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1、名校名 推荐第七节正弦定理、 余弦定理应用举例 考纲传真 (教师用书独具 )能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(对应学生用书第53 页 ) 基础知识填充 1仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角 (如图 3-7-1)图 3-7-12方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为(如图 3-7-1)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30等基本能力自测 1(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)从 A
2、 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ，的关系为 180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，2 .()(3)方位角的大小范围是 0,2 )，方向角的大小范围一般是0，2 .()(4)如图 3-7-2，为了测量隧道口AB 的长度，可测量数据 a，b，进行计算()1名校名 推荐图 3-7-2 答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编 )海面上有 A，B，C 三个灯塔， AB10 n mile，从 A 望 C 和 B 成60视角，从 B 望 C 和 A 成 75视角，则 BC 等于 ()10 6A103 n mileB3n mileC52 n mile
3、D56 n mileD 如图，在 ABC 中，AB10， A 60， B 75， C45， BC 10 ， sin 60 sin 45 BC 5 6.3若点 A 在点 C 的北偏东 30，点 B 在点 C 的南偏东 60，且 ACBC，则点 A在点 B 的 ()A北偏东 15B北偏西 15C北偏东 10D北偏西 10B 如图所示， ACB 90，又 ACBC， CBA 45，而 30， 90 453015，点 A 在点 B 的北偏西 15.2名校名 推荐4(2018 张掖模拟 )如图 3-7-3，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45， 30，
4、在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、 乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距 500m，则电视塔的高度是 ()【导学号： 79170115】图 3-7-3A1002mB400 mC2003mD500 mD 设塔高为 x m，则由已知可得BCx m，BD3x m，由余弦定理可得BD2BC2 CD22BCCDcos BCD，即 3x2x25002500x，解得 x 500(m) 5如图 3-7-4，已知 A，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点 C，测得 AC50 m，ACB45， CAB105，则 A，B 两点的距离为 ()图 3-7-4A503mB25 3 mC2
5、52mD50 2 mACD 因为 ACB 45，CAB 105，所以 B30.由正弦定理可知 sin BAB ，即50AB，解得 AB502 msin Csin 30 sin 45 3名校名 推荐(对应学生用书第53 页 )测量距离问题如图 3-7-5，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸B，C 的俯角分别为 67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC 约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin67 0.92，cos 67 0.39，sin 37 0.60， cos 37 0.80，31.73)图 3-7-560 如图所示，过 A 作 AD CB 且交 CB 的延长线于
6、 D在 Rt ADC 中，由 AD46 m， ACB30得 AC 92 m.在 ABC 中， BAC 673037，ABC 180 67 113，AC92 m，ACBC由正弦定理 sin ABCsin BAC，得92 BC ，即 92 BC ， sin 113 sin 37 sin 67 sin 37 解得92sin 37BC sin 6760(m)规律方法 应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：(1)根据题意，画出示意图，并标出条件；(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得
7、出正确答案 变式训练 1江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和 60，而且两条船与炮台底部连线4名校名 推荐成 30角，则两条船相距 _m.10 3 如图， OM AOtan 45 30(m)，3ON AOtan 30 3 3010 3(m)，在 MON 中，由余弦定理得，3MN90030023010 3 2 300103(m)测量高度问题(2015 湖北高考 )如图 3-7-6，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75的方
8、向上，仰角为 30，则此山的高度 CD _m.图 3-7-6100 6 由题意，在 ABC 中， BAC30， ABC 18075 105，故ACB 45.又 AB600 m，故由正弦定理得 600 BC ， sin 45 sin 30 解得 BC 300 2 m.3在 Rt BCD 中， CD BCtan 30 300 2 3100 6(m) 规律方法 1.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角2分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定5名校名 推荐理，有序地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知
9、识 变式训练 2 如图 3-7-7，从某电视塔 CO 的正东方向的 A 处，测得塔顶的仰角为 60，在电视塔的南偏西 60的 B 处测得塔顶的仰角为 45，AB 间的距离为 35 米，则这个电视塔的高度为 _米 . 【导学号： 79170116】图 3-7-75 21 如图，可知 CAO60， AOB150，OBC45，AB35 米3设 OCx 米，则 OA 3 x 米， OB x 米在 ABO 中，由余弦定理，得 AB2 OA2OB2 2OAOBcos AOB，2x2223 2，即 353 x3x cos 150整理得 x 5 21，所以此电视塔的高度是 521米 测量角度问题(2018 宜
10、昌模拟 )在海岸 A 处，发现北偏东 45方向、距离 A 处(31)海里的 B 处有一艘走私船； 在 A 处北偏西 75方向、距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以10 3海里 /小时的速度追截走私船同时，走私船正以10海里 /小时的速度从 B 处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？解设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船，则有 CD10 3t，BD10t.在 ABC 中， AB31，AC2， BAC120.3 分6名校名 推荐根据余弦定理，可得BC31 222223 1 cos 120 6，AC2 32，由正弦定理，得 sinABC BCsi
11、nBAC622 ABC45，因此 BC 与正北方向垂直 .7 分于是 CBD 120.在 BCD 中，由正弦定理，得sinBCDBDsinCBD10tsin 120 1CD10 3t ，2 BCD30，又CD BC，sin 120sin 30103t6，得 t6 当缉私船沿北偏东的方向能最快追上走私船，即310.60最少要花6小时 .12 分10规律方法 解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂 ”使用变式训练 3如图 3-
12、7-8，位于 A 处的信息中心获悉： 在其正东方向相距40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线 CB前往 B 处救援，求 cos 的值7名校名 推荐图 3-7-8解 在 ABC 中， AB40，AC 20， BAC120，由余弦定理得， BC2 AB2 AC22ABACcos 1202 800? BC20 7.由正弦定理，得AB BC? sinACB AB 21sin ACBsinBACBC sinBAC7 .27由 BAC120，知 ACB 为锐角，则 cosACB 7 .由 ACB30，得 cos cos(ACB 30)cosACB cos 30 sinACB21sin 30 14 .8