《高考数学一轮复习人教B版用导数研究函数的零点问题学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习人教B版用导数研究函数的零点问题学案.docx（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、名校名 推荐 考 角度 3用 数研究函数的零点 分 透析一确定函数零点或方程根的个数 例 1 已知函数 f ( x) =ex- 1, g( x) =+x, 其中 e 是自然 数的底数 ,e =2. 71828.(1) 明 : 函数 h( x) =f ( x) -g ( x) 在区 (1,2) 上有零点 .(2) 求方程 f ( x) =g( x) 的根的个数 , 并 明理由 .分析 (1) 先整理出函数关系式 , 再通 零点存在性定理 明 ;(2) 本 求解的关 是通 构造函数 , 把方程根的 化 函数零点 来解决 .解析 (1) 由 h( x) =f ( x) -g ( x) =ex- 1-
2、x 得,h(1) =e- 30, 且 h( x) 在区 (1,2) 上是 的 , 所以函数 h( x) 在区 (1,2) 上有零点 .(2) 由(1) 得 h( x) =ex- 1-x , x0, +) . 又 h(0) =0,则 x=0 为 h( x) 的一个零点 , 又由 (1) 知 h( x) 在(1,2) 内有零点 , 因此 h( x) 在0, +) 上至少有两个零点 .因 h ( x) =ex - 1, 记 ( x) =ex- 1, 则 (x) =ex+-.当 x(0, +) 时, (x) 0, 因此 ( x) 在(0, +) 上 增 ,则 ( x) 在(0, +) 上至多只有一个零
3、点 , 即 h( x) 在0, +) 上至多有两个零点 .所以方程 f ( x) =g( x) 的根的个数 2.方法技巧 利用 数确定函数零点或方程根个数的方法(1) 构建函数 g( x)( 要求 g ( x) 易求 , g ( x) =0 可解 ), 化 确定函数 g( x) 的零点个数 求解 , 利用 数研究 函数的 性、 极 , 并确定定 区 端点 的符号 ( 或 化 ) 等, 画出 g( x) 的 象 , 利用数形 合求解 .(2) 利用零点存在性定理 : 先用 定理判断函数在某区 上有零点, 然后利用 数研究函数的 性、极 ( 最 ) 及区 端点 的符号, 而判断函数在 区 上零点的
4、个数 .分 透析二 根据函数的零点或方程根的个数求参数的取 范围f-ax-+a.例 2 已知函数() (2)2(1ln)(1)x =+x当 a=1 时, 求 f ( x) 的 区 ;(2)若函数 f ( x) 在区 ,上无零点 , 求 a 的最小 .分析 (1) 利用 数求 性的方法求出函数的 区 ;(2) 把函数 f ( x) 构造成两个函数 行分析求解 .1名校名 推荐 解析 (1) 当 a=1 时, f ( x) =x-1- 2ln x, 则 f ( x) =1- , x(0, +) .由 f ( x) 0, 得 x2, 由 f ( x) 0, 得 0x ,所以当 x,时,f ( x)
5、f = .故 f ( x) 在,上无零点.综上 , a 的最小值为 2- 4ln 2 .方法技巧 用导数研究函数的零点问题 , 一方面用导数判断函数的单调性 , 借助零点存在性定理判断 ; 另一方面 , 也可将零点问题转化为函数图象的交点问题 , 利用数形结合来解决 . 对于函数零点个数问题 , 可利用函数的值域或最值 , 结合函数的单调性、 图象确定其中参数的取值范围 . 从图象的最高点、最低点 , 分析函数的最值、极值 ; 从图象的对称性 , 分析函数的奇偶性 ; 从图象的走向趋势 , 分析函数的单调性、周期性等 . 但需注意探求与论证之间的区别 , 论证是充要关系 , 要充分利用零点存在
6、性定理及函数的单调性 , 准确求出函数的零点个数.1. (2018 年浙江卷 ,22 改编 ) 设函数 f ( x) =lnx-ax ( aR).(1) 求曲线 y=f ( x) 在点 A(1, f (1) 处的切线方程 , 并证明 : 除点 A 外,曲线 y=f ( x) 都在该切线的下方 .(2) 若函数 h( x) =ex +f ( x) 在区间 (1,3) 上有零点 , 求 a 的取值范围 .解析 (1) 由题意知 f ( x) = -a , 所以 f (1) =1-a. 因为 f (1) =-a, 所以切线方程为 y+a=(1 -a )( x- 1),即 y=(1 -a ) x- 1
7、.设 p( x) =f ( x) - (1 -a ) x+1=lnx-x+ 1,2名校名 推荐 则 p ( x) = - .若 x1, 则 p ( x) 0; 若 0x0.所以 p( x) max=p(1) =0. 所以 p( x) 0, 所以 f ( x) (1 -a ) x- 1, 当且仅当 x=1 时, 取等号 ,故除点 A 外, 曲线 y=f ( x) 都在该切线的下方 .(2) h( x) =ex+f ( x) 在区间 (1,3) 上有零点 ,即 a=在 x(1,3) 上有实数解 .设 F( x) =, 则 F ( x) = ( - )-.设 g( x) =ex( x- 1) +1-
8、 ln x, 则 g ( x) =x- .由函数的单调性和零点存在性定理, 得函数 y=ex-( x0) 的零点在(0,1) 上, 且 y0在(1,3) 上恒成立 ,所以 g ( x) 0( x(1,3),即 g( x) 在(1,3) 上单调递增 ,所以 g( x) g(1) =1, 则 F ( x) 0 在(1,3) 上恒成立 .所以 F( x) 在(1,3) 上单调递增 ,所以 F( x) ,所以 a 的取值范围是,.2. (2016 年北京卷 , 文 20 改编 ) 已知函数 f ( x) =x3- 3ax- 1, a0.(1) 求 f ( x) 的单调区间 ;(2) 若 f ( x)
9、在 x=- 1 处取得极值 , 直线 y=m与 y=f ( x) 的图象有三个不同的交点 , 求 m的取值范围 .解析 (1) 由题意得 f ( x) =3x2 - 3a=3( x2-a ),当 a0,所以当 a0 时 , 由 f ( x) 0, 解得 x,由 f ( x) 0, 解得 -x0 时 , f ( x) 的单调递增区间为( - , -),(, +), f ( x) 的单调递减区间为 ( -,) .(2) 因为 f ( x) 在 x=-1 处取得极值 ,所以 f ( - 1) =3( - 1) 2- 3a=0, 解得 a=1. 所以 f ( x) =x3- 3x- 1, f ( x)
10、 =3x2- 3.由 f ( x) =0, 解得 x1=- 1, x2=1.由 (1) 中 f ( x) 的单调性 , 可知 f ( x) 在 x=- 1 处取得极大值 , 极大值为 f ( - 1) =1, 在 x=1 处取得极小值 , 极小值为 f (1) =- 3.3名校名 推荐 因为直线 y=m与函数 y=f ( x) 的图象有三个不同的交点,结合函数 f ( x) 的图象 ( 图略 ), 可知 m的取值范围是 ( - 3,1) .x3. (2016 年全国 卷, 文 21 改编 ) 已知 f ( x) =(1 -x )e - 1.(1) 证明 : 函数 f ( x) 有且仅有一个零点
11、 .(2) 设 g( x) = ( ) , x- 1, 且 x0, 证明 : g( x) 0, f ( x) 单调递增 ;当 x(0, +) 时, f ( x) 0 时, f ( x) 0, 则 g( x) 01.当 - 1x0 时, g( x) x.设 h( x) =f ( x) -x , 则 h ( x) =-xex- 1.当 x(- 1,0) 时,0 -x1,0 ex1, 则 0-x ex 1,从而当 x(- 1,0) 时, h ( x) 0, h( x) 在( - 1,0) 上单调递减 .所以当 - 1xh(0) =0, 即 f ( x) x, g( x) - 1 且 x0时, 总有
12、g( x) 0) .令 g( x) =xex-a ( x0), 则 g ( x) =( x+1)e x0, 故 g( x) 在(0, +) 上单调递增 ,则 g( x) g(0) =-a,因此 , 当 a0或 a=e 时, f ( x) 只有一个零点 ;当 0ae 时, f ( x) 有两个零点 .(2) 当 a0时 , xex-a 0, 则函数 f ( x) 在 x=1 处取得最小值 f (1) =- e.当 a0 时, 函数 y=xex-a 在(0, +) 上单调递增 , 则必存在正数 x0,使得 x0-a=0.若 ae, 则 x01, 函数 f ( x) 在(0,1) 和( x0, +)
13、 上单调递增 , 在(1, x0)上单调递减 .又 f (1) =- e, 故不符合题意 .若 a=e, 则 x0=1, f ( x) 0, 函数 f ( x) 在(0, +) 上单调递增 .又 f (1) =- e, 故不符合题意 .若 0ae, 则 0x01, 设正数 b= - - (0,1),5名校名 推荐 则 f ( b) =( b- 2)e b+a(lnb-b+1) a(ln- - -b+ 1) =a -=-e-ab0.(1) 求当 m=1 时, 曲线 y=f ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线斜率 ;(2) 求函数 f ( x) 的单调区间与极值 ;(3) 已知函数 f
14、( x) 有三个互不相同的零点 0, x , x ,且 x f (1)1212恒成立 , 求 m的取值范围 .12解析 (1) 当 m=1 时, f ( x) =- x3+x2 , 则 f ( x) =-x2+2x, 所以 f (1) =1,所以曲线 y=f ( x) 在点 (1,f (1) 处的切线斜率为 1.2 2(2) 由题意得 , f ( x) =-x +2x+m- 1, 令 f ( x) =0, 得 x=1-m或 x=1+m. 因为 m0, 所以 1+m1-m.当 x 变化时 , f ( x), f ( x) 的变化情况如下表 :( - (1 -m(1 +mx , 1-m , 1+m
15、 ,1-m)1+m)+)f ( x-0+0-)极小极大f ( x)值值故 f ( x) 在( - ,1 -m) 和(1 +m, +) 上是减函数 , 在(1 -m,1 +m)上是增函数 .所以函数 f ( x) 在 x=1+m处取得极大值 , 且极大值为32f (1 +m) = m+m- ;32函数 f ( x) 在 x=1-m处取得极小值 , 且极小值为 f (1 -m) =- m+m- .(3) 由题意得 , f ( x) =x - =- x( x-x 1)( x-x 2),22有两个不同的实根 x1, x2, 故所以方程 - x +x+m- 1=02=1+ ( m- 1) 0, 解得 m
16、.若 x10x2, 由图象 ( 图略 ) 可知 ,(1 -m) x1, x2,1 x1, x2, 由(2)知 f (1 -m) f (1), 不合题意 ,所以 0x1 f (1) 等价于 f (1) 0,2即 f (1) =m- 0,解得 -m ,综上所述 , m的取值范围是,.4. (2018 年河南省普通高中毕业班高考适应性练习) 已知函数f ( x) =-a.(1) 若函数 f ( x) 有两个零点 , 求实数 a 的取值范围 ;(2) 若函数 g( x) =xln x- ax2+ 有两个极值点 , 试判断函数 g( x) 的零点个数 .解析 (1) 令 ( x) =, 由题意知 y=(
17、 x) 的图象与y=a 的图象有两个交点 .(x) =-.当 0x0, ( x) 在(0,1) 上单调递增 ;当 x1 时 , (x) 1 时, ( x) (0,1) .综上可知 , 当且仅当 a(0,1) 时 , y=a 与 y=( x) 的图象有两个交点 , 即函数 f ( x) 有两个零点 .(2) 函数 g( x) 有两个极值点 ,由 g ( x) =lnx+1-ax=0, 得-a=0 有两个不同的根x1, x2 ( 设x1x2) .由 (1) 知,0 1 12 ,01,且(1,2),x xa=a i=函数 g( x) 在(0,x ),( x ,+) 上单调递减 , 在( x , x ) 上单调递1212增,故 g( x1) g(1) =0.又 x0, g( x) 0, x+, g( x) - ,函数 g( x) 恰有三个零点 .7名校名 推荐 8