椭圆双曲线抛物线.ppt

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1、第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质,2.椭圆中的最值 F1，F2为椭圆 =1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有 （1）|OP|b,a. (2)|PF1|a-c,a+c. （3）|PF1| |PF2|b2,a2.(4)F1PF2F1BF2. （5） =b2tan ( =F1PF2). （6）焦点弦以通径为最短. 3.双曲线中的最值 F1，F2为双曲线 (a0,b0)的左、 右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点， 则有,（1）|OP|a.（2）|PF1|c-a. （2） ( =F1PF2). 4.抛物线中的最值

2、 点P为抛物线y2=2px(p0)上的任一点，F为焦点， 则有:（1）|PF| . （2）焦点弦AB以通径为最值，即|AB|2p. （3）A（m,n）为一定点，则|PA|+|PF|有最小值. 5.双曲线的渐近线 （1）求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解 因式可得.,（2）用法： 可得 或 的值. 利用渐近线方程设所求双曲线的方程. 6.直线与圆锥曲线的位置关系 （1）相离；（2）相切；（3）相交. 特别地，当直线与双曲线的渐近线平行时，直 线与双曲线相交且只有一个公共点. 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线 与抛物线相交且只有一个公共点.,一、圆锥曲线的定义、几何性质、标准方程 例1

3、 如图所示，椭圆 上的点M与椭 圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂 直，且OM（O是坐标原点）与椭 圆长轴和短轴端点的连线AB平行. （1）求椭圆的离心率； （2）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明： F1CF2 ； （3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、 Q，若PF2Q的面积是 ，求此时椭圆的方程.,思维启迪（1）从OMAB入手，寻找a，b，c的关 系式，进而求出离心率. （2）在焦点三角形F1CF2中，用余弦定理求出 cos F1CF2,再结合基本不等式. （3）设P（x1,y1）、Q（x2,y2），则 用设而不求的思路求解. （1）解 设椭圆方程为 (ab0)，则 ，,（2）

4、证明 由椭圆定义得：|F1C|+|F2C|=2a， cosF1CF2= = = . |F1C|F2C| =a2， cosF1CF2 ， F1CF2 . （3）解 设直线PQ的方程为y=- (x-c),即y=- (x-c).,代入椭圆方程消去x得： , 整理得：5y2- -2c2=0, y1+y2= ,y1y2= . （y1-y2）2= . 因此a2=50,b2=25,所以椭圆方程为 . 探究提高（1）求离心率，结合已知条件找到a,b,c的关系式； （2）C为椭圆上的任意一点，F1，F2为左、右焦点，当C点是椭圆短轴的一个端点时，F1CF2取得最大值.,变式训练1 （2009四川理，20）已知椭

5、圆 (ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率 , 右准线方程为x=2. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且 ,求直线l的方程. 解 （1）由条件有 解得a= ,c=1. b= =1. 所求椭圆的方程为,(2)由（1）知F1（-1，0）、F2（1，0）. 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1, 将x=-1代入椭圆方程得y= . 不妨设 与题设矛盾. 直线l的斜率存在. 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+1). 设M（x1,y1）、N（x2,y2）,联立,消y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. 由根与系数的关系知

6、x1+x2= 从而y1+y2=k(x1+x2+2)=,化简得40k4-23k2-17=0, 解得k2=1或k2=- (舍). k=1. 所求直线l的方程为y=x +1或y= -x -1.,二、圆锥曲线中的定值与最值 例2 已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4 上，对角线BD所在直线的斜率为1. （1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程； （2）当ABC=60时,求菱形ABCD面积的最大值. 思维启迪（1）根据菱形的性质及条件求解. （2）由题意表示出菱形的面积，然后利用函数或不 等式知识求解. 解（1）由题意得直线BD的方程为y=x+1. 因为四边形ABCD为菱形，所以

7、ACBD. 于是可设直线AC的方程为y=-x+n. x2+3y2=4, 由 得4x2-6nx+3n2-4=0 y=-x+n,.,因为A、C在椭圆上 所以=-12n2+640，解得 . 设A，C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)， 则x1+x2= ,x1x2= , y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以y1+y2= . 所以AC的中点坐标为 . 由四边形ABCD为菱形可知， 点 在直线y=x+1上， 所以 ,解得 n=-2 . 所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0. （2）因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60, 所以|AB|=|BC|=|CA|.,所以菱形ABCD的

8、面积S = |AC|2. 由(1)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= , 所以 . 所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值 . 探究提高 解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种： 利用函数，尤其是二次函数求最值； 利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值； 利用不等式，尤其是均值不等式求最值； 利用判别式求最值； 利用数形结合，尤其是切线的性质求最值.,变式训练2（2009银川模拟） 已知椭圆 的离心率为 ，以右焦点F为圆心的圆过椭圆上的顶点 B（0，b），且与直线l： 相切. （1）求椭圆的方程； （2）过该椭圆的右焦点的直

9、线交椭圆于M、N两点，该椭圆 的左、右顶点分别为A1、A2，求证：直线MA1与直线NA2的斜 率平方的比值为定值. （1）解 设点F（c,0），其中 .以右 焦点F为圆心的圆过椭圆上的顶点B（0，b），圆的半径为 r= .由圆与直线l：x+ +3=0 相切，得 =a，又a=2c，c=1，a=2，b= .,椭圆方程为 . （2）证明设M（x1,y1）,N(x2,y2)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=1, 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k(x-1)，将其代入 ，得(3+4k2)x2-8k2x+4k212=0, x1+x2= , .,而 , 将其代入上式，得 综上，知

10、直线MA1与直线NA2的斜率平方的比值为 定值. 三、圆锥曲线中的参数范围问题 例3 在平面直角坐标系xOy中，经过点（0， ） 且斜率为k的直线l与椭圆 有两个不同 的交点P和Q. （1）求k的取值范围；,（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、 B，是否存在常数k，使得向量 共线？ 如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由. 思维启迪（1）将直线l的方程与椭圆方程联立转化为 关于x的一元二次方程，利用0求k的范围；（2）利 用共线的条件建立等式求出k值进行判断. 解（1）由已知条件知直线l的方程为y=kx+ , 代入椭圆方程得 . 整理得 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价

11、于 =,解得 . 即k的取值范围为 . （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则 =（x1+x2，y1+y2）， 由方程得x1+x2= 又y1+y2=k(x1+x2)+ 而A（ ，0），B（0，1）， =（ ，1）. 所以 共线等价于x1+x2= (y1+y2)， 将代入上式，解得 k=. 由（1）知 k , 故没有符合题意的常数k.,探究提高 直线与圆锥曲线位置关系的判断，有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，此类问题涉及根与系数的关系，设而不求、整体代入的技巧和方法. 变式训练3 如图，已知 直线l与抛物线x2=4y 相切于点P

12、（2，1）， 且与x轴交于点A，O为 坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.,（1）若动点M满足 ，求点M的轨迹C； （2）若过点B的直线l（斜率不等于零）与（1）中的轨迹 C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求OBE与 OBF面积之比的取值范围. 解（1）由x2=4y得y= x2,y= x. 直线l的斜率为y|x=2=1. 故l的方程为y=x-1，点A坐标为（1，0）. 设M（x,y），则 =（1，0）， =（x-2,y）, =(x- 1,y),由 =0得 （x-2）+y0+ =0, 整理，得 +y2=1.,动点M的轨迹C为以原点是中心，焦点在x轴上，长轴长为 ，短轴长为2的椭圆. （

13、2）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零， 设l方程为y=k(x-2)(k0), 将代入 +y2=1，整 理，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2 -2=0 x1+x2= , x1x2= 由此可 得 = ， = , 且0 1.由知（x1-2）+(x2-2)= , (x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4= ., ,即k2= . 0k2 ,0 . 解得3- 3+ . 又0 1，3- 1. OBE与OBF面积之比的范围是（3- ，1）. 四 圆锥曲线的综合性问题 例4 (2008全国理,21)双曲线的中心为原点O, 焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦 点F垂直于

14、l1的直线分别交l1,l2于A，B两点.已知 | |、| |、| |成等差数列，且 与 同向.,（1）求双曲线的离心率； （2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲 线的方程. 解 (1)设OA=m-d，AB=m，OB=m+d 由勾股定理可得： (m-d)2+m2=(m+d)2 化简得:d= m tanAOF= tanAOB=tan2AOF= ,解得 则离心率e= . (2)过点F的直线方程为y= (x-c) 与双曲线方程 =1联立 将a=2b，c= b代入，化简有 4= = 将数值代入，有4= 解得 b=3 最后求得双曲线方程为 =1.,变式训练4 (2009全国理，21)如图，已知抛

15、物线E：y2=x与圆M：（x-4）2+y2=r2(r0)相交于A、B、C、D四个点.(1)求r的取值范围； （2）当四边形ABCD的面积最 大时，求对角线AC、BD的交 点P的坐标. 解（1）将y2=x代入 （x-4）2+y2=r2,并化简得x2-7x+16-r2=0. E与M有四个交点的充要条件是方程有两个不等的正根x1、x2, =(-7)2-4(16-r2)0, 由此得 x1+x2=70, x1x2=16-r20. 解得 0,所以r的取值范围是 . （2）不妨设E与M的四个交点的坐标为 A（x1, ）、B（x1, ）、C（x2， ）、D（x2, ）. 则直线AC、BD的方程分别为y- =

16、(x-x1),y+ = , 解得点P的坐标为（ ,0）, 设t= ,由t= 及（1）知0t . 由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积 S= 则S2=（x1+x2+2 ）(x1+x2)2-4x1x2. 将x1+x2=7, =t代入上式，并令f(t)=S2,求导数，f(t)=-2(2t+7)(6t-7). 令f(t)=0,解得t = ,t = (舍去). 当00,当t= 时.f(t)=0; 当 0)的焦点F,交抛物线于A、,B两点，则有：（1）通径的长为2p. (2)焦点弦公式：|AB|=x1+x2+p. (3)x1x2= ,y1y2=-p2. (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切. 2

17、.求轨迹方程的常用方法 （1）轨迹法：建系设动点.列几何等式.坐标代入得方程.化简方程.除去不合题意的点作答. （2）待定系数法：已知曲线的类型，先设方程再求参数. （3）代入法：当所求动点随已知曲线上动点的动而动时用此法.代入法的步骤：,设出两动点坐标（x,y）,(x0,y0). 结合已知找出x,y与x0,y0的关系，并用x,y表示 x0,y0. 将x0,y0代入它满足的曲线方程，得到x,y的关系 式即为所求. （4）定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线 的类型，进而求得曲线的方程. 3.有关弦的中点问题 （1）通法 （2）点差法 点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的 斜率.点差

18、法的步骤：,将两交点A（x1,y1）,B(x2,y2)的坐标代入曲线的方 程. 作差消去常数项得到关于x1+x2,x1-x2,y1+y2,y1-y2的 关系式. 应用斜率公式及中点坐标公式求解. 4.解决直线与圆锥曲线问题的通法 （1）设方程及点的坐标. （2）联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程. （3）应用韦达定理及判别式. （4）结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式 求解. 弦长公式：|AB|= .,一、选择题 1.（2009菏泽模拟）已知双曲线 (a )的 两条渐近线的夹角（两条相交直线所成的锐角或直 角为 ，则双曲线的离心率为 （ ） A.2 B. C. D. 解析 双曲

19、线的渐近线方程为y= . 若 =tan = , 则 a= c= ,e= . 若 ,则 a= ，不符合要求.故选D.,D,2.(2009浙江文，6)已知椭圆 (ab0)的左焦点为F，右顶点为A,点B在椭 圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P，若 ，则椭圆的离心率是 （ ） A. B. C. D. 解析 如图，由于BFx轴， 故xB=-c,yB= , 设P（0,t）, ， （-a,t）=2（-c, -t）,a=2c. .,D,3.（2009山东文，10）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ） A.y2=4x

20、 B.y2=8x C.y2=4x D.y2=8x 解析 y2=ax的焦点坐标为 ,过焦点且斜率为2的直线方程为y=2 ，令x=0得： y= . =4， a2=64, a=8.,B,4.椭圆M： (ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且 的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c= ,则椭圆M的离心率e的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 解析 由 所以 的最大值为 =（a+c）（a-c），结合题意分析知c2a2_c23c2，求得离心率的取值范围是 ，故选B,B,5.P是双曲线 (a0,b0)右支上的一点, F1、F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,PF1F2的 内切

21、圆的圆心的横坐标是 （ ） A.a B.b C.c D.a+b+c 解析 设圆切PF1、PF2、F1F2分别于M、N、R， 则由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a， 即（|PM|+|MF1|）-（|PN|+|NF2|）=2a， 又|PM|=|PN|，故|MF1|-|NF2|=2a， 而|MF1|=|RF1|，|NF2|=|RF2|， 因此|F1R|-|F2R|=2a， 设R（0，t），则t+c-（c-t）=2a，t=a.,A,二、填空题 6.（2009湖南理，12）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为 . 解析 双曲线中焦距比虚

22、轴长，焦点处内角为60,又由双曲线性质得四边形为菱形. =tan 30= , c= b,a2=c2-b2=2b2, a= b. e= .,7.（2009聊城模拟）设双曲线 (ba0)的半焦距为c，直线l过（a,0）、(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为 ，则双曲线的离心率为 . 解析 直线l的方程为 ，即bx+ay-ab=0. 于是有 ,即ab = . 两边平方得16a2b2=3c4,16a2(c2-a2)=3c4. 即3c4-16a2c2+16a4=0,3e4-16e2+16=0. 解得e2=4,或e2= , ba0, 1, e2= =1+ 2,故e2=4,e=2.,8.（2009南通模

23、拟）已知抛物线y2=-2px(p0)的焦点F恰好是椭圆 (ab0)的左焦点，且两曲线的公共点的连线过F，则该椭圆的离心率为 . 解析 由题意F（ ，0），设椭圆的右焦点为M，椭圆与抛物线的一个交点为A，则|AF|=p，|FM|=p， |AM|= p， 椭圆长半轴长a = , 椭圆的半焦距c= , 椭圆的离心率e= .,三、解答题 9.（2009潍坊模拟）已知椭圆的两个焦点分别为 F1（0， ），F2（0， ），离心率为e= . （1）求椭圆方程； （2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同 的两点M，N，且线段MN中点的横坐标为 ，求直 线l的倾斜角的取值范围. 解（1）根据题意可设椭圆方

24、程为 （ab0）,其中c为半焦距, c= , e= , a=3,b=1, .,（2）由题意知，直线的倾斜角不可能为0和 , 设直线方程为y=kx+m (k0). y=kx+m x2+ =1 (k2+9)x2+2kmx+m2-9=0, =4k2m2-4(k2+9)(m2-9)0，即k2-m2+90 设M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x2= ， 线段MN中点的横坐标为 ， ，即m= 把代入解得k23,即k 或k , 直线l的倾斜角的取值范围为 .,10.如图所示，椭圆C的方程为 (ab0),A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为-1的直线交椭圆于B点，点P（1，0），且BPy轴，APB的

25、面积为 . （1）求椭圆C的方程； （2）在直线AB上求一点M，使得 以椭圆C的焦点为焦点，且过M的 双曲线E的实轴最长，并求此双 曲线E的方程. 解（1）SAPB= APPB= ， 又PAB=45，AP=PB，故AP=BP=3. P（1，0），A（-2，0），B（1，-3）. b=2，将B（1，-3）代入椭圆方程，,b=2, 得 解得a2=12, , 所求椭圆的方程为 . (2)设椭圆C的焦点为F1，F2， 则易知F1（0， ），F2（0， ）， 直线AB的方程为x+y+2=0，因为M在双曲线E上，要使双曲线E的实轴最长，只需|MF1|-|MF2|最大， F1（0， ）关于直线AB的对称点为F1( -2,-2), 直线F2F1与直线l的交点为所求M,F2F1的方程为y+(3+ )x - =0, y+(3+ )x- =0, 联立 得M（1，-3）， x+y+2=0, 又2a=|MF1|-|MF2| =|MF1|-|MF2|F2F1| = ， 故amax= ,b= , 故所求双曲线的方程为 .,返回,