机械振动第二章习题.ppt

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1、第二章 单自由度系统强迫振动,工程中的自由振动由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止 实际上又存在有大量不衰减的持续振动，由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗，有的承受外加的激振力。 在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。,一. 单自由度系统的无阻尼受迫振动,交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系统；,弹性梁上的电动机由于转子偏心在转动时引起的振动等。,简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力：,H：激振力力幅；：激振力的圆频率；：激振力初相位,设F为简谐激振力， F在坐标轴上的投影写成：,1.振动微分方程,图示振动系统，物块质量为m。,取物块的平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下.,恢复力Fk

2、 在坐标轴上的投影为,两端除以m，并设：,物块受力有恢复力Fk和激振力F。,质点的运动微分方程为,则得：,该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性微分方程,解由两部分组成：,齐次方程的通解为:,将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：,b为待定常数,设特解为：,得无阻尼受迫振动微分方程的全解：,解得：,表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的： 第一部分是频率为固有频率的自由振动； 第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。 实际振动系统存在阻尼，自由振动部分总会逐渐衰减下去，因而我们着重研究第二部分受迫振动，它是一种稳态的振动。,2.受迫振动的振幅,在简谐激振的条件下

3、，系统的受迫振动为谐振动，其振动频率等于激振力的频率，振幅的大小与运动起始条件无关，与振动系统的固有频率n激振力的力幅H、激振力频率有关。,(1) 若0，此时激振力的周期趋近于无穷大，激振力为一恒力，并不振动，所谓的b0振幅实为静力H作用下的静变形。,下面讨论受迫振动的振幅与激振力频率之间的关系,(2)若0n,值越大，振幅b越大，即振幅b随着频率单调上升，当接近n时，振幅将趋于无穷大。,由式,(3)若n,按式b为负值。习惯上把振幅都取为正值，因而取其绝对值，而视受迫振动与激振力反向，相位应加（或减）1800。 随着激振力频率增大，振幅b减小。当趋于，振幅b减小趋于零。,将纵轴取为= b/b0，

4、横轴取为=/n， 和都是无量纲的量，绘出无量纲的振幅频率曲线。,振幅b与激振力频率之间的关系,绘出曲线表示。该曲线称为振幅频率曲线,上述分析，当=n时，即激振力频率等于系统的固有频率时，振幅b在理论上应趋向无穷大，这种现象称为共振。,此时特解应设为：,(3) 共振现象,当=n时,是没有意义的,无阻尼受迫振动微分方程,得：,它的幅值为：,共振时受迫振动的运动规律为:,实际上，由于系统存在阻尼，共振时振幅不可能达到无限大，一般来说，共振时的振幅都是相当大，往往使机器产生过大的变形，甚至造成破坏。 因此如何避免发生共振是工程中一个非常重要的课题。,当=n时，系统共振，受迫振动的振幅随时间无限地增大，

5、其运动图线如图示。,例. 图示为一无重刚杆AO，杆长为l，其一端O铰支另一端A水平悬挂在刚度为k的弹簧上，杆的中点装有一质量为m的小球。若在点A加一激振力F=F0sint,其中激振力的频率=1/2n , n为系统的固有频率。忽略阻尼，求系统的受迫振动规律。,解： 设任一瞬时刚杆摆角为，根据刚体转动微分方程可以建立系统的运动微分方程。,令,微分方程整理为：,将=1/2n代入上式,解得：,研究受迫振动方程特解,例. 图示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。设电机的质量为m1，偏心块的质量为m2 ，偏心距为e，弹性梁的刚性系数为k，求当电机以角速度匀速旋转时系统的受迫振动规律。,解： 1) 取电

6、机与偏心块质点系为研究对象 设电机轴心在瞬时t相对其平衡位置O的坐标为x，,2）作用力：在系统上的恢复力:,3) 质点系动量定量的微分形式,则偏心块坐标为：x+esint 。,此微分方程为质点受迫振动，激振力项 m2e2sint 即电机旋转时，偏心块的离心惯性力在x轴方向的投影。 激振力力幅为 m2e2 等于离心惯性力的大小 激振力的圆频率等于转子的角速度。 这种情况引起的激振力的力幅与激振力的频率有关。,整理后得：,当n时，振幅随着增大而减小，最后趋于m2e/(m1 +m2) 。,此曲线当n时，振幅从零开始，随着频率增大而增大；,令：,绘出振幅频率曲线。,当=n时，振幅趋于；,受迫振动振幅：

7、,例. 图为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度为k。测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为s=esint，求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。,解： 1）取测振仪为研究对象 测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬挂点的运动规律就是s=esint 。 2）位移分析 取t=0时物块的平衡位置为坐标原点O，取x轴如图。如弹簧原长为l0，st为其静伸长。设任一时刻t时，物块的坐标为x，弹簧的变形量为,3）物块运动的微分方程：,整理为：,可见物块的运动微分方程为无阻尼受迫振动的微分方程。,物块的受迫振动形式：,激振力的力幅为,b为物块绝对运动的振幅。 由于测振仪壳体运

8、动的振幅为e，记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅 a=|b-e|。当n 时，b0，有ae。 一般测振仪的物块质量较大，弹簧刚度k很小，使n很小。 用它来检测频率不太低的振动时，物块几乎不动，记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。,可建立质点运动微分方程,若选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下。 则各力在坐标轴上的投影为：,二. 单自由度系统的有阻尼受迫振动,图示有阻尼振动系统，设物块的质量为m，作用在物块上的力有线性恢复力Fk、粘性阻尼力Fc和简谐激振力F。,整理得：,有阻尼受迫振动微分方程的标准形式 二阶线性常系数非齐次微分方程 其解由两部分组成：,x1 ：齐次方程的通解 在

9、小阻尼（n n ）情形下，有,两端除以m，并令：,x2 ：对应齐次方程的特解 设它的形式为：,其中表示受迫振动的相位落后于激振力的相位角。 代入微分方程，可得：,将右端改写为：,可整理为：,对任意瞬时t，必须满足：,其中A和为积分常数，由运动的初始条件确定。 有阻尼受迫振动由两部分合成： 第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动,两方程联立，可解出：,得微分方程的通解为：,由于阻尼的存在 第一部分振动随时间的增加，很快地衰减， 这段过程称为过渡过程（瞬态过程）. 过渡过程是很短暂的。 过渡过程之后，系统进入稳态过程。,有阻尼存在，受简谐激振力作用的受迫振动仍然是谐振动，其振动频率等于激振力的频率

10、，其振幅表达式为：,受迫振动的振幅不仅与激振力的力幅有关，还与激振力的频率以及振动系统的参数m、k和阻力系数c有关。,下面研究稳态过程的振动。 由受迫振动的运动方程特解可知：,采用无量纲形式，横轴表示频率比=/n,纵轴表示振幅比=b/b0。阻尼的改变用阻尼比=c/cc=n/n来表示。,不同阻尼条件下受迫振动的振幅频率曲线,阻尼对振幅的影响程度与频率有关,1）当n时，阻尼对振幅的影响甚微，可忽略系统的阻尼而当作无阻尼处理。 2）当n （即1）时，振幅显著地增大。这时阻尼对振幅有明显的影响，即阻尼增大，振幅显著地下降。,振幅bmax具有最大值，这时的频率称为共振频率。 在共振频率下的振幅为：,或,

11、在一般情况下，阻尼比1，可认为共振频率=n ， 即当激振力频率等于系统固有频率时，系统发生共振。 共振的振幅为,（3）当n时，有阻尼受迫振动的振幅影响也较小，这时可以忽略阻尼，将系统当作无阻尼系统处理。,有阻尼受迫振动的位相总比激振力落后一个相位角，称为相位差。,表达了相位差随谐振力频率的变化关系。,或,由微分方程的特解,画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）,相频曲线可看到：相位差总是在0至180区间变化，是一单调上升的曲线。共振时：=n =90 ，阻尼值不同的曲线都交于这一点。越过共振区之后，随着频率的增加，相位差趋近180，这时激振力与位移反相。,相频曲线,解： 1) 取系统为研究

12、对象 2）受力分析,例. 如图所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端l处有一质量为m的质点，距2l处有一阻尼器，其阻尼系数为c，距3l处有一刚度为k的弹簧，并作用一简谐激振力F=F0sint。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率n以及当激振力频率等于n时质点的振幅。,3）建立系统的振动微分方程 设刚杆在振动的摆角为，由动量矩定理：,整理得：,令：,当=n时，其摆角的振幅为：,质点的振幅：,工程中的回转机械，如涡轮机、电机等，在运转时经常由于转轴的弹性和转子偏心而发生振动。 当转速增至某个特定值时，振幅会突然加大，振动异常激烈，当转速超过这个特定值时，振幅又会很快减小

13、。使转子发生激烈振动的特定转速称为临界转速。,三. 转子的临界转速,以单圆盘转子为例，说明这现象,设圆盘的质量为m，质心为C，点A为圆盘与转轴的交点，偏心距e=AC。 圆盘与转轴一起以匀角速度转动时，由于惯性力的影响，转轴将发生弯曲而偏离原固定的几何轴线 z 。 设点O为z轴与圆盘的交点，rA=OA为转轴上点A的挠度（变形）,在俯视图上，设转轴安在圆盘中点， 当轴弯曲时，圆盘仍绕点O匀速转动。 圆盘惯性力的合力Fg通过质心，背离轴心点O，大小为Fg =m2OC。 作用在圆盘上的弹性恢复力F指向轴心点O，大小为F=krA ，k为轴的刚度系数。,图示的单圆盘转子垂直地安装在无质量的弹性转轴上。,由

14、达朗伯原理，惯性力Fg与恢复力F相互平衡 而点O、A、C应在同一直线上，且有：,以m除分子与分母,系统的固有频率,则上式为：,解出A点挠度：,当转动角速度从0逐渐增大时，挠度rA也逐渐增大； 当=n时， rA趋于无穷大。 实际上由于阻尼和非线性刚度的影响，rA为一很大的有限值。 使转轴挠度异常增大的转动角速度称为临界角速度，记为cr ，它等于系统的固有频率n； 此时的转速称为临界转速，记为nn,当cr时上式为负值，取rA其绝对值； 再增大时，挠度值rA迅速减小而趋于定值e（偏心距），此时质心位于点A与点O之间，如b图所示。 当cr时，rA e，这时质心C与轴心点O趋于重合，即圆盘绕质心C转动，

15、这种现象称为自动定心现象。,偏心转子转动时，由于惯性力作用，弹性转轴将发生弯曲而绕原几何轴线转动，称“弓状回转”。轴承压力的方向周期性变化。 当转子角速度接近临界角速度、转轴的变形和惯性力都急剧增大，轴承承受很大的动压力，机器会发生剧烈振动。 在一般情况下，转子不允许在临界转速下运转，只能在远低于或远高于临界转速下运行。,工程中，振动现象是不可避免的，因为有许多回转机械中的转子不可能达到绝对“平衡”，往复机械的惯性力更无法平衡，这些都是产生振动的来源。 对这些不可避免的振动只能采用各种方法进行隔振或减振。,四.隔 振,将振源与需要防振的物体之间用弹性元件和阻尼元件进行隔离，这种措施称为隔振。

16、隔振分为： 主动隔振 被动隔振,主动隔振是将振源与支持振源的基础隔离开来。 图示电动机为一振源，在电动机与基础之间用橡胶块隔离开来，以减弱通过基础传到周围物体去的振动。,1.主动隔振,振源产生的激振力 F(t)=Hsint 物块与基础间弹簧刚度：k 阻尼系数：c,根据有阻尼受迫振动的理论,物块的振幅为：,对图示主动隔振的简化模型。,物块振动时传递到基础上的力为两部分： 一部分是由于弹簧变形而作用于基础上的力：,两部分力相位差为90，频率相同，合成为一个同频率合力，合力的最大值为：,即：,FNmax：振动时传递给基础作用力的最大值,另一部分是通过阻尼元件作用于基础的力：,它与激振力的力幅H之比为

17、：,称为力的传递率。,表明力的传递率与阻尼和激振频率有关。,1）1.414，1.414时，加大阻尼会使振幅增大，降低隔振效果。 5）阻尼太小，机器过共振区时会产生很大的振动，隔振，要选择恰当阻尼值。,不同阻尼时传递率与频率比的关系曲线。,地基振动将引起物体的振动，这种激振称为位移激振。 设物块的振动位移为x，则作用在物块上,将需要防振的物体与振源隔开称为被动隔振。 例如，在精密仪器的底下垫上橡皮或泡沫塑料，将放置在汽车上的测量仪器用橡皮绳吊起来等。,图示一被动隔振的简化模型。物块表示被隔振的物体，质量为m；弹簧和阻尼器表示隔振元件，弹簧的刚性系数为k，阻尼器的阻尼系数为c。 设地基振动为简谐振

18、动，即：,2.被动隔振,弹簧力为：,阻尼力为：,质点运动微分方程为,整理得,右端两个同频率的谐振动合成，得,其中：,设上述方程的特解（稳态振动）为,写成无量纲形式为,其中 是振动物体的位移与地基激振位移之比，称为位移的传递率。位移传递率曲线与力的传递率曲线相同。 在被动隔振中，对隔振元件的要求与主动隔振是一样的。,曲线,当,，无隔振效果（,）。,在,区域内，,，不隔振，反而放大,共振,，隔振区,令,为隔离振动百分率。,当,时，,一般取,1.0,1.0,隔振要求,即：高频振动易隔离，低频振动很难隔离,因系统弹簧刚度要低（k要小，但k太小系统又不稳定,，应,无法满足隔振要求,采用主动，半主动隔振）

19、,隔振设计步骤 a. 按 要求确定 b. 计算设备质量m（从图纸等有关资料） c. 计算隔振装置刚度 d. 验算隔振后振幅，若振幅太大可增大设备质量m或改变隔振器参数出（增大 ）,例：系统固有频率为3.8Hz ，隔振器阻尼比 ，地基干扰为正弦干扰。振幅 ，最大振动速度 求隔振后设备振幅。,c,m,k,y(t),地面扰动频率为,而,设备振幅,例：一机器质量为,，机器工作时产生,的激振力为,，,已知,，作隔振设计。,取,初步设计取,有,则,为此增大质量，设增加质量为,（基础质量），,则总质量,从,有：,隔振弹簧刚度,五. 振系在任意周期力作用下的强迫振动,对,有,及,其中,任意周期力可展为富里叶级

20、数,则,六.振系在任意激励下的强迫振动,脉冲响应函数,假定在,时的极短,时间间隔,之内质量m受到一个,冲量I作用，且,则质量m将产生一个初速度,而初位移为零（d很短，系统,来不及产生位移）,c,k,P(t),m,系统对此初始条件的响应为,是系统对单位脉冲,的响应，叫单位,脉冲响应，它只与系统参数有关。,2. 任意激振力的响应。,将任意激振力,看作一系列脉冲作用,P,d,t,在,t = 时，系统受冲量,作用，产生,响应为,总响应为,不计阻尼作用,（卷积）,例:,一弹簧质量系统受一个常力Po突然作用，,求系统响应（突然加载）,P,t,，表明,为静位移值2倍,例：突然卸载,P,t,在,：,在,当,当

21、,3. 振动系统的输入输出关系,输出,输入,时域：,卷积关系,表示系统,频域：,系统,两边作富里叶变换：,叫系统的频响函数,反映系统特性且,例. 图示一汽车在波形路面行走的力学模型，路面的波形可以用公式表示y1=sin2x/l，其中幅度d=25mm，波长l=5m。汽车的质量为m=3000kg，弹簧刚性系数为k=294kN/m。忽略阻尼，求汽车以速度v=45km/h匀速前进时，车体的垂直振幅为多少？汽车的临界速度为多少？,解： 1）以汽车为研究对象 这是被动隔振问题 2）计算位移 汽车匀速行驶的位移为：,设：,则：,v=45km/h=12.5m/s,3）参数计算 系统的固有频率为,激振频率与固有频率的频率比为：,4）求位移传递率：,汽车的振幅,当=n时系统发生共振：,得临界速度：,