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1、机械工程控制基础,一、系统稳定性的初步概念,1、 稳定的概念,稳定性示例,原理：外力-阀芯初始位移Xi(0)，阀口2、4打开-活塞右移(随动)-阀口关闭(回复平衡位置)(反馈)-活塞继续右移（惯性）-阀口1,3开启-活塞左移-阀口关闭-活塞继续左移（惯性）-阀口2,4开启,1)随动：活塞跟阀芯运动。,2)反馈与惯性：引起振荡。,3) 振荡结果与外界无关。,结论：,1)系统是否稳定，取决于系统本身（结构和参数），与输入无关。,2)不稳定现象的存在是由于反馈作用。,3)稳定性是指自由响应的收敛性。,稳定性定义,原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。若系统在扰动作用消失后，
2、经过一段过渡过程后，系统仍然能够回复到原来的平衡状态，则称该系统是（渐近）稳定的。否则，则称该系统是不稳定的。,稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。,若系统不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，则称该系统是大范围稳定的；否则系统就是小范围稳定的。,对于线性系统，小范围稳定一定意味着大范围稳定，当然此时系统必须工作在其线性范围内。,稳定程度,临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。,处于临界稳定，或接近临界稳定状态的稳定系统，由于分析时依赖的模型通常是简
3、化或线性化的，或者由于实际系统参数的时变特性等因素的影响，在实际中可能成为不稳定的系统，因此，系统必须具备一定的稳定裕量，以保证其在实际工作时处于稳定状态。,经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。,2、稳定的条件,假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：,系统（渐近）稳定。,考虑系统,其特征方程为：,对于特征方程的单实根-，相应瞬态输出为：,当- 0时，该输出分量指数单调衰减。,当- 0时，该输出分量指数单调递增。,当- = 0时，该输出分量为常数。,对于特征方程的一对
4、单复根-+j，相应瞬态输出为：,其中， = arctgB/C。,当- 0时，该分量为指数衰减的振荡过程。,当- 0时，该分量为指数发散的振荡过程。,当- = 0时，该分量为等幅振荡。,对于r重实根-，相应的时域分量为：,当- 0时，该输出分量指数单调衰减。,当- 0时，该输出分量指数单调递增。,当- = 0时，该输出分量多项式递增。,对于一对r重复根-+j，相应的时域分量为：,当- 0时，该分量为指数衰减的振荡过程。,当- 0时，该分量为指数发散的振荡过程。,当- = 0时，该分量为多项式发散的振荡过程。,综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负
5、数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。,由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。,显然，稳定性与零点无关。,系统稳定的判别方法：,1)特征方程根的分布； 2)开环传递函数-闭环系统的稳定性；,二、劳斯（Routh）稳定判据,系统稳定的必要条件,优点：无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。这是一种代数判据，依据根与系统的关系来判断根的分布。,由根与系数的关系可以求得：,若使全部特征根pi若均具有负实部，则要求特征方程的各项系数ai(i = 0, 1, 2, , n)均大于零，即：,注意，该条件仅为系
6、统稳定的必要条件。,ai0 (i = 0, 1, 2, , n),系统稳定的充要条件劳斯稳定判据,列出劳斯阵列,在上述计算过程中，为了简化数学运算，可以用一个正整数去除或乘某一整行，这时并不改变系统稳定性的结论。,用劳斯判据判别系统稳定性,考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。,通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。,例题,解：劳斯阵列如下：,劳斯阵列第一列中元素符号改变了两次，表明系
7、统具有两个正实部的极点，故系统不稳定。,事实上系统包含了三个极点0.406+j10.185、 0.406-j10.185、 -4.812,低阶系统的劳斯稳定判据,二阶系统,三阶系统,例题,解：系统闭环传递函数为：,由三阶系统的稳定条件，有：,此系统为三阶系统，特征方程为：,即：当0K30时系统稳定。,解：系统闭环特征方程为：,系统稳定条件为：,劳斯阵列的特殊情况,劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于 零，但其余各项不等于零或不全为零。,处理方法：用一个很小的正数 代替该行第一列的零，并据此计算出阵列中的其余各项。然后令 0，按前述方法进行判别。,如果零( )上下两项的符号相同，则系统存在一对虚根
8、，处于临界稳定状态；如果零( )上下两项的符号不同，则表明有一个符号变化，系统不稳定。,例如：,劳斯阵列第一列零() 上下两项的符号相同，表明系统有一对虚根。系统临界稳定。,劳斯阵列表某一行全为零,劳斯阵列出现全零行表明系统在s平面有对称分布的根，即存在大小相等符号相反的实根和（或）一对共轭虚根和（或）对称于实轴的两对共轭复根；或存在更多这种大小相等，但在s平面位置径向相反的根。,令辅助多项式等于零得到辅助方程，解此方程可得这些成对的特征根。显然，辅助多项式的阶次总是偶数。,处理方法：利用该零行上面一行元素构成辅助多项式，取辅助多项式导数的系数代替该零行，继续计算劳斯阵列中其余各项。,例如：,
9、用劳斯判据判断系统的相对稳定性,系统相对稳定性可通过极点距虚轴的距离来表征。为了使系统具有良好的动态响应，常希望极点与虚轴具有一定的距离。,为此，可将原 s 平面虚轴向左平移期望的最小距离a，即用 sa 替换原特征方程中的s，得到新的特征方程，再利用劳斯判据即可判断系统的特征根是否位于垂线s = a的左边。,例如：已知,若要求特征根的实部均小于-1，判断K的取值范围。,解：令ss - 1：,要使D1(s)的特征根实部均小于0，即D(s)的特征根实部均小于1，须：,例2,解：系统必须稳定，稳态误差才有意义。系统的特征方程为：,稳定条件为：,即：,本系统为I型系统，在输入xi(t) = a+bt
10、作用下的稳态误差为：,显然，稳态误差ess须：,所以：,例3,解：系统1的闭环特征方程为：,K的稳定域为：,系统2的闭环特征方程为：,系统3的闭环特征方程为：,由于特征方程缺项，不存在K的稳定域。,K的稳定域为：,上述事实表明，增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利。,三、Nyquist稳定判据,1、幅角原理,幅角原理：s按顺时针方向沿Ls变化一周时，F(s)将绕原点顺时针旋转N周，即顺时针包围原点N次。,即有：N=Z-P，其中Z:Ls内的F(s)的零点数， P:Ls内的F(s)的极点数。,2、开、闭环零极点与F(s) 、Nyquist稳定判据,结论：,系统稳定的充要条件是Gb(s)在右半
11、平面没有极点，也就是F(s)在右半平面没有零点。,为研究F(s)在右半平面有没有零点，可选择一条包围 一整个s右半平面的封闭曲线，如下图所示：,应用幅角原理时，Ls不能通过F(s)任何极点，所以当 函数F(s)有若干个极点处于s平面的虚轴或原点处时， Ls应以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按逆时针 方向绕过这些点。,设F(s)=1+G(s)H(s),当s沿Ls移动一周时，在F平面上的映射曲线Lf将顺时针包围原点N=Z-P圈。,G(s)H(s)=F(s)-1，可见GH平面是将F平面的虚轴右移 一个单位所构成的复平面。故F(s)的映射曲线Lf包围 原点的圈数就等于G(s)H(s)的映射曲线Lg
12、h包围(-1,j0) 的圈数。,对于任何物理上可实现的开环系统，其Gk(s)分母的阶数n必不小于分子的阶数m,故有：,所以，s平面上的半径为无穷的半圆映射到GH平面为原点 或实轴上的一点。,故G(s)H(s)的绕行情况只需要考虑s平面的虚轴映射到GH 平面上的开环Nyquist轨迹。,Nyquist稳定判据：当w上 到 时，若GH平面上的 开环频率特性G(jw)H(jw)逆时针方向包围(-1,j0)点P圈， 则闭环系统稳定，P为G(s)H(s)在s右半平面的极点数。,对于开环稳定的系统，有P=0，此时闭环稳定的充要条件：,系统的开环频率轨迹G(jw)H(jw)不包围(-1,j0)点。,3、Ny
13、quist稳定判别步骤,(1)根据开环传递函数，确定P；,(2)作G(jw)H(jw)的Nyquist图，确定N；,(3)运用判据N=Z-P，确定Z；,稳定,不稳定,解：,2)G(jw)H(jw)Nyquist轨迹：,3)若N=P，则有Z=0，闭环 稳定（开环不稳定）,1)右半平面极点数：P=1,注意：我们作Nyquist轨迹时，w的取值常从0- ，此时Nyquist轨迹逆时针包围(-1,j0)的圈数为N，若有N=P/2，则闭环系统稳定。,4、开环含有积分环节时的Nyquist轨迹,当平面上的Nyquist轨迹不能经过的极点时，应该以半径为无穷小的圆弧逆时针绕开开环极点所在的原点，如前图所示。
14、,考虑极点在原点处的情形，此时新的虚轴由j j0 和 j0+ j 的两段直线和小半圆j0 0 j0+组成。,小半圆的表达式为：, = -90对应 = j0 ； = 0 对应 = 0 ； = 90对应 = j0+ ；,对G(j)起始点位于无穷小的半圆上。,当 = 0时， = -90，,当 = 0时， = 0，,当 = j0+时， = 90，,或：argG(j) = v180 。,即当由0 0 0+ 变化时，G(j)以幅值顺时针旋转v180 。,显然，若仅考虑 0的情形，即由 00+ 变化时，G(j)以幅值顺时针旋转v90 。,综上所述，对于包含积分环节的开环系统，对虚轴作上述处理后，绘制Nyqu
15、ist图时需考虑由 00+ 变化时的轨迹。,即按常规方法作出由 0+ 变化时的Nyquist曲线后，从G(j0)开始，以的半径顺时针补画v90 的圆弧(辅助线)得到完整的Nyquist曲线。,显然，对于最小相位系统，由于：,其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。,对于非最小相位系统，辅助线的起始点则由其含有的不稳定环节的个数决定。偶数个时，起于正实轴，奇数个时起于负实轴。,为作图方便，通常按由 0+ 0变化加辅助线，即从G(j0+)开始以的半径逆时针补画v90的圆弧。作出辅助线的Nyquist曲线方向仍然是0 0+ +。,作出辅助线后，即可应用Nyquist判据判别系统的稳定性。,解：,开环
16、 Nyquist曲线不包围 (-1, j0 )点，而N=0，因此，系统闭环稳定。,解：,注意到：,即T1T2 时，Nyquist曲线位于第一象限。,由图可见，Nyquist曲线顺时针包围(-1, j0 )点半次，而P1，系统闭环不稳定。,5、 Nyquist判据中“穿越”的概念,穿越：指开环Nyquist曲线穿过 (-1, j0 ) 点左边实轴时的情况。,正穿越： 增大时，Nyquist曲线由上而下穿过-1 - 段实轴。,负穿越： 增大时，Nyquist曲线由下而上穿 过-1 - 段实轴。负穿越相当于Nyquist曲线 反向包围(-1, j0 )点一圈。,正穿越时，相角增加，相当于Nyquis
17、t曲线正向包围(-1, j0 )点一圈。,Nyquist稳定判据：当由0变化到时Nyquist曲线在(-1, j0 )点左边实轴上的正负穿越次数之差等于q/2时（q为系统开环右极点数），闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。,易知，上图所示系统闭环稳定。,6、 滞后系统的Nyquist稳定性分析,考虑开环附加延迟环节的系统,可见延迟环节不改变原系统的幅频特性，仅对相频特性有影响。具体实例见P176。延迟环节不利于系统稳定,四、Bode稳定判据,1、Nyquist图与Bode图的对应关系,Bode稳定判据是几何判据，Nyquist判据的引申。,Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲
18、线与横轴交点的频率，称为剪切频率或幅值穿越频率、幅值交界频率，记为c。,Nyquist轨迹与负实轴交点的频率，即对数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界频率，记为 g。,2、穿越的概念,在前面已讲过穿越、正穿越、负穿越。,若开环频率特性Nyquist轨迹在（1，j0)点沿频率增加的方向，开环Nyquist轨迹自（1，j0)点以左的负实轴开始向下称为半次正穿越；反之，若沿频率增加的方向，开环轨迹自以左的负实轴开始向上称为半次负穿越。,对应于图上，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，沿增加的方向，对数相频特性Bode曲线自下而上穿越-180o线为正穿越；反之，称为负穿越。若对
19、数相频特性曲线自-180o线开始向上，称为半次正穿越；反之，若对数相频特性曲线自-180o线开始向下，称为半次负穿越。,3、Bode判据,设系统开环传递函数在s平面的右半平面的极点数为P，则对应的闭环系统稳定性判据是：在Bode图上，当由0变到+ 时，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对-180o线正穿越的次数与负穿越的次数之差为P/2时，闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定。,特别地：P=0时，若wcwg，闭环系统不稳定。 若wc=wg，闭环系统临界稳定。,若开环对数幅频特性对横轴有多个剪切频率，则取最大的那个来判定系统的稳定性。(见P178),其Bode图如图a所示，,由上可知，K=10时，闭环系统稳定，但幅值裕度较大，但相位裕度30o，因而不具有满意的相对稳定性。 K=100时，闭环系统不稳定。,