa4、使用韦达定理时应满足的条件：
6、（ 1）方程必须是（一元二次方程），即条件为（a 0）（ 2）方程必须有（实数根），即条件为（b2-4ac 0）二、韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值4.已知两数的和与积，求这两个数5.已知方程的两根x1， x2 ，求作一个新的一元二次方程x2 (x1+x2) x+ x1x2 =06.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2)【例题求解】【例 1】 已知、是方程 x 2x 10 的两个实数根，则代数式2( 22) 的值为【例 2】如果 a
7、 、 b 都是质数，且a213m0， b213b m0 ，那么ba)aa的值为 (bA 123B125 或 2C 125D 123 或 222222222【例 3】 已知关于 x 的方程： x 2(m2)xm204(1) 求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根(2) 若这个方程的两个实根x1 、 x2 满足 x2x12 ，求 m 的值及相应的x1 、 x2 【例 4】 设 x、 x是方程 2x24mx 2m23m 2 0 的两个实数根，当m 为何值时， x12x22 有最小值 ?并12求出这个最小值【例 5】 已知：四边形ABCD 中， AB CD，且 AB 、CD 的长是关于
8、 x 的方程 x 22mx (m1 ) 270 的两24个根(1)当 m 2 和 m2 时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由(2)若 M 、N 分别是 AD 、BC 的中点，线段 MN 分别交 AC 、BD 于点 P，Q，PQ 1，且 ABBC) 的长是关于x 的方程的两个根(1)求 rn 的值；（ 2）若 E 是 AB 上的一点， CF DE 于 F，求 BE 为何值时， CEF 的面积是 CED 的面积的1 ，请说明理3由16设 m 是不小于1 的实数，使得关于x 的方程工 x22(m 2) x m23m 3 0 有两个不相等的实数根x1 、x2 (1) 若 x12x226 ，
9、求 m 的值(2) 求 mx1 2 mx22 的最大值1x11x 217如图，已知在ABC 中， ACB=90，过 C 作 CD AB 于 D，且 AD m，BD=n ， AC 2： BC 2 2：1；又关于 x 的方程 1 x 22(n 1)x m2 12 0 两实数根的差的平方小于192，求整数 m、 n 的值418设 a 、 b 、 c 为三个不同的实数，使得方程和x2ax10 和 x 2bxc0 有一个相同的实数根，并且使方程 x 2xa0 和 x 2cxb0 也有一个相同的实数根，试求abc 的值19、已知一元二次方程ax22bx c 0的两个实数根满足x1x22bABC的A，a ， ，c 分别是B ，C 的对边。（ 1）证明方程的两个根都是正根；（ 2）若 ac ，求B 的度数。20、在ABC 中，C90 ，斜边 AB=10 ，直角边 AC ，BC 的长是关于x 的方程 x2mx3m60 的两个实数根，求m 的值。21. 已知 aa2 1 0， b b210， a b，求 ab a b 的值