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1、,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),规定：域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式,推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,格林公式,例如, 椭圆,所围面积,定理1,例1.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明,证: 令,则,利用格林公式 , 得,例2. 计算,其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .,解: 令, 则,利用格林公式 , 有,二、平面上曲线积分与路径
2、无关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明:,根据定理2 , 若在某区域D内,则,注： 求曲线积分时,若积分路径不是闭曲线，且难计算，则可添加辅助线后，利用格林公式简化计算。,2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,定
3、理2,3) 若已知 d u = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲,定理2,注: 此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4).,它类似于微积分基本公式:,例4. 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 则,例5. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数及,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,例6. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,证: 令,则,由定理 2 可知存在原函数,或,例7. 设质点在力场,作用下沿曲线 L :,由,移动到,求力场所作的功W,解:,令,则有,可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.,思考: 积分路径是否可以取,取圆弧,为什么？,注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径,无关 !,内容小结,转内容小结,内容小结,1. 格林公式,2. 等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有,为全微分方程,2. 设,提示:,作业 P214 5 (1) , (4) ；,第四节,第四节,