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1、一、条件极值与拉格朗日乘数法 二、例,第五节 条件极值,1.定义 求函数 在满足函数,方程组（限制条件）,的所有点,的极值，就是条件,极值。函数方程组（1）称为联系方程组。,一、条件极值与拉格朗日乘数法,2.问题 讨论四元函数,(2),满足联系方程组(限制条件),(3),条件下取极值的必要条件.,即若点 是这个条件极值的,极值点,其坐标应满足什么样的方程?,设函数 所有偏导数在点 的某邻,域 连续，且矩阵,的秩为2，,不妨设函数行列式,所以方程组(3)满足方程组确定的隐函数,定理的条件，则存在点 的邻域,隐函数组,使,（4）,（5）,，在 存在唯一一组有连续偏导数的,若 是极值点，则 的坐标必
2、满足方程(4).,将(4)式代入函数之中,化为的二元函数,设,若点 是条件极值的极值点，则,点 必是函数 的稳定点。,根据多元函数极值的必要条件，点,（6）,由（6）式可得,满足方程组,（7）,再对（5）式分别关于 求偏导数，有,（8）,（9）,从方程组(8)(9)解出,并将其代入,方程(7)，可以得到点 必满足的方程。,即选择适当的常数,分别乘方程(8)两个方程，即,加减消去法,将它们与方程组（7）的第一个方程等号,两端分别相加，有,用同样的方法去乘方程组（9），与（7）,的第二个方程两端相加，有,为了消去偏导数,令,（10）,从而有,（11）,方程组转化为方程组(10)(11).若点,是极
3、值点，则其坐标和,必须满足六个方程,常数,3.定理1 设函数,的所有偏导数在点,的某邻域G连续，且矩阵,的秩为2，若点,是函数,满足联系方程组,的极值点，,则存在常数,与,与 和点 的四个,必同时满足下列方程组：,（共六个方程）,坐标,此定理可以推广多个函数的情况.,一般情况下求条件极值的步骤如下:,引进辅助函数,令函数,关于,的偏导数为0，即,（定理的六个方程）,求函数,在满足联系方,，,程组,的普通,的极值问题转化为求辅助函数,极值，称为拉格朗日乘数法。,例1,求三维欧氏空间 的一点,到平面 的距离.,例2 设n个正数之和之和是 ,求函数的最大值,练习,将正数12分成三个正数,之和 使得为最大,解令,则,由 (1)，(2) 得,由 (1)，(3) 得,将 (5)，(6) 代入 (4)：,于是，得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，最大值一定存在，,所以最大值就在这个可能的极值点处取得。,故，最大值,即，得唯一驻点,例3抛物面 被平面,截成一个椭圆.求这个椭圆到坐标原点的,最长与最短距离.,例4 求,在条件,下的极值.,