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1、线性代数线性方程组习题课,线性代数,线性代数线性方程组习题课,向量 线性方程组 典型例题,线性方程组 习题课,线性代数线性方程组习题课,2. 任一 n 维向量 都是Rn 的基本单位向量组的线性组合:,1. 是 的线性组合( 可由 线性表示),有解,(组合系数就是方程组的一个解),3.,一、向量,线性代数线性方程组习题课,有非零解,(无),(只有零解),r n,(r = n),5.,线性相关,4.,重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.,可否由 线性表示,竖排行变换， 放末列.,是否线性相关,竖排行变换.,线性代数线性方程组习题课,(线性无关),(任一向量都不能由其余向量线性表示),定理3.
2、部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关,定理4. 短无关，则长无关；长相关，则短相关.,定理1. n个n维向量线性相关,(线性无关),(不为0),定理2.向量个数向量维数，,其排成的行列式值为0,向量组线性相关.,线性代数线性方程组习题课,定理8.向量组与其极大无关组等价.,推论 向量组的任意两个极大无关组等价,定理7. 向量组(I)可由(II) ，(II)可由()线性表示,向量组(I)可由()线性表示,定理9 向量组 可由 线性表示,若t s，则向量组 线性相关.,线性代数线性方程组习题课,定理10,推论：等价的向量组秩相等.,可由 线性表示,推论2 等价的线性无关向量组所含向量个数相等
3、.,推论3 向量组的所有极大无关组所含向量个数相等.,定理11 矩阵A的行秩列秩秩,重要结论: 行变换不改变列向量间的线性关系,线性代数线性方程组习题课,定理1 设非齐次方程组AmnXb，则,返回,有解判定定理,二、线性方程组,线性代数线性方程组习题课,推论1 当齐次线性方程组方程个数m未知数个数n时，必有非零解.,定理2 设齐次方程组AmnXO，r(A)r，则,(1) rn，原方程组有唯一零解,(2) r n，原方程组有非零解(有无穷多组解),推论2 若齐次方程组AnnXO系数行列式|A|0，则必有非零解.,齐次线性方程组 有非零解,解的判定定理,线性代数线性方程组习题课,1.齐次线性方程组
4、解的性质,1) 两解之和仍是解,2) 常数乘以解仍是解,一般地，解的线性组合仍是解,导出组,2.非齐次线性方程组解的性质,1)(1)的两解之差是其导出组的解,2)(1)的一解与其导出组的一解之和仍是(1)的解,解的性质定理,线性代数线性方程组习题课,1.齐次线性方程组解的结构,定义：齐次线性方程组解向量组的一个极大无关组称作齐次线性方程组的一个基础解系。,定理3 对齐次线性方程组(2)，若r(A)r n，则基础解系存在，且均含n-r个解。,齐次线性方程组(2)当 不存在 基础解系,r(A)n 时只有零解,当r(A)r n时，有：,解的结构定理,线性代数线性方程组习题课,2. 非齐次线性方程组解
5、的结构,定理2 若 是非齐次线性方程组(1)的一个解, 是其导出组(2)的全部解,则方程组(1)的全部解(通解,一般解)为,(k1,k2,kn-r为任意常数),线性代数线性方程组习题课,三、典型问题剖析,例1 设A是mn矩阵，则线性方程组AX=0只有零解的充要条件是A 的（ ） (A)行向量组线性无关 (B)行向量组线性相关 (C)列向量组线性无关 (D)列向量组线性相关,，若,例2 设矩阵A的伴随矩阵不为零， 是非齐次线性方程组AXb的互不相等的解，则对应的齐次方程组AXO的基础解系 ( ) (A) 仅含一个非零解向量 (B) 含有两个线性无关的解向量 (C) 不存在 (D) 含有三个线性无
6、关的解向量,（练习卷P23第二题第3题）,（练习卷P23第二题第5题）,线性代数线性方程组习题课,例3 (94考研)设向量组,求向量组的一个极大无关组，向量组的秩，并写出其余向量用该极大无关组的线性表达式.,r3,答案：,线性代数线性方程组习题课,例4 (95考研)已知向量组 (I) ; (II) ;(III) .如果 各向量组的秩分别为r(I)r(II)3，r(III)4，证明向量组 的秩为4.,线性无关,线性相关,可由 线性表示:,证：,设,（练习卷P25第四题第6题）,线性代数线性方程组习题课,线性无关, k1 =k2 =k3 =k4 =0,线性无关,请思考本题的其他解法,线性代数线性方
7、程组习题课,例5 设 为非齐次线性方程组AX=b 的一个解， 是其导出组AX =0 的一个基础解系，证明： 线性无关,（练习卷P25第四题第4题）,思考,（练习卷P28第六题）,线性代数线性方程组习题课,例6 设,证明：向量组 与 等价。,思考,设 是齐次线性方程组AX=0 的一个基础解系， 证明：,也是该方程组的一个基础解系,（练习卷P25第四题第5题）,（练习卷P25第四题第2题）,线性代数线性方程组习题课,例7 a 取何值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有解时，求出它的解,（练习卷P23第三题第2题）,线性代数线性方程组习题课,例8 已知向量组 与 的秩相等，且 可以由 线性表示，求a,b,（练习卷P28第七题）,线性代数线性方程组习题课,课后作业： P140-141 总习题三 三 1, 3，7, 8,线性代数线性方程组习题课,历史寻根,线性代数线性方程组习题课,此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！,