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1、框架结构内力和位移计算,在多数情况下，框架结构可以按照上节所述的基本假定及简化方法，简化为平面结构进行内力分析，在纵向和横向都分别由若干榀框架承受竖向荷载和水平荷载。,框架是典型的杆件体系，结构力学中已经比较详细地介绍了超静定刚架（框架）力和位移计算方法。,精确方法,全框架力矩分配法 无剪力分配法 迭代法,实用中已大多被更精确、更省人力的计算机程序分析杆件有限元方法所代替。,近似方法,竖向荷载作用下的近似计算分层计算法 水平荷载作用下的近似计算反弯点法 水平荷载作用下的改进反弯点法D值法 水平荷载作用下侧移的近似计算,计算简便、易于掌握，实际工程应用还很多 特别是初步设计时需要估算,竖向荷载作
2、用下的近似计算（分层计算法）,在一般竖向荷载下，框架侧移比较小，可以按照弯矩分配法进行内力分析,多层多跨框架在一般竖向荷载作用下侧移是比较小的，可作为无侧移框架按力矩分配法进行内力分析。由精确分析可知，各层荷载对其他层杆件内力影响不大。因此，在近似方法中，可将多层框架简化为单层框架，即分层作力矩分配计算。,上述两点即为分层计算法的基本简化假定。,分层计算所得梁弯矩即为最后弯矩，但是必须将上下两层所得同一根柱子的内力叠加，才能得到柱的内力，因为每一根柱都同时属于上下两层。,分层法计算简图,精确分析表明，荷载只对同层杆件内力影响很大，而对其他层影响很小。,假定：1、无侧移 2、各层荷载对其他各层杆
3、件内力无影响,计算时候，假定上下柱远端均为固定,实际上除了底层柱外,其他均为弹性支撑,故为了减小误差。特意作如下修正：,1、上层各柱线刚度乘以0.9加以修正。梁不变,2、除底层柱外，各柱传递系数修正为1/3。梁不变,计算结果中结点上弯矩可能不平衡，但是误差不会太大，可以不再计算，也可以为提高精度，再进行一次弯矩分配。,弯矩分配法,适用条件：无节点线位移的结构。,弯矩分配法注意事项,例题,A,7.50m,5.60m,3.80m,4.40m,q=2.8kN/m,q=3.8kN/m,q=3.4kN/m,（7.11）,（4.21）,（4.21）,（1.79）,（4.84）,（12.77）,（7.63）
4、,（10.21）,（9.53）,（3.64）,B,C,D,E,F,G,H,I,（括号内数字为线刚度相对值）,（i=EI/l）,解：,A,7.50m,5.60m,3.80m,4.40m,（7.11）,（4.21）,（4.21）,（1.79）,（4.84）,（12.77）,（7.63）,（10.21）,（9.53）,（3.64）,B,C,D,E,F,G,H,I,上层各柱线刚度0.9，然后计算各节点的弯矩分配系数,（i=EI/l）,0.9=3.789,0.9=3.789,0.9=1.611,上层计算,0.332,（3.789）,（3.789）,（1.611）,（7.63）,（10.21）,D,E,F
5、,G,H,I,0.668,0.353,0.472,0.175,0.864,0.136,-13.125*,+13.125*,-7.317*,+7.317*,8.678,4.358,4.384,-6.332,-0.995,-3.161,-2.482,-3.319,-1.230,-1.241,-1.660,0.829,0.412,0.414,1.434,0.226,0.717,-0.399,-0.534,-0.198,-0.200,-0.267,0.133,0.066,0.231,0.036,0.067,0.115,-0.064,-0.086,-0.032,15.045,-13.585,-1.460
6、,-4.836,4.836,0.733,-0.733,1.612,-0.487,-0.244,下层计算,A,B,C,D,E,F,G,H,I,0.348,0.466,0.185,0.308,0.413,0.156,0.123,0.709,0.202,0.089,-17.813*,+17.813*,-8.885*,+8.885*,8.301,-1.529,0.713,-1.167,0.078,-10.417,4.150,0.356,-0.334,-3.058,0.039,-0.036,18.930,-1.459,-0.169,-0.018,-1.736,-3.150,-6.299,-4.100,-
7、2.050,0.727,1.453,-0.447,-0.224,-0.079,0.159,-0.049,-15.825,1.924,6.199,0.532,0.058,3.925,0.283,0.031,3.609,6.789,-0.791,-1.795,0.414,0.045,0.182,0.020,-1.221,-0.133,-0.015,-1. 369,-0.589,-1. 336,3.395,-0.868,-0.668,-0.196,-0.456,1.203,1/3,1/2,各层叠加后的M图,精度分析,A,B,C,D,E,F,G,H,I,分析结论：1）梁的误差较小； 2）柱的误差比较大
8、。,作业,A,8.00m,6.00m,3.80m,4.40m,q=4.8kN/m,q=1.8kN/m,q=2.4kN/m,（6.11）,（4.21）,（4.21）,（2.00）,（4.84）,（10.77）,（5.63）,（8.21）,（10.53）,（5.00）,B,C,D,E,F,G,H,I,（括号内数字为线刚度相对值）,（i=EI/l）,水平荷载作用下的近似计算反弯点法,框架所受水平荷载主要是风力和地震作用。将在每个楼层上的总风力和总地震作用分配给各个框架，将结构分析简化为平面框架分析。,受力和变形特点 假定条件 计算方法 需注意的问题,受力和变形特点,各杆弯矩图呈直线，有反弯点 （弯矩
9、图中弯矩为零的点，变形图中凸凹曲线的拐点） 同层各节点位移相同（忽略梁的轴向变形）,水平荷载作用下 框架的弯矩图,水平荷载作用下 框架的变形图,假定条件,将水平荷载化为节点集中力； 假定横梁为刚性梁，梁柱线刚度比很大，节点角位移 ，各节点只有侧移，同层各节点水平位移相等； 底层柱反弯点在距底端2/3h处，上层各柱反弯点在柱高1/2处。,计算方法,根据各楼层水平荷载计算出各层总剪力； 将某层总剪力按该层各柱的抗侧移刚度分配给该层各柱； 将各柱分配到的剪力作用到反弯点位置，计算柱端弯矩； 根据节点平衡求出梁端弯矩之和，并按左右梁的线刚度进行分配。,计算方法,梁端剪力 柱的轴力,需注意的问题,适用条
10、件：梁的线刚度与柱的线刚度之比大于3时，可用反弯点法计算； 对于层数不多的框架，误差不大； 对于层数较多的框架，由于柱截面加大，梁柱相对线刚度减小，此时误差较大。,【例】如图所示框架的弯矩图，图中括号内数字为各杆的线刚度。,当同层各柱h相等时，各柱抗侧刚度d12ic/h2，可直接用ic计算它们的分配系数。这里只有第3层中柱与同层其他住高不同，作如下变换即可采用折算线刚度计算分配系数。,【解】,折算线刚度,括号内数字为精确解。本例表明，用反弯点法计算的结果，除个别地方外，误差是不大的。表明除个别位置外，反弯点法计算误差不大。,水平荷载作用下的改进反弯点法D值法,当框架的高度较大、层数较多时，柱子
11、的截面尺寸一般较大，这时梁、柱的线刚度之比往往要小于3，反弯点法不再适用。如果仍采用类似反弯点的方法进行框架内力计算，就必须对反弯点法进行改进改进反弯点（D值）法。,基本假定 假定同层各节点转角相同；承认节点转角的存在，但是为了计算的方便，假定同层各节点转角相同。 假定同层各节点的侧移相同。这一假定，实际上忽略了框架梁的轴向变形。这与实际结构差别不大。,优点： 1、计算步骤与反弯点法相同，计算简便实用。 2、计算精度比反弯点法高。 缺点： 1、忽略柱的轴向变形，随结构高度增大，误差增大。 2、非规则框架中使用效果不好。,修正内容： 柱侧移刚度D值 柱反弯点高度比,柱侧移刚度修正系数 表,柱侧移
12、刚度的修正,柱抗侧移刚度,值反映：梁对柱的约束能力越强，柱抗侧移刚度越接近,柱反弯点位置的修正,标准反弯点高度比y0 上下层梁线刚度比变化时反弯点高度比修正系数y1 上下层高变化时反弯点高度比修正系数y2, y3,规律：反弯点偏向柱端节点约束刚度较小的一侧。,例3-3：图为3层框架结构的平面及剖面图。图b给出了楼层高处的总水平力及各杆线刚度相对值。要求用D值法分析内力。,解：计算各层柱D值如表1。由图a可见，每层有10根边柱及5根中柱，所有柱刚度之和可计算每根柱分配到的剪力。,反弯点高度比,图给出了柱反弯点位置和根据柱剪力及反弯点位置求出的柱端弯矩、根据结点平衡求出的梁端弯矩。根据梁端弯矩可进
13、一步求出梁剪力（图中未给出）。,水平荷载作用下侧移的近似计算,框架侧移主要由水平荷载引起，规范对层间以及顶点位移的大小限制，故需要计算层间位移以及顶点位移。框架侧移主要由两部分变形组成：,一根悬臂柱在均布荷载作用下，可以分别计算弯矩作用和剪力作用引起的变形曲线，二者形状不同，如图虚线所示。 由剪切引起的变形形状愈到底层，相邻两点间的相对变形放大，当q向右时，曲线凹向左。（剪切型） 由弯矩引起的变形愈到顶层，相对变形愈大,当q向右时，曲线凹向右。,剪切变形与弯曲变形,只考虑梁柱弯曲产生的侧移，梁柱弯曲变形由VA、VB 引起，剪切型变形曲线， 只考虑梁柱轴向变形的侧移，柱轴向变形由NA、NB合成的
14、M引起，弯曲型变形曲线， 框架总变形由弯曲变形和剪切变形两部分组成，层数不多的框架，可以忽略轴向变形引起的弯曲变形，高度较大时候，两者均要考虑。 一般而言，总的侧移曲线仍以剪切型为主。,梁柱弯曲变形产生的侧移,抗侧刚度D值的物理意义是单位层间侧移所需的层剪力（该层间侧移是梁柱弯曲变形引起的）。,当已知框架结构第j层所有柱的D值位及层剪力后，可得近似计算层间侧移的公式,各层楼板标高处侧移绝对值是该层以下各层层间侧移之和。顶点侧移即所有层（n层）层间侧移之总和。,【例34 】,求图所示三跨12层框架内杆件弯曲产生的顶点侧移n及最大层间侧移j，层高h400cm，总高H400124800cm，弹性模量
15、E2.0104MPa。各层梁截面尺寸相同，柱截面尺寸有四种，7层以上柱断面尺寸减小，内柱、外柱尺寸不同，详见图中所注。,【解】各层ic、K、D、Dij及相对侧移j、绝对侧移j计算如表1，计算结果绘于图,柱轴向变形产生的侧移,在水平荷载作用下，对于一般框架，只有两根边柱轴力较大，一拉一压。中柱因两边梁的剪力相近，轴力很小。可假定除边柱外，其他柱子轴力为零。此时，只需考虑边柱轴向变形产生的侧移。这样可大大简化计算。,在水平荷载q(z)作用下，用单位荷载法求出由柱轴向变形引起框架顶点的水平位移。为了简化计算，把图所示框架边柱轴向变形及水平位移看成连续函数。则可得到j层侧移如下式（其中Hj为j层楼板距
16、底面高度）：,（a）,这里，N为单位水平集中力作用在j层时边柱的轴力，,（b）,N是水平荷载引起的边柱内力。令水平荷载引起的总力矩为M(z)，则 N=M(z)/B （c） A为边柱截面面积。假定边柱截面沿z轴呈直线变化，令 nA顶/A底 A(z)1(1n)zH A底 （d） A顶及A底分别为顶层柱及底层柱截面面积。,把式(b)、(c)、(d)代人式(a)得,（e）,M(z)与外荷载有关，积分后得到的计算公式如下：,式中，V0基底剪力； Fn系数。,在不同荷载形式下，V0及Fn不同。V0可根据荷载计算。,Fn是由式（e）积分得到的常数，它与荷载形式有关，在几种常见荷载形式下，Fn的表达式为：,顶
17、点集中力：,均布荷载：,倒三角形荷载：,Fn由式(321)得到。由式(317)计算得到 后，用下式计算第j层的层间变形：,Fn可直接由图326查出，图中变量为Fn及Hj/H。,考虑柱轴向变形后，框架的总侧移为,柱轴向变形产生的侧移是弯曲型的，顶层层间变形最大，向下逐渐减小。而梁、柱弯曲变形产生的侧移则是剪切型的，底层最大，向上逐渐减小。由于后者变形是主要成分，二者综合后仍以底层的层间变形最大，故仍表现为剪切型变形特征。,例35：求图3-20所示框架由于柱轴向变形产生的侧移,解：,由计算结果可见，柱轴向变形产生的侧移与梁，柱弯曲变形产生的侧移相比，前者占的比例较小。 在本例中，总顶点位移为,小 结 柱轴向变形产生的侧移是弯曲型的，顶层层间变形最大，向下逐渐减小。而梁、柱弯曲变形产生的侧移则是剪切型的，底层最大，向上逐渐减小。由于后者变形是主要成分，二者综合后仍以底层的层间变形最大，故仍表现为剪切型变形特征。 轴向变形位移：弯曲型、顶层层间位移最大，向下逐渐减小， 梁柱弯曲产生位移：剪切型，底层层间位移最大，向上逐渐减小，在总变形总占主要成分。 二者综合后，仍然以底层层间位移最大，表现为剪切型变形。,