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1、三、 概率的定义,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,1. 概率的统计定义,（1）频率,即,频率的性质：,（1）(非负性),下面我们从几个试验入手，揭示随机事件一个极其重要的特征：,频率稳定性,考虑在相同条件下进行的S 轮试验.,事件A在各轮试验中频率形成一个数列,我们来说明频率稳定性的含义.,试验一:,抛掷硬币试验,De morgan,buffon,pearson,pearson,2048,1061,0.5081,4040,2048,0.5069,12000,6019,0.5016,24000,12012,0.5005,试验次数越多, 出现正面的频
2、率就越接近于0.5 .,试验二:,种子发芽试验,2,1,0.5,5,3,0.6,种子数n,发芽数m,发芽频率,10,7,0.7,100,72,0.72,200,142,0.71,500,349,0.698,1000,701,0.701,种子数目越多, 发芽的频率就越接近于0.7 .,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫做频率的稳定性.,频率稳定性,（2） 概率,这种确定概率的方法称为频率方法. 常将定义1-1称为概率的统计定义，,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，
3、但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的.,因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似.,频率,概率,关于频率和概率的关系，需要强调以下事实：,2. 对于较大的n， n次试验中事件A的频率，一般与事件A的概率P相差不大，试验次数n越大，频率与概率有较大偏差的情形就越少见.,1. 频率是随着试验的变化而发生变化的。试 验不同，频率的大小不同；而概率是先于试 验而客观存在的，无论进行多少次试验，概 率始终不变。,二、 古典概型,排列组合的复习,排列: 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有,全排列:,组合: 从 n 个不同的元素中
4、取出 m 个(不放 回地）组成一组， 不同的分法共有,重复组合: 从 n 个不同元素中每次取出一个， 放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合 称为重复组合，此种重复组合数共有,二. 古典概型,排列组合的复习,(1) 摸球问题, 每个盒子至多容纳一个球，球有区别，共有, 每个盒子至多容纳一个球，球无区别，共有,（2）占位问题,种放法；,种放法；,称这种试验为有穷等可能随机试验， 具有上述两个特点的概率模型称为古典概型.,若随机试验满足下述两个条件：,2.古典概率的特点,(2) 每个样本点出现的可能性相同.,(1) 它的样本空间只有有限多个样本点；,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,例
5、如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为110 .把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.,3. 古典概型的计算公式,因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得 . 也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.,我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,10 .,2,且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同 .,则该试验的样本空间,如i =2,=1,2,10 ,记 A=摸到2号球 P(A)=?,P(A)=1/10,记 B=摸到红球 P(B)=?,P(B)=6/10,2,这里实际上是从“比例” 转化为“概率”,
6、记 B=摸到红球 P(B)=6/10,静态,动态,当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例.,这样就把求概率问题转化为计数问题 .,称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法 .,排列组合是计算古典概率的重要工具 .,设试验E是古典概型, 其样本空间 由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为：,解：设A表示电话号码由七个不同数字组成,=0.0605,允许重复的排列,例2 某城市的电话号码由7个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由七个不同数字组成的概率.,从10个不同数字中 取7个的排列,则,解：设A=“
7、取到的两只球都是白球”,B=“取到的两只球中至少有一只是白球”,（1）回置式抽样,样本空间所含样本点的个数为,事件A所含样本点的个数为：,（2）非回置式抽样,样本空间所含样本点的个数为：,事件A所含样本点的个数为：,几何概型 设为试验E的样本空间，若 试验的样本空间是直线上某个区间，或者面、空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点; 每个样本点发生具有等可能性 ; 则称E为几何概型。,几何概型概率的定义,设试验的每个样本点是等可能落入区域上的随机点M，且D含在内,则M点落入子域D(事件A)上的概率为:,三 几何概型 (等可能概型的推广),例 某人的表停了，他打开收音机听电台报时， 已知电台是整
8、点报时的，问他等待报时的时间短于 十分钟的概率.,9点,10点,10分钟,及,在,是区间时，表示相应的长度；在,是平面或空间区域时，表示相应的面积或体积,注：,例 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时,试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.,解: 设船1 到达码头的瞬时为 x ，0 x 24 船2 到达码头的瞬时为 y ，0 y 24,设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头,24,24,四 概率的公理化定义,前面分别介绍了统计概率定义、古典概率.它们
9、在解决各自相适应的实际问题中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局限性.,为了克服这些局限性，1933年，前苏联数学家 柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率 论的发展奠定了理论基础.,概率的公理化定义,公理3 若事件A1, A2 , 两两互不相容，则有 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的 .,公理1 0 P(A) 1 (1),设E是随机试验， 是它的样本空间，对于 中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 满足下述三条公理:,公理2 P( )=1 (2),公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间
10、；,公理2说明，必然事件的概率为1；,公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和.,(2) 设有限个事件A1, A2 , An 两两互不相容，则有,(1) 0 P(A) 1, P( )=0, P( )=1,1.3 概率的加法公式,(3) 对任一事件A ，有,#,(4) 设、B是两个事件，若 , 则有 且,再由,由可加性,有,(5) 对于任意两个事件A、B， 有,证明：,所以由上述（4）得,此公式为加法公式 。特别地 ，当A、B互不相容时， 有,(6) 对于任意两个事件A、B， 有,证明：,三个事件和的概率为,加法公式可推广到多个事件 .
11、,n个事件和的概率为,得：P(B)=P(A B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，,例1. AB=，P(A)=0.6，P(A B)=0.8， 求 B的逆事件的概率。,所以，P（ ）=1-0.2=0.8,解: 由P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),例2 设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的 概率是0.1，A与B都不发生的概率为0.15。 求A发生B不发生的概率；B发生A不发生的概率及P(AB).,则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5,P(B-A)=P(B)-P(AB）,又因为P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以，,P(
12、B)=P(A B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35,从而，P(B-A)=0.35-0.1=0.25,解 由已知得,P(A)=0.6，P(AB)=0.1, P( )=0.15，,P（A B）=1-P（ ）=1-P（ )=0.85,1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A B)=0.6， 求:P(A-B). 2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求:P(-AB),解答：(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1, 所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3,(2)P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B) =1-0.7+0.3=0.6,课堂练习,P(A)=P(B)= P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。 4. A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等，P(A)=p，求P(B).,解答：(3)P( )=P( ) =1-P(A+B+C)=7/12,(4)P(AB)=P( )= P( ) =1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),所以,P(B)=1-P(A)=1-p,