《转换思路在数学解题中的应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《转换思路在数学解题中的应用.doc（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、梅州市2009年高中数学骨干教师培训论文（2010年）论文题目： “转换”思路在数学解题中的应用指导教师： 侯新华教授 学生姓名： 练伟浩 工作单位： 广东省兴宁市黄陂中学 联系电话： 15812956671 中文摘要我们在解决数学问题时，有时会遇到按常规的思路求解比较困难，这时，如果我们能换一种思路，换一种角度，不妨试着改变它的条件或结论，或改变它的叙述方式，使之逐步化归到熟悉的问题或已经解决了的问题中去，这样往往会收到意想不到的效果，从而达到问题的解决，这种思考问题的方法，称为“转换”。关键词 ：转换，思路，解题，应用 “Change” Train Of Thought Applicati
2、on In solving Problems In The Mathematics Lian WeiHaoAbstract “Change” a train of thought when we are in the problem resolving a mathematics in the numble,will be comparatively difficult sometimes coming across the train of thought according to routine finding the solution, why not be trying changin
3、g its condicult or conclusion at this time,if we can change one kind of train of thought,change one kind of angle.or description changing it way, go to in making that spend the problem having returned to arrive at the problem knowing well that or having already solved step by step,such sometimes is
4、able to receive unexpected effect, solving reaching a problem thereby this thinking problem method, Be called “change”. Learn application in solving problems.Key words :Change,Train of thought,Solve problems,Apply “转换”思路在数学解题中的应用练伟浩（ 广东省兴宁市黄陂中学 广东梅州 514555）我们在解决数学问题时，有时会遇到按常规的思路求解比较困难，这时，如果我们能换一种思路，
5、换一种角度，不妨试着改变它的条件或结论，或改变它的叙述方式，使之逐步化归到熟悉的问题或已经解决了的问题中去，这样往往会收到意想不到的效果，从而达到问题的解决，这种思考问题的方法，称为“转换”。下面本人就中学数学中常见的转换方法列举如下：一、已知与未知之间的转换已知与未知是相对而言的，对多元问题，不妨将其中一个字母当作未知数，其余当作已知数，可将多元转化为一元，或将已知与未知互化，使问题便于求解。例1、若a、c、d 是正整数，且满足a+b = c，b+c = d，c+ d= a，则a+b+c+d的最大值是（ ）A、1 B、5 C、0 D、1分析：题中a、b、c、d都是变量，只有三个等式，无法求出
6、a、b、c、d的值，由于b 的地位特殊，如果把b 视作常量，问题可转化为三元一次方程组，不难求出a、b、c，a+b+c+d 就可以用含b 的代数式表示。 解：由a+b = c, b+c=d, c+d=a, 得ca=b, a=3b,dc=b， 解得 c=2b,cd=a. d=b.a + b + c + d=5b.已知b为正整数，故当b=1时，5b取最大值5。答：应选B。面对数学问题,我们要认真观察,通过分析,把未知的转化为已知，或者容易解决的问题,从而将问题得以解决,这是解决数学问题最常用的、最基本的数学思想之一。二、常量与变量之间的转换对于某一类问题，如将常量化为变量，或将变量当作常量，有时能
7、使求解更为方便.22例2 已知x= （ ），求(x+ )2的值。分析：代入求解计算量大，将 看成未知数，原条件可转化为：（ ）2 2x 1= 0。解：将已知条件转化为关于 的一元二次方程：（ ）2 2x 1=02解得 = x+ .2(x+ )2=1995.常量与变量是相对而言的，本题的关键是把 看成自变量，即将原变量X与 变更关系，视 为主元，转换思考的角度，从而使解法变得简易，若按照习惯，仍把X看成自变量，问题就复杂多了。因此，在解题时要多注意对题目一些变量的理解，以便是灵活运用，改变对“X”的看法，这将有助于解决问题。 三、相等与不等之间的转换例3 有四个连续正整数，其倒数和为 ，求这四个
8、数.分析：用放缩法，将相等转化为不等.解：设连续四个正整数分别为x、x+1、x+2、x+3.根据题意，得 + + + = 。按常规方法，解方程不易，下面进行放缩，将等式转化为不等式，即 + + + ，从而 ，即 x 。又x是正整数，所以x =2，3，4。代入检验知x=3是原方程的根。可以说，数学问题的解决过程，就是问题转化过程的展现，转化成功了，问题解决也就成功了。分析本例中转化思想，就是相等关系通过放缩法转换为不等关系，从而达到问题的解决。因此，恰当地使用相等与不等的转化，是解决问题的重要思想。四、数与形之间的转换数形结合是数学思维的基本形式，代数问题可通过构造图形，利用几何性质求解。几何问
9、题有时借助代数方法也会带来方便。例4、已知a，b，c，d是正数，试说明：222222在数 , 和 中，任意两个数之和大于第三个数。分析：此题直接用代数方法比较大小就非常困难，根据“任意两个数之和大于第三个数”与“三角形的三边关系”类比，可知应构造三角形。dABDCFE图1baca+bc+d证明：如图1，构造一个长方形ABCD，E、F分别是AD，CD上的点，使AE=a，ED=b，DF=c，FC=d，则在RtDEF中，由勾股定理，得22EF= 22 同理可得EB= ,22FB= ,在BEF中，由三角形任意两边之和大于第三边易得所要说明的结果。 我们在研究数学问题时，由数思形，见形思数，数形结合考虑
10、问题，在解题中如能恰当地运用数形之间的转换，往往会收到意想不到的效果。五、局部与整体之间的转换关于整体命题，可以从局部入手，然后推向整体；反之，关于局部命题，也通过从整体角度进行处理。4例5 (1)若x23x+1=0,求x4 + 的值.(2)十进制中的六位数 ，把它扩大到原来的3倍后成为 ，求这个六位数.分析：(1)用整体代入；（2）将 当作整体。4解：（1）设A=x4+ ，则x8=Ax41.将x2+1=3x两边平方,整理得x4+1=7x2。 两边再平方,整理得 x8=47x41.4 故A=47,即x4+ = 47。 (2)由于 位置前后没有变化，设为x，则 =105+x， =10x+1。由题
11、意得3(105+x)=10x+1. 解得x=42857. 故所求六位数是：142857。我们在解决某些数学问题时，往往着眼于问题的各个部分，很难有意识地放大考察问题的“视角”，倘若能够通过整体思维，将需要解决问题看作一个整体，从整体观点出发研究问题，达到顺利而又简洁地处理问题的目的，这种“转换”的方法既能达到高效、准确的解题目的，又能培养学生观察、分析和解决问题的能力。六、正向与逆向之间的转换每一种思维都具有与它相反的思维过程，因此，我们不但要善于正向思维，同时，还要学会逆向思维，从反向的角度观察事物，思考问题。例6 k为何实数时，方程x2+2kx+k2+k+1=0至少有一个正根？分析:从“至
12、少有一正根”的反面入手。解：=4k24(k2+k+1)=4(k+1).方程无实数根时，0，k1.0，方程两根皆负时， 2k0,k2+k+10.由于k2+k+1=(k+ )2+ 0,所以 此不等式组无解。显然方程两根都不为0。故k1时,原方程至少有一正根。我们仔细审视本例的解题过程，是在解题过程中使用了“一元二次方程至少有一个正根”的逆向思维，使得条件顺利得以使用，问题顺利得以解决。因此，正向与逆向之间的恰当转换，能给解题得以便捷，有助于解决问题。七、特殊与一般之间的转换20002000一般性问题如果比特殊性问题容易求解时，可先解决一般问题，从而导致特殊性问题求解，反之，一般性问题如果不易解决时
13、，可先退到特殊来考虑，从中找到解决一般性问题的思路。例7 求证： 是整数. nn分析：不妨设1995=m,2000=n,求证： 是整数，这个一般性问题，比原题更容易.证明：设(1+ )n=a+b (a、b是自然数)，nnn则（1 ）= ab .所以 = = = =2b是整数。 特殊与一般是矛盾的两个方面，又可以统一在同一事物之中。我们在研究数学问题时，可通过从特殊到一般，或从一般到特殊的转化 ，如能运用恰当，会给解题带来简便。以上是本人在数学教学中的点滴体会，在数学解题过程中我们还会碰到更多的解题方法，作为数学教育工作者，若能在解题中碰到的各种解法加以概括、归纳，定会给学生的解题能力有较大的提高，从而培养学生的数学思维和创新能力。参考文献1.黄秦安.数学文化观念下的数学素质教育J.数学教育学报,2001.32.朱学燕,徐光考.数学情感态度价值观培养的探索J.中学数学教与学,2008.1(作者单位:练伟浩,广东省兴宁市黄陂中学,514555;侯新华,广东省梅州市嘉应学院数学学院,514000)（附）个人简历 练伟浩,男，本科学历，1975年3月出生,1999年8月参加工作，数学中学一级教师,梅州市高中数学骨干教师，2009年被评为梅州市教学改革积极分子。现在在广东省兴宁市黄陂中学担任高中数学，个人邮箱为,手机为15812956671。 13