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1、绵阳市高 2014 级高考数学模拟试题（一） （分值 150 分，时间 120 分钟） 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角是，且平面内的直线和斜线a45b 在平面内的射影的夹角是，则直线、所成的角是 a45ab （ ） A B C D30456090 2. 记者要为 4 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排 在两端，则不同的排法有 （ ） A72
2、 种 B144 种 C240 种 D480 种 3. 如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为 （ 2 3 2 ()nx x n ） A3 B5 C6 D10 4. 已知正四棱柱，点 P 是棱 DD1的中点，AB=1，若点 Q 在侧 1111 ABCDABC D 1 2AA 面（包括其边界）上运动，且总保持，则动点 Q 的轨迹是 （ 11 BBC CAQBP ） 5. 已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则0)2)(2( 22 nxxmxx 4 1 （ ）|nm （A）1 （B） （C） （D） 4 3 2 1 8 3 6. 已知长方形的四个顶点 A（0，0） ，B（2，0）
3、，C（2，1）和 D（0，1） ，一质点从 AB 的中点沿与 AB 的夹角的方向射到 BC 上的点后，依次反射到 CD、DA 和 0 P 1 P AB 上的点、和（入射角等于反射角） ，设的坐标为（，0） ，若 2 P 3 P 4 P 4 P 4 x ，则 tg的取值范围是 21 4 x B B C C B B1 B C1 B C1 B B1 B B B C C B B B C C B B1 B C1 B B1 B C1 B B B C C B （A） （B） （C） （D） A C B D C B B C B C C B P C B D1 C1 B B1 B A1 B （ ） （A） （，1
4、） （B） （，） （C） （，） （D） （，） 3 1 3 1 3 2 5 2 2 1 5 2 3 2 7. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）2 （A） （B） （C） （D）34336 8. 已知二面角 -l- 为 ，动点 P、Q 分别在面 、 内，P 到 的距离为，Q60o3 到 的距离为，则 P、Q 两点之间距离的最小值为（ ）2 3 (A) (B)2 (C) (D)4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 3 9. 函数的定义域为 R，若与都是奇函数，则( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( )f x(1)f x(1)f x
5、(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f x 10. 已知椭圆的右焦点为,右准线为 ，点，线段交于点， 2 2 :1 2 x CyFlAlAFCB 若,则= (A). (B). 2 (C). (D). 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3FAFB |AF 23 11. 正数满足,且恒成立,则实数 的取值范围是, a b21ab 22 1 24 2 ababt t A.B.C.D. 2 (, 2 2 ,) 2 22 , 22 1 ,) 2 12. 如图,平面三已知点是,映射将平) 1 , 0(,) 1 , 1
6、(,)0 , 1 (CBAfxOy 面上的点对应到另一个平面直角坐标系上的点),(yxPvuO ,则当点沿着折线运动时,在映),2( 22 yxxyPPCBA 射的作用下,动点的轨迹是fP Ou v 2 1 -1 Ou v 2 1 -1 Ou v 2 1 -1 O u v 2 1-1 A A. B. C. D. 二、填空题(共 20 分,每题 5 分,把答案直接填在答题卷的相应位置上) O x y A BC 13. 已知=2+i,则复数 z= 1i Z 14. 已知函数为偶函数,其图象与直线 y=1 的交点的横坐sin()(0,0)yx 标为.若的最小值为,则的值为_. 12 ,x x 12
7、xxp 15. 若，则函数的最大值为 。 42 x 3 tan2 tanyxx 16. 已知是定义在实数集上的奇函数,且,给出下列结论:;( )f x(2)( )f xf x (2)0f 以 4 为周期;的图象关于轴对称;.这些结论中正确( )f x( )f xy(2)()f xfx 结论的序号是 . 三、解答题(共 70 分) 17. 已知函数. (1)求函数的定义域. 2 ( )lg( 3( 31)tantan)f xxx)(xf (2)若是两个模长为 2 的向量的夹角,且不等式对于定义域内, a b )sin1lg()(xf 的任意实数恒成立,求的取值范围.(12 分)xab 18. 图
8、 1，已知 ABCD 是上下底边长分别为 2 和 6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴3 OO1折成直二面角，如图 2 奎屯 王新敞 新疆 （）证明：ACBO1； （）求二面角 OACO1的余弦 （12 分） 图 1 AB CD O1 O 图 2 B C D A O1 O 图 3 B C D A y x O1 O z 19（12 分）设 f1(x)=，定义 fn+1 (x)= f1fn(x) ，an =（nN*）. x1 2 2)0( 1)0( n n f f (1) 求数列an的通项公式； (2) 若，Qn=（nN*） ，试比较 9T2n与 nn naaaaT 23212 232 144 4 2
9、 2 nn nn Qn的大小，并说明理由.（7 分） 20. （本小题满分 10 分） （注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束， 假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立，已知 前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （I）求甲获得这次比赛胜利的概率； （II）设表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。 21.（12 分）如图，已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，以该椭圆上的点和椭 圆的左、右焦点 12
10、,F F为顶点的三角形的周长为4( 21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆 的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为 BA、和CD、. （）求椭圆和双曲线的标准方程； （）设直线 1 PF、 2 PF的斜率分别为 1 k、 2 k，证明 12 1k k ； （）是否存在常数，使得ABCDAB CD恒成立？若存在，求的值；若 不存在，请说明理由. 22（12 分）已知函数、为实数）有极值，且在 处的切线与直线平行.（1）求实数a的取值范围；（2）是否 存在实数a，使得函数的极小值为 1，若存在，求出实数a的值；若不存在， 请说明理由；（3）设令求证： .
11、（12 分） 参考答案及部分详解： 答案 1.：选 C. 理由：由最小角定理得 12 coscoscos60 2. 选 B. 理由：先将 4 名志愿者排成一列，再将 2 位老人看成一个整体插到 4 名志愿者形 成的三个空中（除去两端的） ，然后将 2 位老人排列，则不同的排法有种. 412 432 144A C A 3. 选 B. 理由：二项展开式的通项为，由展开 225 1 3 2 ()()( 2) rn rrrrnr rnn TCxCx x 式中含有非零常数项知，故正整数的最小值为 5. + 25 (,)nr nNrNn 4. 选 D. 理由： 方法 1：分别取 BB1、CC1的中点 M、
12、N，连 CM、MN、PN、AC，则由 CMBN 知： CMBP，又 BPAC. 故 BP平面 AMC. 所以过 A 与 BP 垂直的直线均在平面 AMC 内， 又 Q 在平面内，故平面 AMC侧面 BB1C1C， 11 BBC CQ 即 Q 在线段 MC 上. 方法 2：建立空间直角坐标系，设，由，(1,)QyzAQBP 得，故0AQBP A1(01, 02).zyyz 5.C6. C7.A8.C 8.C 解:如图分别作 ,QAA AClC PBB于于于 ，连PDlD 于,60 ,CQ BDACQPBD 则 ，2 3,3AQBP2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当，即重
13、合时取最小值。故答案选 C。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0AP AP点与点 9. 与都是奇函数，(1)f x(1)f x(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期( )f x(1,0)( 1,0)( )f x21 ( 1)4T 函数.，即是奇函数。(14)(14)fxf x (3)(3)fxf x (3)f x 故选 D 10. 解:过点 B 作于 M,并设右准线 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意BMll ,故.又由椭圆的第二定义,得.故选3FAFB 2 | 3 BM 2 22 | 233 BF |2AF A w.w.w.k
14、.s.5.u.c.o.m 11.B12.A13. 1-3i 14. 15. 令, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 2 tan,xt1 42 xt w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 () 244 xt yxx xt ttt 16. 17解.(1)令,得, 2 分 2 3( 31)tantan0 xx3tan1x 由此可得所求函数的定义域为. 4 分, 34 Dx kxkkZ (2)当时,而xDtan(3,1)x 2 03( 31)tantan( 3tan )(1tan )xxxx 6 分
15、 2 ( 3tan )(1tan )3 ()1 22 xx 取等条件是,故有最大值,7 分 13 3tan1tantan 2 xxx ( )f x 3 lg(1) 2 原不等式等价于 , 8 分 332 lg(1)lg(1 sin)sin 2233623 又 10 分 2 ()88cos4 cos4cos 22 abab 当时有最大值而当时有最小值 2,故的值域是. 12 分 26 2 3 23 ab 2,2 3 18. .解答解答（I）证明 由题设知 OAOO1，OBOO1所以AOB 是所折成的直二面角 的平面角，即 OAOB 故可以 O 为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、yx 轴
16、、z 轴建立空间直角坐标系，如图 3，则相关各点的坐标是 A（3，0，0） ， B（0，3，0） ，C（0，1，）O1（0，0，） 33 从而 . 0 333),3, 3, 0(),3, 1 , 3( 11 BOACBOAC 所以 ACBO1 5 分 （II）解：因为所以 BO1OC，由（I）ACBO1，所以, 0333 1 OCBO BO1平面 OAC，是平面 OAC 的一个法向量设是 0 平面 O1AC 的 1 BO),(zyxn 一个法向量，由得 设二 , 3 . 0 , 033 0 0 1 z y zyx COn ACn 取 )3, 0 , 1 (n 面角 OACO1的大小为，由、的方
17、向可知，所以 COSn 1 BOn 1 BO ，=即二面角 OACO1的大小是 cosn 1 BO . 4 3 | 1 1 BOn BOn . 4 3 arccos .12 分 19. 解：（1）f1(0)=2，a1=，fn+1(0)= f1fn(0)=, 22 12 4 1 )0(1 2 n f an+1= -= -an. 2)0( 1)0( 1 1 n n f f 2 )0(1 2 1 )0(1 2 n n f f )0(24 )0(1 n n f f 2 1 2)0( 1)0( n n f f 2 1 数列an是首项为,公比为-的等比数列，an=()n1. .6 分 4 1 2 1 4
18、1 2 1 （2）T2 n = a1+2a 2+3a 3+(2n-1)a 2 n1+2na 2 n， T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+(-)(2n-1)a2 n1+2na2 n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) 2 1 ( = a 2+2a 3+(2n1)a2 nna2 n.两式相减，得 T2 n= a1+a2+a 2 3 3+a2 n+na2 n. T2n =+n(-)2n1=-(-)2n+(-)2n1. 2 3 2 1 1 ) 2 1 (1 4 1 2 n 4 1 2 1 6 1 6 1 2 1 4 n 2 1 T2n =-(-)2n+(-)2n1=(1-
19、). 9T2n=1-.又 Qn=1- 9 1 9 1 2 1 6 n 2 1 9 1 n n 2 2 13 n n 2 2 13 ， 2 ) 12( 13 n n 当 n=1 时，22 n= 4,(2n+1)2=9,9T2 nQ n； 当 n=2 时，22 n=16,(2n+1)2=25,9T2 nQn； 当 n3 时， 9T2 2231022 ) 12()() 11(2nCCCC n nnnn nn nQ n. .12 分 20.略 21. 【解析】 （）由题意知，椭圆离心率为 c a 2 2 ，得2ac，又22ac 4( 21)，所以可解得2 2a ，2c ，所以 222 4bac，所以椭
20、圆的标准方程 为 22 1 84 xy ；所以椭圆的焦点坐标为（2，0） ，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是 该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为 22 1 44 xy 22. ， 有极值，故方程 有两个不等实根 由、可得，故实数a的取值范围是 2 分 （2）存在 3 分 ， +0 0+ 极大值极小值 ， 6 分 的极小值为 1 7 分 （3） ， 10 分 证明：当 n=1 时，左边=0，右边=0，原式成立 9 分 假设当 n=k 时结论成立，即，当 n=k+1 时，左边 当且仅当 x=1 时等号成立，即当 时原式也成立 11 分综上当成立 12 分 点评：本试卷难度 0.87，属偏难的类型，A 优线估计在 85 分左右， B 优线估计在 60 左右。