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1、名校名 推荐 第 18 讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1. 同角三角函数的基本关系式(1)平方关系 :.(2)商数关系 :.2. 诱导公式公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 +2k角 +- - - +(k Z)正弦 sinsin cos cos 余弦 coscos sin 正切 t an- tan函数名改 ,口 函数名不 ,符号看象限符号看象限记忆奇 偶不 ,符号看象限 律常用结论1. sin(k + )=(- 1)ksin.2. 在 ABC中 :(1)sin( ) sin,cos()cos,tan ()tan;A+B=CA+B=-CA+B=-C(2)sin=cos,cos
2、=sin.题组一常识题1. 教材改编 已知 cos=,且 是第四象限角 ,则 sin 的值为.2. 教材改编 已知-=- 5,那么 tan 的值为.3. 教材改编 已知 sin=,则 cos=. 教材改编 求值 :sin (-1200 )cos1290=.4题组二常错题 索引 :平方关系没有考 角的象限 致出 ; 大角的范 致出 ;不会运用消元的思想;k 的形式没有把 k按奇数和偶数 行分 致出 .已知 ABC=-,则 cos A 等于.5中,1名校名 推荐 6.已知 cos+ =- ,且 是第四象限角 ,则 cos(- 3 +)=.7.已知2.=5,则 sin - sin cos =-.已知
3、A=+(kZ), 则 A 的值构成的集合是.8探究点一三角函数的诱导公式例 1 (1)2018遵义联考 若 sin=- ,则 cos(2 - )=()A.-B.C.-D.(2)2018桂林模拟 已知 f ()=-的值为()- -,则 f -A.B.C.-D.-总结反思 (1)已知角求值问题 ,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解 . 转化过程中注意口诀“奇变偶不变 ,符号看象限”的应用 .(2)对给定的式子进行化简或求值时 ,要注意给定的角之间存在的特定关系 ,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化 . 特别要注意每一个角所在的象限 ,防止符号及三角函数名出错
4、.变式题(1)2018广东名校联考 若 cos+= ,则 sin-=()A. B. C.- D.-x的值为 ()(2)2018江西六校联考 若点 (a,32)在函数 y=2 的图像上 ,则 tanA.B.C.-D.-2名校名 推荐 探究点二同角三角函数的基本关系微点 1切弦互化例 2 (1)2018南充模拟 已知 tan=2,则的值为()-A.- 3 B. 3C.D.-(2)2018贵阳模拟 已知 sin (- )=- ,且 -,则 tan (2- )= ()A.B.-C.D.-总结反思 (1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系=tan 和
5、平方关系1=sin 2 +cos2 ;(2)在弦切互化时 ,要注意判断角所在的象限,不要弄错切、弦的符号.微点 2“ 1”的变换+-=-),则 sin+2例 3 (1)2018广东六校三联 已知 sin3cos() sin ( cos cos =()A.B.C.D.(2)2018武汉调研 已知 sin cos =,则 tan=.总结反思 对于含有 sin 2x,cos2x,sinxcos x 的三角函数求值问题,一般可以考虑添加分母1,再将 1 用“sin 2x+cos 2x ”代替 ,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan 的式子 ,从而求解 .3名校名 推荐 微点 3
6、和积转换例 4 2018潍坊模拟 若 (0,),sin (- )+cos =,则 sin- cos 的值为()A.B.-C.D.-总结反思 对于 sin cos ,sincos ,sin cos 这三个式子 ,利用 (sin cos2=+-.)2sincos 可以达到转换、知一求二的目的1应用演练.1】 2018南昌模拟 已知 sin =,则 tan =()1 【微点.-.-A2 BC.-D.-2. 【微点 1】已知 tan x=-,x,则 cos-x+= ()A.B.-C.D.-3. 【微点2】 2018遵义模拟 若点 (2,tan)在直线 y=2x- 1上,则 -= ().A 2B 3C.
7、 4D. 62+ mx+m=.x的两根 ,则m的值为.3】若 sin204 【微点,cos 是方程 44名校名 推荐 第 18 讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式考 明 1 . 理解同角三角函数的基本关系式:sin2 x+cos 2x=1,=tan x.2. 能利用 位 中的三角函数 推 出, 的正弦、余弦、正切的 公式.【课前双基巩固】知识聚焦1. (1)sin 2+cos2 =1(2)=tan,k+ (k Z)2.- sin - sin - cos - cos - sin tan - tan 对点演练1.-解析 由于 是第四象限角 ,故 sin =-=-.2.-解析 由-=- 5,知 c
8、os 0,等式左边分子分母同时除以cos ,可得-=- 5,得tan =-.3.解析 cos=cos=- cos=sin=.4. 解析 原式 =- sin (120+3360)cos(210+3 360)=- sin 120 cos210 =- sin (180- 60 )cos(180 +30)=sin60 cos 30 = = .5.-解析 =-,sinA AABCAcosA .又A=- cos ,为的内角 ,sin0,0sin2A+cos2A=1,cos A=- .6.-解析 cos+ =sin =- ,且 是第四象限角 ,所以 cos = ,所以 cos(- 3+ )=- cos =-
9、 .7.解析 由=0,等式左边分子分母同时除以cos ,得=2,-5,知 cos-5,得 tan所以 sin2- sincos =-=-= .8.2,- 2解析 当 k 为偶数时 ,A=+=2;当 k 为奇数时 ,A=-=- 2.【课堂考点探究】例 1思路点拨 (1)利用诱导公式进行计算 ;(2)根据诱导公式整理函数f (), 再将 =-代入求值 .(1)A(2)B 解析 (1)sin=cos =- , cos(2- )=cos =-.故选 A(2)由题可知 ,f ()=-=- sin,5名校名 推荐 =-= .则 f -sin-sinsinsinsin变式题(1)D (2)C解析 (1)co
10、s= ,sin-=sin-=- cos=- ,故选 D.(2)点 ( ,32)在函数x32a5,2 的图像上 ,2 ,ay= a=则 tan=tan =tan-=- tan=-,故选 C.例 2思路点拨 (1)利用= 直接将待求式转化成只含tan 的式子 ,再求值 ;(2)由题设条件tan可得 sin,再根据同角三角函数基本关系式可得cos,tan ,然后根据诱导公式化简即可得解 .(1)A(2)A解析 (1)tan =2,cos0,= =-3.- -故选 A(2) sin (- )=-, sin=- ,又 -,cos =-=,则 tan=- .tan (2- )=- tan ,tan (2-
11、 )=. 故选 A.22例 3思路点拨 (1)根据诱导公式及已知等式得出tan,将待求式添加分母 1(利用 1=sin+ cos ),22转化为含 tan 的式子 ,代入求值 ;(2)sin cos 可变形为,利用 1=sin+ cos ,从而把已知等式化为关于 tan 的等式 ,解出 tan 即可 .(1)C(2)3 或解析 (1)由 sin+3cos(- )=sin (- ),得 cos- 3cos=- sin,所以 tan=2,所以 sincos2= .+cos =故选 C(2)由题可知 ,sincos =,解得 tan =3 或 tan= .例 4思路点拨 根据三角函数的诱导公式和同角
12、三角函数的基本关系式,得 2sincos=- 0,进而求得 (sin- cos)2=,从而得解 .C 解析 由诱导公式得 sin (- )+cos=sin+cos =2,两边平方得 (sin cos)=1+2sin+cos= ,则 2sincos =-0,6名校名 推荐 2=1- 2sin cos = .所以 (sin - cos )又因为 (0,),sincos 0,所以 sin - cos = ,故选 C.应用演练1. D解析 sin= ,cos=-=-,则 tan=-=- ,故选 D.2.D解析 tanx=- ,x,sinx=,cos -=- sinx=- .3.B解析 由题意知=-=
13、=.,tan 413,-tan 3,故选 B4.1-解析 由题意知 sin +cos =-,sin cos = ,又(sin+cos )2=1+2sin cos ,所以= +2-mmmm= - .1 ,解得 m=1 . 又=4m160,所以0 或4,所以1【备选理由】 例 1 进一步考查利用诱导公式进行化简与求值;例 2 考查弦切互化 ,是平方关系及商数关22=系的综合应用 ;例 3 结合导数的几何意义得出+tan ,再巧妙使用 sin cos 1 代换求值 ;例 4 考查+ 与 sin-cos 之间的转换 ,对于 sin+,sincos,sin-cos 这三sin cos cos个式子 ,利
14、用 (sin cos)2=12sin cos 可以知一求二 .例 1配合例 1使用 已知 cos = ,则- -的值为.-答案 -解析 因为 cos= ,所以-= -=-=- .-=-例 2配合例 2使用 2018黄山一模 已知 R,sin+2cos =,则 tan=.答案 3 或-2+2=解析 sin+2cos=,sin cos 1,(sin+2=2+2= 2cos )sin cos,4sin4cos +2+=2=1 3cos,即 3cos+ cos, 4sin cos4sin = ,解得 tan =3 或 - .例 3配合例 3 使用 2018重庆调研 若曲线 f (x)=lnx- 在点 (1,f (1) 处的切线的倾斜角为,则= .-答案 57名校名 推荐 解析 因为 f (x)=lnx- ,所以 f (x)= +,所以 f (1)=2,则 tan=2,所以= = .-5-例 4配合例 4使用 2018衡水武邑中学月考 已知 - 0,sin+cos = ,则-的值为()A.B.CD解析 B因为 -0,sin .因为 (sin22 cos ) +(cos - sin ) =2,+所以 (cos - sin22, ) =2- (sin+cos ) =2- =所以 cos- sin22,= ,所以 cos - sin = =所以的值为 ,故选 B-.8