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1、中考数学二次函数的图象与系数符号的关系400714 重庆市北碚区江北中学 刘伟QQ：709568023 手机：15803076955E-mail：二次函数是中学阶段最重要的内容之一，是每年中考的必考内容。命题的形式多种多样，在二次函数所有考点中，二次函数的图象问题，是其中的热点问题。“图象分析”类中考试题，新颖活泼，魅力非凡，它集逻辑推理、逆向思维、综合运用等式、不等式于一体，它立意考查学生数形结合的思想、理解分析能力、数据处理能力，要求考生从图象中攫取信息，并用这些信息来揭示问题的本质属性，所以成为中考数学的热点。二次函数yax2bxc（a0）的系数符号与图象有着密切关系根据抛物线的形状来判
2、断a、b、c的符号，也可以根据系数a、b、c的符号可确定抛物线yax2bxc的大致形状观察抛物线的位置确定符号的方法：根据抛物线的开口方向可以确定a的符号开口向上，a0；开口向下，a0根据顶点所在象限可以确定b的符号顶点在第一、四象限，0，由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，0，由此得a、b同号再由中a的符号，即可确定b的符号特别地，若抛物线的对称轴是直线x1，则1，即b2a；若抛物线的对称轴是直线x1，则1，即b2a根据抛物线与y轴的交点位置可以确定c的符号因为当x0时yc，所以交点在y轴的正半轴上，c0；交点在原点，c0；交点在y轴的负半轴上，c0根据抛物线与x轴的位置关系可以确定b24
3、ac的符号因为当y0时ax2bxc0，所以抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2bxc0有两个不相等的实数根，此时b24ac0；抛物线与x轴只有一个交点时，方程ax2bxc0有两个相等的实数根，此时b24ac0；抛物线与x轴没有交点时，方程ax2bxc0没有实数根，此时b24ac0根据直线x1与抛物线交点的位置可以确定abc的符号。交点在x轴上，abc0；交点在第一象限abc0；交点在第四象限abc0同样根据直线x1与抛物线交点的位置可以确定abc的符号（自己探索）反过来，可以由系数a、b、c的符号可确定抛物线yax2bxc的大致形状下面结合近几年的中考题分述如下 一、由系数符号确定抛物线的位置
4、例1 已知a0，b0，c0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（）A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限解析：由a，b，知，又由c0，知4ac-b20，所以，所以抛物线的顶点在第一象限内，故选A二、由抛物线的位置确定a，b，c的符号例2（潍坊）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则a，b，c满足（）Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c0解析：因为抛物线的开口向下，所以a0；对称轴在y轴的左侧，所以，再结合a0可得b0；抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，所以c0，故应选A三、综合运用图象和a，b，c的符号特征解决相关问题例3 二次函数y=a
5、x2+bx+c（a）的图象如图2所示，则点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：因为抛物线的开口向下，所以a0，因为抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c0，所以；因为抛物线的顶点在y轴的右边，所以，可知b与a异号，再结合a0可知b0，所以点M在第四象限，故选D例4 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3所示，则下列关于a，b，c间关系的判断正确的是（）Aab0Bbc0Ca+b+c0Da-b+c0析解：由对称轴在y轴左侧，可知，进而可知ab0，故可首先排除A；由抛物线的开口向下，可知a0，再结合对称轴在y轴左侧可知b0，由抛物线与y轴交于负半轴，知c0，进而可知bc0，故可排除B；由x=1时，抛物线在x轴的下方，知当x=1时，y=a+b+c0，故可排除C；由x=-1时，抛物线在x轴的下方，知当x=-1时，y=a-b+c0，故应选D