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1、最新 料推荐递推数列通项求解方法类型一： an 1panq （ p1 ）思路 1（ 推法）： anpan 1qp( pan 2q)qpppan3qqqpn 1a1q(1pp2pn2 )a1pqpn1q。11p思路 2（构造法）： ap a，即p1q 得q，数列1nnp1an是以 a1 首 、 p 公比的等比数列，则 anq1a1qpn 1 ，即pp1ana1pqpn 11q。1p例 1已知数列a 足 an2an 13且 a11，求数列an的通 公式。n解：方法1（ 推法）：a2a32(2a23)322 2a3333nn 1nn2n 13(1222 2n2 )1312n 132n 13。212方
2、法 2（构造法）： a2 a，即3 ，数列 an3 是以 a13 4n 1n 首 、2 公比的等比数列， an342n 12n1，即 an2n 13。1最新 料推荐类型二： an 1anf (n)思路 1（ 推法）：anan 1f (n 1) an 2f (n 2) f (n 1) an 3f ( n 3) f (n 2)f (n 1)n1a1f (n) 。i1思路 2（叠加法）： anan 1f ( n 1) ，依次 推有：an 1an 2f (n2) 、n 1an2an 3f (n 3) 、 a2a1f (1)，将各式叠加并整理得ana1f (n) ，即i 1n 1ana1f ( n) 。
3、i1例 2已知 a1 1， anan 1n ，求 an 。解：方法 1（ 推法）：an an 1n an 2 (n 1)nan 3(n2) (n1) nna123( n2)(n1)ni 1nn(n 1) 。2方法 2（叠加法）：anan 1n ，依次 推有： an 1an 2n1、an 2an 3n2 、nnna2a12 ，将各式叠加并整理得ana1n ， ana1ni2i2i1nn( n1) 。22最新 料推荐类型三： an 1f (n) an思路 1（ 推法）：anf ( n 1) an 1f ( n 1) f (n 2) an 2f (n 1) f (n 2) f (n 3) an 3f
4、 (1)f (2)f (3) f (n2)f (n 1)a1 。思路 2（叠乘法）： anf (n 1) ，依次 推有：an1f ( n2) 、an 1an2an2f ( n3) 、 a2f (1) ，将各式叠乘并整理得anf (1)f (2)f (3)an3a1a1f ( n2)f (n1) ，即 anf (1)f (2)f (3) f (n2)f (n 1)a1 。例 3已知 a11， ann1nan 1 ，求 an 。1解：方法 1（ 推法）：ann 1n 1 n 2an 2n 1 n 2 n 3an 3nan 1n1nn1nn 112。n(n1)方法ann 1，依次 推有：an 1n
5、2an 2n 3a32（叠乘法）：n 1an 2n、n 1、an 1an 3a2a21，将各式叠乘并整理得ann 1n2n 3 21，即a13a1n 1 nn 14 3ann 1 n 2 n 3 2 12。n1nn143n(n 1)2、43最新 料推荐类型四： an 1pan qan 1思路（特征根法） ：为了方便，我们先假定a1m 、 a2n 。递推式对应的特征方程pn 1为 x2pxq ，当特征方程有两个相等实根时，an cnd( c 、 d 为待定系2数，可利用 a1m 、 a2n 求得 ) ；当特征方程有两个不等实根时x1 、 x2 时，anex1n 1fx2n 1( e 、 f 为待
6、定系数，可利用a1m 、 a2n 求得 ) ；当特征方程的根为虚根时数列an 的通项与上同理，此处暂不作讨论。例 4已知 a12 、 a23 , an 16an 1an , 求 an 。解：递推式对应的特征方程为x2x6 即 x2x6 0 ，解得 x12 、 x23 。设 an ex1n 1fx2 n 1 ，而 a12 、 a23 ，即ef2e9592n 113)n 1，解得，即 an(。2e3 f3f15554最新 料推荐类型五： an 1panrq n（ pq 0）思路（构造法） ： anpan1rq n 1 ，设 anan1，则qnqn1pq p，从而解得q。那么anr是以a1r为首项，
7、1 qn rq n 1rqnp qqp qpqp 为公比的等比数列。q例 5已知 a11， anan 1 2n 1 ，求 an 。211解：设anan 1，解得2，an12n2n 1，则2n 112n31 2n31111an111n 12n1是以为首项，为公比的等比数列，即， an23622n362。3类型六： an 1pan f (n) （ p 0 且 p 1）思路（转化法） ： anpan 1f (n )1 ，递推式两边同时除以pn 得anan 1f ( n 1)anbn ，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。pnpn 1pn，我们令pn例 6 已知 a12 ， an 1 4an 2n
8、1 ，求 an 。解： an 4an 12n ，式子两边同时除以4n 得 anan 114n4n 12n，令 anbn ，则4n5最新 料推荐1n1n 1bnbn 1，依此 推有 bn 1bn 2122、 bn 2 bn 3212n1nb2b1，各式叠加得 bnb1，即2i 2 2n 2、nnnnnnn11111bnb1122222i 2i 2i 11nan4n bn4n14n2n 。2类型七： an 1panr（ an0 ）思路（ 化法） ： 推式两 取 数得log m an 1 r log m anlog m p ，我 令bnlog m an ， 一来， 就可以 化成 型一 行求解了。例
9、7 已知 a110 ， an 1an2 ，求 an 。解： 推式an 1an2左右两 分 取 数得lg an 12lg an ，令 lg anbn ， bn 12bn ，即数列bn是以 b1lg101 首 ， 2 公比的等比数列，即bn2n 1，b2n 1因而得 an 10 n10。类型八： an 1c an（ c0）pand思路（ 化法） ： 推式两 取倒数得1pand ，那么1d1p ，an 1c anan 1c anc令 bn1， ， 就可以 化 型一 行求解了。an例 8 已知 a14 ， an 12 an ，求 an 。2an16最新 料推荐解：对递推式左右两边取倒数得12an111
10、111bn 则an 12an即2 an，令an 1anbn 11 bn 1。设 bn 11bn，即2 ， 数列 bn2 是以 127 为22441bn 272n27an2n1首项、2为公比的等比数列，则n 1 ，即 bnn 1，n 2。2227类型九： an1aanb （ c0 、 adbc0）cand思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为 xaxb 即 cx2(da) x b 0 。当cxd特征方程有两个相等实根x1x21即1为等差数列，我时，数列adanan2c们可设11（为待定系数，可利用a1 、 a2 求得）；当特征方程an 1adanad2c2c有两个不等实根x1 、 x2 时，数
11、列anx1是以 a1x1为首项的等比数列，我们可设anx2a1x2anx1a1x1n1（为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程anx2a1x2的根为虚根时数列an 通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。例 9已知 a1 1， an4an 13 （ n2），求 an 。2an 12解：当 n2 时，递推式对应的特征方程为x4x3 即 x22x 30，解得x2x11 、 x2an1a1x121为首项的等比数列，设3 。数列是以a1x22an3an 11n 1 ，由 a11 得 a22 则 3，3 ，即 an11 3n 1 ，an32an37最新 料推荐3n1, n11， a2从而
12、an13n1。3n 1n23n 1, n18最新 料推荐常见递推数列通项公式的求法重、难点：1. 重点：递推关系的几种形式。2. 难点：灵活应用求通项公式的方法解题。【典型例题】 例 1 an 1kanb 型。（ 1） k1 时， an 1anb an 是等差数列， anbn(a1b)（ 2） k1 时，设 an1m k (anm) an1kankmmmb比较系数： kmmbk1 anba1kbk1是等比数列，公比为k ，首项为1anb( a1b ) k n 1an(a1kb ) kn 1bk 1k11k1 例 2 an 1kanf (n) 型。（ 1） k1 时， an 1anf ( n)
13、，若 f (n) 可求和，则可用累加消项的方法。an1an1例：已知 an 满足 a1n(n1) 求 an 的通项公式。1 ，解：an 1an111n(n1)nn1anan 111an 1an 211n 1nn2 n 19最新 料推荐an 2an 311n 3 n 2 a3a211a2a111232ana11an21 （ n1）个式子求和得：1nn（ 2） k1 ，当 f (n) anb 可 an 1A(n1)Bk( an An B) an 1kan ( k1) An(k1) BA(k1) Aa解得： AaBba(k1) BAbk1(k1) 2k1 ， anAnB 是以 a1AB 首 ， k
14、公比的等比数列 anAn B (a1A B) kn 1 an(a1AB)k n 1AnB将 A 、B 代入即可（ 3） f ( n)q n （ q0， 1）an1kan1等式两 同 除以 q n 1得 q n1qq nqC nank1q n则 Cn 1q C nq C n 可 ankan b 型令1 例 3 an 1f (n) an 型。（ 1）若 f ( n) 是常数 ，可 等比数列。（ 2）若 f ( n) 可求 ，可用累 的方法化 求通 。例：已知： a112n13 ， an2n1an 1（ n2 ）求数列 an 的通 。10最新 料推荐anan 1an 2a3a22n 1 2n 3 2
15、n 5 5 33解： an 1 an 2an 3a2a12n 1 2n 1 2n 3 7 5 2n 1ana1312n 12n 1ankm an1m an 例 41 型。1k (11 )1k1k考 函数倒数关系有anan 1m anan 1mC n1an则 Cn 可 an 1ka nb 型。令 ：1.已知 an 足a 3，an 12an1求通 公式。1解：设 an 1m 2(anm)an 12anm m 1 an 11 是以 4 首 ， 2 公比 等比数列 an1 4 2n 1 an2n 112.已知 an 的首 a11 ， an1an2n （ nN * ）求通 公式。解：anan 12(n1
16、)an1an22(n2)an2an32(n3) a3a222a2a121ana1212( n1)n2n11最新 料推荐ann2n13. 已知 an 中， an1nan 且 a12 求数列通 公式。n2解：anan 1 an 2a3 a2n 1 n 2 n 3 n 4 2 12an 1 an 2 an 3a2a1n 1 nn 1 n 2 4 3 n( n 1)an2an4 a1n(n1)n( n1)an12n 1an an 2 n 1ana 2 an 4. 数列中，求的通 。1解：12n 1an111an 12n 1 an an 1an2n 1bn1bn 1bn1bnbn 11设an2n12nbnbn 112nbn1bn212 n1bn2bn312n2b3b2123b2b112211 n 12 21 (2 )11bnb11111122n22232n212最新 料推荐bn1112 n1an2n2 2n22n2n15. 已知： a11， n2an1 an 12n 1 an